第五章图形变换之旋转

1、最新 料推荐第五章图形变换之旋转技巧提炼1?旋转是中考压轴题中常见题型 ,在解这类题目时 ,什么时候需要构造旋转 ,怎么构造旋转 ?下面 ,就不同类型的旋转问题 ,给出构造旋转图形的解题方法 :(1)遇中点 ,旋 180 ,构造中心对称;(2)遇 90 ,旋 90 ,造垂直 ;(3)遇 60 ,旋 60 ,造等边 ;(4)遇等腰 ,旋顶角 ?综上四点得出旋转的本质特征:等线段 ,共顶点 ,就可以有旋转?2?图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角?下面给出旋转常用倒角,只要是旋转 ,必然存在这两个倒角之一?如图 (a)所示 ,若 aob= cod ,必有 aoc= bod

2、 ,反之亦然 ?如图 (b)所示 ,若 a= d ,必有 b= c?(a)(b)例题精讲例 1 (1)如图 ,边长为 1 的正方形 abcd 绕点 a 逆时针旋转 30到正方形 ab c d ,图中阴影部分的面积为 ( )3b?331a ?1c?14d?332(2)如图 ,边长为 1 的正方形 abcd 绕点 a 逆时针旋转 30到正方形 ab c d , 图中阴影部分的面积为 _?1最新 料推荐例 2 如图所示 ,e?f 分别是正方形 abcd 的边 bc ?dc 上的点 ,且 eaf=45 ,求证 :ef=be+df ?例 3 如图所示 ,在 abc 的边 ac ,ab 为一边 ,分别向三

3、角形的外侧作正方形acfg 和正方形abde ,连接 ec 交ab 于点 h,连接 bg 交 ce 于点 m ,求证 :bg ce?例4 如图 ,在等腰 abc中 ,ab=ac , abc= ,在四边形bdec 中 ,db=de , bde=2 ,m为 ce 的中点 ,连接am ,dm ?(1)在图中画出 dem 关于点 m 成中心对称的图形 ;(2)求证 :am dm;(3)当 =_,am=dm ?例 5 已知 :在 abc 中,bc= a,ac= b,以 ab 为边作等边三角形abd ?探究下列问题 :(1)如图 1,当点 d 与点 c 位于直线ab 的两侧时 ,a=b=3,且 acb=6

4、0 ,则 cd=_;(2)如图 2,当点 d 与点 c 位于直线ab 的同侧时 ,a=b=6,且 acb=90 ,则 cd=_;(3)如图 3,当 acb 变化 ,且点 d 与点 c 位于直线ab 的两侧时 ,求 cd 的最大值及相应的acb 的度数 ?2最新 料推荐例 6 已知 man ,ac 平分 man ?(1)在图 1 中 ,若 man=120 , abc= adc=90 ,ab+ad_ac?(填写“ ” ,“ ”,“ =” )(2)在图 2 中,若 man=120 ,abc+ adc=180 ,则 (1)中的结论是否仍然成立?若成立 ,请给出证明 ;若不成立 ,请说明理由 ?在图 3

5、 中 :若 man=60 , abc+ adc=180 ,判断 ab+ad与 ac 的数量关系 ,并说明理由若 man= (0 180 ), abc+ adc=180 ,则 ab+ad=_ac(用含 的三角函数表示,直接写出结果 ,不必证明 )例 7 如图 1 所示 ,o 为正方形 abcd 的中心 ,分别延长 oa ?od 到点 f?e,使 of=2oa ,oe=2od ,连接 ef?将 eof 绕点 o 逆时针旋转 角得到 e1of1(如图 2)?(1)探究 ae 1 与 bf1 的数量关系 ,并给予证明 ?(2)当 =30 时,求证 : aoe 1 为直角三角形?例 8 (1)如图 1,

6、点 e? f 分别是正方形 abcd 的边 bc?cd 上的点 , eaf=45 ,连接 ef,则 ef?be ?fd 之间的数量关系是 :ef=be+fd ?连结 bd ,交 ae ?af 于点 m ?n,且 mn ?bm ?dn 满足 mn 2=bm 2+dn 2,请证明这个等量关系;(2)在 abc 中 ,ab=ac ,点 d ? e 分别为 bc 边上的两点 ?如图 2,当 bac=60 , dae=30 时 ,bd ?de?ec 应满足的等量关系是_;3最新 料推荐如图 3,当 bac= ,(0 ad ), b=90 ,ab=bc ,e 是 ab 上一点 ,且 dce=45 ,be=

7、4,de=10 , 求直角梯形 abcd 的面积 ?5最新 料推荐7?请阅读下列材料:问题 :如图 1,在菱形 abcd 和菱形 befg 中 ,点 a,b,e 在同一条直线上,p 是线段 df 的中点 ,连接 pg,pc.若 abc= bef=60 ,探究 pg 与 pc 的位置关系及pgpc 的值 .小聪同学的思路是: 延长 gp 交 dc 于点 h,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段pg 与 pc 的位置关系及pgpc 的值 ;(2)将图 1 中的菱形befg 绕点 b 顺时针旋转 ,使菱形 befg 的对角线 b

8、f 恰好与菱形abcd 的边 ab 在同一条直线上 ,原问题中的其他条件不变(如图 2).你在 (1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若图 1 中 abc= bef=2 (0 90 ),将菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变 ,请你直接写出pgpc 的值 ( 用含 的式子表示 ).8?已知 :在 rt abc 中 ,ab=bc, 在 rtade 中 ,ad=de, 连接 ec,取 ec 的中点 m,连接 dm 和 bm ?(1)若点 d 在边 ac 上 ,点 e 在边 ab 上且与点 b 不重合 ,如图 1,探索 bm ?dm 的关系

9、并给予证明 ;(2)如果将图 1 中的 ade 绕点 a 逆时针旋转小于45的角 ,如图 2,那么 (1)中的结论是否仍成立?如果不成立 ,请举出反例 ;如果成立 ,请给予证明 ?6最新 料推荐9?已知正方形abcd 和等腰 rt bef,be=ef, bef=90 ,按图放置 ,使点 f 在 bc 上 ,取 df 的中点 g,连接 eg?cg?(1)探索 eg?cg 的数量关系和位置关系并证明 ;(2)将图中 bef 绕 b 点顺时针旋转 45 ,再连接 df,取 df 中点 g(如图 ),问 (1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论 ;(3)将图中 bef 绕 b 点转动任意角度 (旋转角

10、在 0 到 90 之间 ),再连接 df,取 df 的中点 g(如图 ),问 (1)中的结论是否仍然成立 ,证明你的结论 ?10?在 rt abc中 , acb =90 , a =30 ,bd 是abc的角平分线 , de ab于点e .(1) 如图 1,连接 ec ,求证 : ebc 是等边三角形 ;(2) 点 m 是线段 cd 上的一点 (不与点 c,d 重合 ),以 bm 为一边 ,在 bm 的下方作 bmg =60 , mg 交 de 延长线于点 g .请你在图 2 中画出完整图形 ,并直接写出 md,dg ,与 ,ad 之间的数量关系 ;(3) 如图 3,点 n 是线段 ad 上的一

11、点 ,以 bn 为一边 ,在 bn 的下方作 bng =60 ,ng 交 de 延长线于点 g ,且 mb=mg .试探究 nd,dg 与 ad 数量之间的关系 ,并说明理由 .11?请阅读下列材料 :问 题 : 如 图 1, abc 中 , acb=90 ,ac=bc,mn 是 过 点 a 的 直 线 ,db mn于 点 d, 联 结 cd ? 求证 :bd+ad= 2 cd ?小明的思考过程如下:要证 bd+ad=2 cd, 需要将 bd,ad 转化到同一条直线上 ,可以在 mn 上截取 ae=bd, 并联结 ec, 可证 ace和 bcd 全等 ,得到 ce=cd, 且 ace= bcd, 由此推出 cde为等腰直角三角形 , 可知de=2 cd,于是结论得证 ?7最新 料推荐小聪的思考过程如下:要证 bd+ad=2 cd, 需要构造以 cd 为腰的等腰直角三角形,可以过点 c 作 ce cd 交 mn于点 e,可证 ace 和 bcd 全等 ,得到 ce=cd, 且 ae=bd,