（黄冈名师）高考数学2.6幂函数与二次函数课件理新人教A版.pptx

1、第六节 幂函数与二次函数(全国卷5年5考),【知识梳理】 1.幂函数 (1)定义 一般地,形如_的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数.,y=x,(2)常见的5种幂函数的图象,(3)常见的5种幂函数的性质,2.二次函数 (1)解析式的三种形式 一般式:f(x)=_; 顶点式:f(x)=_; 两根式:f(x)=_.,ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),(2)图象与性质,b=0,【常用结论】 1.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.,(2)幂函数

2、的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)当0时,y=x在0,+)上为增函数; 当0时,y=x在(0,+)上为减函数.,2.关于恒成立问题的两个结论. 若f(x)=ax2+bx+c(a0), (1)当 时,对xR恒有f(x)0. (2)当 时,对xR恒有f(x)0.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)函数y=2 是幂函数.() (2)当n0时,幂函数y=xn在(0,+)上是增函数.(),(3)二次函数y=ax2+bx+c(xR)不可能是偶函数. () (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原 点.()

3、 (5)二次函数y=ax2+bx+c,xa,b的最值一定是 (),提示:(1).不符合幂函数的形式. (2).根据5个基本幂函数知,n0时为增函数,n0时为减函数. (3).当b=0时,为偶函数. (4).根据幂函数的对称性可知. (5).只有当对称轴在区间内时最值才是,2.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x(0,+)上为增函数,则实数m的值是() A.-1B.2C.3D.-1或2,【解析】选B.因为f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又f(x)在x(0,+)上是增函数,所以m=2.,3.已知函数y=2x2-6x+3,x-1,1,

4、则y的最小值是_.,【解析】函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为x= 1, 所以函数y=2x2-6x+3在-1,1上单调递减,所以ymin= 2-6+3=-1. 答案:-1,题组二:走进教材 1. (2016全国卷)已知 则() (源于必修1P18中间性质) A.bac B.abc C.bca D.cab,【解析】选A.因为 又因为函数y= 在0,+)上是增函数,所以bac.,2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)=kx的图象过 点 ,则k+等于(),【解析】选C.由幂函数的定义,知 所以 k=1,= ,所以k+= .,3.(必修1P44A组T9改编)已知函数f(x)=x2+2ax

5、+3,若y=f(x)在区间-4,6上是单调函数,则实数a的取值范围为_.,【解析】由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使f(x)在-4,6上是单调函数,应有 -a-4或-a6,即a-6或a4. 答案:(-,-64,+),考点一幂函数的图象与性质 【题组练透】 1.已知点 在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是() A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数,【解析】选A.设f(x)=x,由已知得 解得=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数.,2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,

6、d的大小关系是(),A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc,【解析】选B.由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知abcd.,3.已知 则a,b,c的大小关系 为() A.bac B.abc C.cba D.cab,【解析】选C.因为 由幂函数 y= 在(0,+)上为增函数,知abc.,4.(2019晋中模拟)若 则实数a的取值范围是_.,【解析】不等式 等价于a+13-2a0 或3-2aa+10或a+103-2a.解得a-1或 a . 答案:(-,-1),【规律方法】幂函数的关注点 (1)幂函数的形式是y=x(R),其中只有一个参数,因

7、此只需一个条件即可确定其解析式.,(2)若幂函数y=x(R)是偶函数,则必为偶数.当是分数时,一般先将其化为根式,再判断. (3)若幂函数y=x在(0,+)上单调递增,则0,若在(0,+)上单调递减,则0.,考点二求二次函数的解析式 【典例】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.,【解析】(利用二次函数的一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a0). 由题意得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,【一题多解】解决本例还可以采用以下方法: 方法一:(利用二次函数的顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n.

8、因为f(2)=f(-1),所以抛物线对称轴为x= 所以m= ,又根据题意函数有最大值8,所以n=8,所以y=f(x)= 因为f(2)=-1,所以a +8=-1, 解得a=-4, 所以f(x)=-4 +8=-4x2+4x+7.,方法二:(利用两根式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即 =8.,解得a=-4或a=0(舍去), 故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,【规律方法】用待定系数法求二次函数的解析式 关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:,

9、【对点训练】 1.已知二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为_.,【解析】依题意可设f(x)=a(x-2)2-1, 又其图象过点(0,1),所以4a-1=1, 所以a= ,所以f(x)= (x-2)2-1= x2-2x+1. 答案:f(x)= x2-2x+1,2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4,则该函数的解析式为f(x)=_.,【解析】由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称, 所以-a=- ,即b=-2, 所以f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域为(-,4,所以2a2=4, 故f(x)=-

10、2x2+4. 答案:-2x2+4,考点三二次函数的性质及其应用 【明考点知考法】 高考对二次函数的图象与性质进行单独考查的频率较低.二次函数的图象与性质和一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点.,命题角度1二次函数的最值问题 【典例】已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间-1,2上有最大值4,求实数a的值.,【解析】f(x)=a(x+1)2+1-a. (1)当a=0时,函数f(x)在区间-1,2上的值为常数1,不 符合题意,舍去. (2)当a0时,函数f(x)在区间-1,2上是增函数,最大 值为f(2)=8a+1=4,解得a= .,(3)当a0时,函数f(x)在区间-1,2

11、上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3. 综上可知,a的值为 或-3.,【互动探究】将本例改为:求函数f(x)=x2+2ax+1在区间-1,2上的最大值.,【解析】f(x)=(x+a)2+1-a2, 所以f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a. (1)当-a- 时,f(x)max=f(2)=4a+5, (2)当-a 即a- 时,f(x)max=f(-1)=2-2a, 综上,f(x)max=,【状元笔记】 二次函数最值问题中的“三点一轴” 三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,用函数的单调性及分类整合的思想即可完成.,命题角度2二次函数中的恒成立

12、问题 【典例】(2018武邑调研)已知定义在R上的奇函数 f(x)满足:当x0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t) f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是 (),A.(-,- ) B.(- ,0) C.(-,0)( ,+) D.(-,- )( ,+),【解析】选A.当xf(2m+mt2)对任意实数t恒成立,知-4t2m+mt2对任意 实数t恒成立,即mt2+4t+2m0对任意实数t恒成立,故 有 解得m(-,- ).,【状元笔记】 由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路 (1)数形结合法.ax2+bx+c0)对xx1,x2)恒成立 其中f(x)=ax2+bx+c. (

13、2)分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据是 af(x)af(x)max,af(x)af(x)min.,【对点练找规律】 1.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,则实数a的取值范围为_.,【解析】2ax2+2x-30在-1,1上恒成立. 当x=0时,-30,成立; 当x0时,a 因为 (-,-11, +),当x=1时,右边取最小值 ,所以a . 综上,实数a的取值范围是 . 答案:,2.设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为g(a),求g(a).,【解析】因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1, 所以对称轴为直线x=1, 当-2a1时,函数在-

14、2,a上单调递减, 则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;,当a1时,函数在-2,1上单调递减,在1,a上单 调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.综上, g(a)=,思想方法系列5数形结合思想和分类整合思想在二次函数中的应用 【思想诠释】研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.,【典例】设函数f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函数f(x)的最小值.,【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,函数图象的对称轴为x=1. 当t+11,即t0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间t,t+1上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1; 当t1t+1,即0t1时,函数图象如图(2)所示,f(x)在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;,当t1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间 t,t+1上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2. 综上可知,f(x)min=,【技法点拨】解二次函数定区间