求点到直线的距离的几种方法

1、编号编号 学学士士学学位位论论文文 求点到直线的距离的几种方法求点到直线的距离的几种方法 学生姓名： 热彦古力沙吾提 学 号： 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2003-1 班 指导教师： 买米提依明克力木 完成日期： 2008 年 4 月 25 日 中文摘要 点到直线的距离指的是点到直线的垂直线段的长度。 本文讨论推出点到直线的距离公式的几种方法和有关的例题。 关键词：关键词：点，直线，距离。 目录 中文摘要中文摘要 .1 引言引言 .1 1.1.直线直线0AxByC中中0,0AB的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离.1 1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距

2、离.1 1.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离.2 1.3用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离.2 1.4 用向量的性质来推出点到直线的距离.3 1.5 用点对直线的对称性来推出点到直线的距离.4 1.6用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离.5 1.7用函数的最小值来推出点到直线的距离.6 2.2.直线方程中直线方程中0A 的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离.11 3.3.直线方程中直线方程中0B 的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离.11 总结总结 .12 参考文献参考文献 .13 致谢致谢 .14 中文摘要中文摘要 .14 目目录录 .1 引言引言 在直角

3、坐标系中给定点的坐标为，直线 的方程为 o p, oo xyl0AxByC 。下面我们要讨论用不同的方法来推出给定点到直线 的距离。0,0AB 0 pl 1.1.直线直线中中的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离0AxByC0,0AB 1.1 用三角形的相似来推出点到直线的距离 设直线与轴分别相交于点，:0l AxByC0,0AB, x y,0 C E A 。从点作轴的垂线与直线 相交与点，垂足为0, B F C 0 pxl 0 0, AxC Q x B ，从点再作直线 的垂线垂足为，则。M 0 PlN 0 dp N 因为 t REFO 所以 00 P NPQ OEEF 0 0 0 22

4、 AxC y P N B C CAB A AB 因为所以 0 P Nd 0 0 22 AxC y dB C CAB A AB o y x 0, B F C 0 0, AxC Q x B M 000 (,)p xy N E 0 0 0 0 2222 AxCC y AxByC AB d CABAB AB 1.21.2 用求三角形的面积来推出点到直线的距离用求三角形的面积来推出点到直线的距离 如图所示直线与轴分别相交于点，从点作L, x y,0 ,0, CC EF AB 0 P 于 0 P NLN 因为 0 00 0 0 1 1 1 22 01 EP F C A C AxByC Sy AB C B

5、A0 x 又因为 0 22 0 1 22 EP F CAB SEF P Nd AB A 所以 22 00 22 C AxBycCAB ABAB d 00 00 2222 2 2 C AxByC AxByC AB d CABAB AB 1.31.3用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离用直线与圆的相切的条件来推出点到直线的距离 设点为圆心，直线为圆的切线则点到直线的距离是指圆的半径 0 PL 0 PLr 所以，直线与圆的方程为rd :00,0L AxByCAB 22 2 000 :Pxxyyd 从式解出代入得 AxC y B 2 2 2 0 AxC xxyd B 整理得 2222 00 2A

6、BxB xA ByCx 0 2 222 0 0BxdByC 因为直线与圆相切所以它们具有一个公共点即0 2 2 00 4 B xA Byc 0 2 22222 0 40ABBxdByC 整理得 2 222 00 AxByCABd 2 002 22 AxByC d AB 00 22 AxByC d AB 1.41.4 用向量的性质来推出点到直线的距离用向量的性质来推出点到直线的距离 设点是直线上的不同的两个点则，由直 111 ,Q x yQx yL 1 QQ uuu r 1,1 xx yy 线的方程把直线的法向量可以表示为，从00,0AxByCABL,nA B r 点作于 0 P 0 OPLO

7、则 11 0 0 AxByC AxByC 11 0A xxB yy 所以 1 0n QQ uuur r 可见与直线互相垂直，设与所成的角为于是n r LPQ uuu r n r 00 cosPQ nPQ n uuu ruuu r r r 0 0 00 coscos PQ n PQ n PQ nPQ n uuu r ruuu r r uuu ruuu r rr 中 0 Rt POQ 0 00 cos OP d PQPQ uuu r uuu ruuu r 0 cosdPQ uuu r 把式代入得 00 00 0 22 0 , PQ nPQ n xx yyA B dPQ n ABPQ n uuu r

8、uuu r rr uuu r uuu rr r 00 00 2222 AxByAxByAxAxByBy ABAB 00 22 AxByC AB 所以 00 22 AxByC d AB 5 5用点对直线的对称性来推出点到直线的距离用点对直线的对称性来推出点到直线的距离 设点对直线的对成点是则 000 ,P xyL:0AxByC 111 ,P x y 10 10 1 yyB A xx 因为线段的中点 01 P P 在直 1010 , 22 xxyy N 线的上面所以点的坐标LN 满足直线的方程即L 1010 0 22 xxyy ABC 由式可以得点的坐标 1 P 2222 0000 1 2222

9、2222ABxAByACABxAByBC P ABAB 22 010101 2P Pdxxyy 22 2222 0000 0 2222 2222ABxAByACABxAByBC xy ABAB 00 22 2 AxByC AB 所以 00 22 AxByC d AB 1.61.6用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离用两点之间的距离公式来推出点到直线的距离 过点作直线的垂线，垂足为由可知的斜率 0 PL L ,Q x yLL L ，据直线的点斜式写出的方程：即0 B kA A L 00 B yyxx A 00 0BxBxAyAy 00 :0 :0 L AxByC LBxBxAyAy 2 22

10、 00 0 0 ABxB yBC ABxABxA yA y 222 00 222 00 0 0 B yA yBCA yABx y BABCA yABx 2 00 22 A yABxBC y AB 从式解出，的位置代入式可以得1 ByC x A y 2 00 22 AByB xAC x AB 所以点的坐标为Q 22 0000 2222 , AByB xAC A yABxBC ABAB 22 22 0000 000 2222 AByB xACA yABxBC PQxy ABAB 整理得 2 22 00 02 22 ABAxByC PQ AB 00 22 AxByC AB 所以 00 22 AxBy

11、C d AB 1.71.7用函数的最小值来推出点到直线的距离用函数的最小值来推出点到直线的距离 点到直线的距离就是点到直线上的任意一点的距离的最小值 0 PL 0 PL 设是直线上的任意一点则,M u vL 22 000 1PMuxvy 点是上的任意一点所以它满足直线的方程即ML ()00,0AuBCABu+= 将可写成()00,0AuBCABu+= 0000 0A uxB vyAxByC 记则 00 AxByC 00 1 uyA ux B 代入式得 2 2 000 2 1 PMuyA ux B 2 222 22222 ABA ux BABAB 因为所以当时取最小 22 2 0 AB B 00

12、 00 2222 A AxBycA uxx ABAB 0 PM 值 用同样的方法可以知时取最小值 () 00 0 22 B AxByC y AB u + =- + 0 PM 2 00 0 22min 2222 AxByC PM AB ABAB 所以 00 22 AxByC d AB 例例 ：求点到直线的距离。1 0 1,2P :2100Lxy 解法一：解法一：直线与轴分别相交于点从点作轴的垂线L, x y5,0 ,0,10EF 0 Px 与直线相交于点L1,12Q 0 Rt EFORt P NQ: 00 P NPQ OEEF 0 0 10 5 2 5 5 5 PQ OE P N EF 解法二：

13、解法二：直线与轴分别相交于点因为L, x y5,0 ,0,10EF 0 501 1 12125 2 0101 EP F S A 又因为 0 00 15 5 22 EP F SP N EFP N A 所以 00 5 5 252 5 2 P NP N 解法三：解法三：设为圆心，直线为圆的切线则直线与圆 0 1,2P :2100LxyL 的方程为 0 PA 22 22 2100 12 xy xyrd 由式解出代入式得1102yx2 22 2 182xxd 整理得 22 53065xxd 因为圆与直线相切所以它们具有只要一个公共点即0A 22 304 5650d 2 400d 2 5d 解法四：解法四

14、：设是直线上的不同的两个点则， 111 ,Q x yQx yL 111 ,QQ xx yy uuu r 由于不同时为零，把直线的法向量可以表示为则,A BL2,1n r 11 2100 2100 xy xy 11 20 xxyy 所以可见向量与直线互相垂直， 1 0n QQ uuu r r n r L 设与之间的夹角为则 0 PQ uuu r n r 0 0 00 coscos n PQ n PQ n PQn PQ uuu r ruuu r r uuu ruuu r rr 从点作于点，中 0 P 0 POLORt 0 POQ 0 0 cos PQ PQ uuu r uuu r 0 d PQ u

15、uu r 0 cosdPQ uuu r 把式代入得 0 n PQ d n uuu r r r 00 22 ,A Bxx yy AB 00 10 55 AxByc 所以2 5d 解法五：解法五：设点关于直线的对称点为的斜率与直线的斜率的 0 PL 11110 ,P x yPPL 积 10 10 1 yyB A xx 因为的中点在直 10 PP 1010 , 22 xxyy N 线的上面所以点的坐标LN 满足直线的方程即L 11 12 2100 2 22 xy 由式得点的坐标 1 P7,6 22 010101 2P Pdxxyy 22 1 7264 5 所以 2 5d 解法六：设点 到直线的垂线为

16、，垂足为，由 0 1,2P :2100Lxy L Q 可知的斜率，根据点斜式写出的方程：即LL L 1 2 K L 1 21 2 yx 250 xy :21003 :2504 Lxyx Lxyy 所以点的坐标为Q3,4 2222 02121 3 1422 5PQxxyy 所以 2 5d 解法七：我们所求的距离就是点到直线上的任意一点的距离的最小 0 PLM 值，因为点是直线的上面,M u v:2100Lxy 所以 22 0 12PMuv 由点满足直线的方程则 ML2100uv 将可以写成2100uv () ()212100uu+-= 从这个方程解出代入式得228vu 22 0 128PMuu

17、整理得 2 0 5320PMu 当时取最小值所以当时取最小值用同样方法可知30u 0 PM3u 0 PM20 时取最小值4u= 0 PM 所以 0 min 202 5PM 上面我们讨论了点到直线，下面要讨 0 P 00 ,xy:00,0L AxByCAB 论直线的方程中或的时候怎样求点到直线的距离L0AxByC0A 0B 0 PL 的问题。 实际上或的时候公式仍然成立，但不用公式也可以求到。0A 0B 2.2.直线方程中直线方程中的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离0A 求点到直线的距离； 000 ,P xy:0L ByC 解：解：先作直线的垂线，垂足为，与轴相交与点L 0 PQ 0,

18、 C Q x B 0 PQx 0,0 N x ，所以 000 C PQP NQNy B 0 C dy B 例：例：求点到直线的距离 1,1P:210Ly 解法解法 1：用距离公式 22 AxByC AB 22 AxByC d AB 02 11 24 解法解法 2：用公式 0 C dy B 11 1 22 C dy B 文字部分，宋体小四号字，行间距 1.25。 3.3.直线方程中直线方程中的时候求点到直线的距离的时候求点到直线的距离0B 求点到直线的距离； 00 ,P xy:0L AxC 解：解：先作直线垂线，垂足为与相交与点L 0 PQ 0 , C Qy A y 0 0,Ny 000 C PQNQNPx A 例例 2：求点到直线的距离1,2P :320Lx 解法解法 1：用公式 00 22 AxByC AB 00 22 AxByC d AB 325 39 解法解法 2：用公式 0 C dx A 0 25 1 33 C dx A 总结总结 上面我们讨论了，求点到直线的距离的几种方法，在中学解析几何教课书中 只有提出了一两种方法，本文提出的方法比中学解析几何书中提出的方法可能较 难，但是每一种方法都有它的独特性。 另外，点到直线的距离公式是直线