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文档简介

1、2020/9/3,高数同济六版,*第五节,一、被积函数含参变量的积分,二、积分限含参变量的积分,含参变量的积分,第十章,2020/9/3,高数同济六版,一、被积函数含参变量的积分,上的连续函数,则积分,确定了一个定义在a, b上的函数,记作,x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分.,含参积分的性质,定理1.(连续性),上连续,则由 确定的含参积分在a, b上连续., 连续性, 可积性, 可微性 :,2020/9/3,高数同济六版,证:,在闭区域R上连续, 所以一致连续,即,只要,就有,就有,这说明,2020/9/3,高数同济六版,定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运,算与积分运

2、算的顺序是可交换的.,同理可证,续,则含参变量的积分,由连续性定理易得下述可积性定理:,2020/9/3,高数同济六版,定理2. (可积性),上连续,同样,推论:,在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,即,2020/9/3,高数同济六版,定理3. (可微性),都在,证: 令,函数,2020/9/3,高数同济六版,因上式左边的变上限积分可导,因此右边,且有,此定理说明, 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续,时,求导与求积运算是可以交换顺序的 .,2020/9/3,高数同济六版,例1.,解:,由被积函数的特点想到积分:,2020/9/3,高数同济六版,例2.,解:,考虑含参变量 t 的积分

3、所确定的函数,显然,由于,2020/9/3,高数同济六版,故,因此得,2020/9/3,高数同济六版,二、积分限含参变量的积分,在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形,例如,为定义在区域,上的连续函数,则,也是参变量 x 的函数 ,其定义域为 a , b .,利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.,2020/9/3,高数同济六版,定理4.(连续性),上连续,则函数,证: 令,则,由于被积函数在矩形域,上连续,由定理1知,上述积分确定的函数,2020/9/3,高数同济六版,定理5. (可微性),都在,中的可微函数,则,证:,令,2020/9/3,高数同济六版,利用复合函数求导法则及变限积分求导, 得,2020/9/3,高数同济六版,例3.,解:,2020/9/3,高数同济六版,例4.,分小时, 函数,的 n 阶导数存在, 且,证: 令,在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理5 可得,2020/9/3,高数同济六版,即,同理,于

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