《3.4生活中的优化问题举例》课件.ppt

1、3.4 生活中的优化问题举例,第三章 导数及其应用,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、 效率最高等问题，这些问题通常被称为 优化问题.,例1、汽油的使用效率何时最高,汽油的消耗量w(单位：L)与汽车的速度 v(单位：km/h)之间有一定的关系，汽油 的消耗量w是汽车速度v的函数. 根据你的生活经验，思考下面两个问题：,(1)是不是汽车的速度越快，汽油的消耗量 越大？,(2)“汽油的使用效率最高”的含义是什么？,分析： 汽油的使用效率(单位：L/km) =汽油消耗量汽车行驶路程,如果用G表示每千米平均的汽油消耗量， s表示汽车行驶的路程(单位：km)，则,解：因为,其中g为汽油消耗平均率(即每

2、小时的汽油消耗量，单位： L/h),G的最小化问题即g/v的最小化问题，,最小值约为 5/90 L ，即约为 0.056 L.,例2、磁盘的最大存储量问题,(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ (2) 你知道磁盘的结构吗？,(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？,问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域.,是不是r越小，磁盘的存 储量越大？,(2) r为多少时，磁盘具有最大存储量 (最外面的磁道不存储任何信息)？,解：存储量=磁道数每磁道的比特数,(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大.,(2) 为

3、求f(r)的最大值，先计算,解得,例3、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响,你是否注意过，市场上等量的小包装 的物品一般比大包装的要贵些？你想从数 学上知道它的道理吗？,(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润 越大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1 ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.,问题：(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最 小？,解:由于瓶子的半径为r， 所以每瓶饮料的利润是,1、当半径为2cm时，利润最小，这时f(2

4、)0，,2、当半径为6cm时，利润最大.,从图中可以看出:,从图中，你还能看出什么吗？,解决优化问题的基本思路：,优化问题,用导数解决 数学问题,优化问题 的答案,用函数表示的 数学问题,练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？,则两个正方形面积和为,由问题的实际意义可知：,练习2、 如图，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.,解:设B(x，0)(0x2)， 则 A(x， 4x-x2).,从而|AB|= 4x-x2， |BC|=2(2-x). 故矩形ABC

5、D的面积为: S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,因此当点B为 时， 矩形的最大面积是,令 ，得,所以当 时，,练习3、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.,解:设容器底面短边长为xm，则另一边长为 (x+0.5)m，容器的高为 14.8-4x-4(x+0.5)/4=3.2-2x.,由问题的实际意义，要求x0，3.2-2x0， 解得x的取值范围是0x1.6.,记容器的容积为ym3， 则y=x(x+0.5)(3.2-2x) (0x1.6). 即有y=-2x3+2.2x2+1.6x (0x1.6).,求导数得,令 ，得15x2-11x-4=0，解得x1=1，x2=-4/15(不合题意，舍去).,所以在定义域(0，1.6)内，只有x=1使导数为0，且当x值接近0或1.6的一端时，y值都很小(接近0).,因此，当x=1时，y取最大值， 得y最大=-2