1.1.3 三个正数的算术－几何平均不等式2ppt课件（人教A版选修4-5）.ppt

1、3.三个正数的算术-几何平均不等式,1.了解三个正数的算术-几何平均不等式. 2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值.,1.本课重点是三个正数的算术-几何平均不等式及定理3的应用. 2.本课难点是应用不等式解决应用问题.,1.三个正数的算术-几何平均不等式 (1)如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3_3abc,当且仅当_ 时，等号成立. (2)定理3：如果a,b,c_,那么 _ ,当且仅当 _时，等号成立. 即：三个正数的算术平均_它们的几何平均.,a=b=c,R+,a=b=c,不小于,2.基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,an，它们的算术平均_它们的几何 平均，即 _ ,

2、当且仅当_时， 等号成立.,a1=a2=an,不小于,1.如果x0，如何求 的最小值? 提示： 当且仅当x=1时，取“=”. 故 的最小值为3.,2.若ab0，则 的最小值为_. 【解析】 当且仅当a-b=b= 即a=4，b=2时，等号成立. 答案：6,3.已知a,b,cR+,则 _. 【解析】 当且仅当a=b=c时取等号. 答案：9,1.对不等式 成立的a,b,c的理解 (1)在不等式中a,b,c的范围是a0,b0,c0. (2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值,当且仅当三个正数相等时取等号.,2.定理3： (a,b,cR+)的两个推论 (1)当abc为定值时： a+b+

3、c 当且仅当a=b=c时取等号. (2)当a+b+c为定值时： abc 当且仅当a=b=c时取等号.,用平均不等式求最值 【技法点拨】 1.用平均不等式求最值的方法 (1)利用三个正数的算术-几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”. (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件，即“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.,(3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性. 2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用 利用平均不等式求解最值问题的

4、前提是要求代数式的和或者积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以平均不等式的取等条件为出发点，拼凑定和(或积)，求积(或和)的最大(或小)值.,【典例训练】 1.当x(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_. 2.设为锐角，求y= sin2cos的最大值. 【解析】1.0 x1,1-x0,y=x2(1-x)=4 (1-x) 当 =1-x,即x= 时，ymax= 答案：,2.y2= sin4cos2= 2sin2sin2cos2 ( )3= 当且仅当sin2=2cos2=2-2sin2, 即sin= 时取等号，此时ymax= .,【互动探究】若把题1的函数改为y=x(1-x2)呢？ 【

5、解题指南】将函数式子两边平方后再拆凑，构造成三个数相加等于定值的形式.,【解析】0 x1,1-x20, 由y=x(1-x2)，得y2=x2(1-x2)2 = 2x2(1-x2)(1-x2) ( )3= , 当2x2=1-x2,即x= 时， ymax2= ,ymax=,用平均不等式证明不等式 【技法点拨】 证明不等式的方法与技巧 (1)观察式子的结构特点,分析题目中的条件.若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理. (2)若题目中不具备该条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明. (3)三个正数的算术几何平均不等式定理,是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该定理

6、证明的不等式，一般可用比较法证明.,【典例训练】 1.已知a,b,cR+，求证： 2.设a1,a2,a3均为正数，且a1+a2+a3=m,求证： 【证明】1.a2+b2+c2+( )2 当且仅当a=b=c= 时等号成立.,2.( )m =(a1+a2+a3)( ) 3 =9 =9. 当且仅当a1=a2=a3= 时等号成立. 又因为m0， ,【想一想】多次使用平均不等式定理时需注意什么问题？ 提示：连续多次使用平均不等式定理时，要注意前后等号成立的条件是否一致.,【变式训练】已知a,b,cR+,证明( )(a+b+c)227. 【解题指南】分析求证式子的特征,通过变形转化为用算术几何平均不等式证

7、明.,【证明】a，b，cR+,a+b+c 0. (a+b+c)29 . 又 0, ( )(a+b+c)2 9 =27. 当且仅当a=b=c时，等号成立. ( )(a+b+c)227.,用不等式解应用题 【技法点拨】 1.用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.,2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题； (3)在

8、定义域内，求出函数的最值； (4)验证相等条件，得出结论.,【典例训练】 1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_. 2.已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积.,【解析】1.设P到长度为3，4，5的三角形三边的距离分别是x,y,z，三角形的面积为S. 则S= (3x+4y+5z),又32+42=52， 这个直角三角形的面积S= 34=6， 3x+4y+5z=26=12, 3x+4y+5z=12, (xyz)max= . 当且仅当3x=4y=5z,即x= ,y=1,z= 时等号成

9、立. 答案：,2.设圆柱体的底面半径为r,如图，由相似三角形的性质可得 V圆柱=r2h= (0hH). 根据平均不等式可得 V圆柱= 当且仅当 即h= H时取等号， V圆柱最大= R2H.,平均不等式在实际问题中的应用 【典例】(12分)如图所示，在一张半径是2米 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂 得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理 学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射 到桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成,正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比.即 这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处

10、最亮？,【解题指导】,【规范解答】r= ,2分 ,4分 = 6分 8分 当且仅当2sin2=cos2即tan2= ,tan= 时取等号， 10分 h=2tan= ,即h= 米时，E最大. 12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容器都不少见.你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，这是一条理由.但更主要的原因似乎不在这里.我们知道，容器的容积往往是一定的，但

11、表面积却随着形状而改变，这就意味着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，如果仅从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢(假设容器是密闭的)？,【解题设问】(1)本题中圆柱的哪个量可以当作定值？容积. (2)本题中的用料最省，实际是求什么量？表面积最小.,【规范答题】如图所示，设容器的高为h,底面半径为r,表面积为S，容积为V，V为定值2分,于是有V=r2h 及S=2r2+2rh 4分 根据三个正数的平均不等式，由得 S=2r2+rh+rh = 8分 将代入得S ,当且仅当2r2=rh,即h=2r, 也就是高和底面直径相等时,中等号成立，10分 此时，圆柱

12、的表面积 最小， 制造容器用料最省，同时可算得 12分,1.若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.xy2=4,x0,y0,x= , 当且仅当x=y= 时等号成立， 此时x+2y的最小值为 .,2.若logxy=-2,则x+y的最小值是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.logxy=-2,x0且x1,y0,且 y=x-2, 当且仅当 即x= 时等号成立.,3.设x,y,zR+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是( ) (A)(-,lg6 (B)(-,3lg2 (C)lg6,+) (D)3lg2,+) 【解析】选B.x,y,zR+, 6=x+y+z 即xyz8, lgx+lgy+lgz=lgxyzlg8=3lg2.,4.设0 x1，则x(1-x)2的最大值为_. 【解析】0 x1,1-x0. x(1-x)2=x(1-x)(1-x)= 2x(1-x)(1-x) (当且仅当x= 时等号成立). 答案：,5