11-1 两指标间的直线回归.ppt

1、第11 章两指标间的直线回归,Linear regression,曾平 流行病与卫生统计学教研室 ,11.1 概述,Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable) X 自变量，解释变量 (independent variable, explanatory variable) 最简单的直线回归形式：,“回归” (regression)这个词是由英国统计学家F.Galton最早提出的。在科学史上，很少有高尔顿那样特立独行、知识渊博而又毁誉不一的科学家了。他涉猎科学范围之广被称为“维多利亚女王时代最博学的人”。,F.Galton(1822-191

2、1),他在研究父子身高关系时发现，高个子的父亲常生高个子的儿子，但儿子身高超过父亲的概率要小于低于父亲的概率；同样矮个子的父亲常生矮个子的儿子，但儿子身高比父亲更矮的概率要小于比父亲高的概率。也就是说不可能无限制的一代比一代高，或一代比一代矮。后代的高度有向人群的平均高度回归的趋势。,使各散点到直线的纵向距离的平方和最小。即寻找一条直线，使得 S(yi - )2 最小。,最小二乘法原则,11.2 直线回归方程的建立,最小二乘法(least square estimation),例:某医院欲研究儿童的体重与体表面积的关系，测量了10名3岁男童体重与体表面积。,10名3岁男童体重与体表面积的直线回

3、归,1、散点图,2、求回归方程,3、绘制回归直线,计算不太接近的两点的Y值： X=12kg时 Y=2.5212+0.238512=5.3832(103cm2) X=15kg时 Y=2.5212+0.238515=6.0987(103cm2),10名3岁男童体重与体表面积的直线回归,11.3 回归系数和回归方程的意义及性质,b 的意义 a 的意义 的意义 的意义 的意义,b 的意义,斜率(slope)或回归系数 2.5212 + 0.2385 X 体重每增加 1 kg, 则体表面积平均增加 0.2385(103cm2) b 的单位为 (Y的单位/X的单位) 表示自变量每改变一个单位，应变量平均改

4、变b个单位。,a 的意义,a 截距(intercept, constant) X=0 时，Y的估计值 a的单位与Y值相同 当X可能取0时，a才有实际意义。,估计值 的意义,X=11时, =5.145, 即体重为 11 kg 的三岁女童, 其平均体表面积之估计为 5.145 (103cm2); X=15时， =6.099, 即体重为 15 kg 的三岁女童, 其平均体表面积之估计为 6.099 (103cm2). 给定X时，Y的估计值(条件均数)。 当 时，,由体重(kg)估计体表面积(103cm2 ),X Y Y 的估计值 (体重,kg) (体表面积) 11.0 5.2835.145 11.8

5、 5.2995.336 12.0 5.3585.383 12.3 5.2925.455 13.1 5.6025.646 13.76.0145.789 14.4 5.8305.956 14.9 6.1026.075 15.2 6.0756.146 16.0 6.4116.337,的意义,为残差(residual，剩余、剩差)：点到直线的纵向距离。残差和为0。,残差平方和 (residual sum of squares) 综合表示点距直线的距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。(最小二乘),的意义,11.4 回归系数的假设检验,回归系数为0，则回归关系不存在。 H0：总体回归系数

6、为0， =0； H1：总体回归系数不为0， 0； =0.05。,回归系数的 t 检验,体重与体表面积回归系数的假设检验,H 0：总体回归系数 0，即体重与体表面积无回归关系； H 1：总体回归系数 0，即体重与体表面积有回归关系。 =0.05。,体重与体表面积间存在回归关系。,回归系数与相关系数的假设检验,结果等价。,11.5 因变量总变异的分解,X,P (X,Y),Y,Y的总变异分解,未引进回归时的总变异： (sum of squares about the mean of Y) 引进回归以后的变异(剩余): (sum of squares about regression) 回归的贡献，回

7、归平方和： (sum of squares due to regression),Y的总变异分解,11.6 回归问题的方差分析,前面应变量总变异的分解与方差分析中方差的分解原理相同，因而，X对Y的影响是否有统计学意义，或X与Y的回归关系是否成立，可以进行方差分析,例11.2 对例11.1所建方程进行方差分析。,H0：体重与体表面积间无直线回归关系； H1：体重与体表面积间有直线回归关系。 =0.05,lXX=24.9040，lYY=1.5439，lXY=5.9396 SS总= lYY=1.5439， SS剩 = 1.5439-5.93962/24.9040=0.1273 SS回 = SS总-S

8、S剩=1.5439-0.1273=1.4166,表11.2 方差分析表,得F=89.01，今1=1，2=8，查附表4 F界值表，得P0.01，按 =0.05水准拒绝H0，接受H1，故可认为3岁男童的体重与体表面积之间有线性回归关系,11.7 回归问题的区间估计,回归系数的可信区间估计 估计值 的可信区间估计 个体Y值的容许区间估计,11.7.1 总体回归系数 的可信区间估计,根据 t 分布原理估计： 0.23852.3060.02528 0.18020.2968(103cm2/kg),11.7.2 的可信区间估计,给定X时Y的条件均数 的可信区间,根据 t 分布原理根据：,X=12时，求 的9

9、5%可信区间,=13.44， lXX=24.9040， =0.1262。 当X=12时， =5.3832，,11.7.3 的容许区间估计,给定 X 时 Y 的估计值是 Y 的均数的一个估计。 给定X 时 Y 值的容许区间是 Y 值的可能范围。 的100(1- )%容许限:,的可信区间与Y的容许区间,可信区间是针对条件均数的，而容许区间是针对Y的取值范围的。 X=12时， 的可信区间为：5.25785.5077(103cm2), 表示：体重为12kg的3岁男童，估计其平均体表面积为5.3832，95可信区间为(5.2587，5.5077) (103cm2)。 X=12时，Y的容许区间为：5.06

10、665.6998(103cm2), 表示：体重为12kg的3岁男童， 估计有95的人其体表面积在5.06665.6998 (103cm2)之间。,结论：,体重为12kg的3岁男童，估计有95%的人其体表面积在5.06665.6998(103cm2)之间，平均体表面积为5.3832(103cm2)，95可信区间为(5.2587，5.5077) (103cm2)。,可信区间与容许区间示意(confidence band & tolerance band),11.10 直线回归与直线相关的区别与联系,区别 r 没有单位，b 有单位；所以，相关系数与单位无关，回归系数与单位有关； 相关表示相互关系，没有依存关系；而回归有依存关系； 对资料的要求不同：,当X和Y都是随机的，可以进行相关和回归分析； 当Y是随机的(X是控制的)，理论上只能作回归而不能作相关分析； I型回归： X是精确控制的； II型回归： X是随机的。 由X推算Y ： 由Y推算X ：,11.10 直线回归与直线相关的区别与联系,联系 符号相同：共变方向一致； 假设检验结果相同：是否存在共变关系； 换算关系,11.11 回归分析的正确应用,要有实际意义； 充分利用散点图，判断： (1) 线性趋势 (2) 离群值 回归系数的统计学意义；当样本含量较大时，统计学检验的作用减弱； 回归关系可以内插，不