人教B学案2弧度制和弧度制与角度制的换算.ppt

1、2020/9/10,2020/9/10,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,2020/9/10,1. 叫做角度制. 2. 叫做1弧度的角；以弧度为单位来度量角的制度叫做 ，在弧度制下，1弧度记作 . 3.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个 与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一 个 和它对应. 4.360= rad;1= rad rad; n= rad. 1rad= = ; arad= .,用度作单位来度量角的制度,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角,弧度制,1rad,正数,负数,零,实数（角

2、度数或弧度数）,角,2,0.01745,57.30,5718,2020/9/10,5.弧长公式l= ，扇形面积公式 S= = .,0,2020/9/10,学点一 弧度制的概念,下列选项中，正确的是（ ） A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位,【分析】将一弧度的角的定义与各选项比较，排除错误 选项，选出正确选项.,2020/9/10,【解析】由定义可知A，B，C都不正确. 故应选D.,【评析】弧度制是用“弧度”来度量角或弧的一种度量制度，这种制度的基本单位是弧度，没有辅助单位

3、，不象角度制那样，除基本单位“度”外，还有辅助单位“分”和“秒”，由于角度制的思维惯性，往往初学弧度制时，感到不易接受这种新的度量制度，要注意理解弧度的意义，逐步体会弧度制的合理性及优越性。,2020/9/10,下列选项中，错误的是（ ） A.“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1 rad的角比1的角大 C.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关,（用角度制和弧度制度量角时，角的大小都与圆的半径无关，C不正确. 故应选C.）,C,2020/9/10,把下列各角用另一种度量制表示出来: 11230;36; 【分析】角度制与弧度制之间的换算可以利用1= 弧 度,1弧度= 57.3来

4、完成,对于某些特殊角也可以利用 180=这个关系来实现换算.,【解析】11230= 36=36 = . = ( )=-75. 3.5=3.5( )o 200.54.,学点二 角度与弧度的互化,=,2020/9/10,【评析】(1)用弧度制表示角时,“弧度”二字可以省略不写,而用角度制表示角时,要特别注意单位“”不能丢,因为1与1是完全不同的两个角. (2)对于常用的特殊角,角度与弧度之间换算要熟练、准确. 如30= , 45= , 60= , 90= , 120= , 135= , 150= , 180=, 270= , 360=2等.,2020/9/10,设角1=-570,2=750,1=

5、弧度，2= 弧度.（1）将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将1，2用角度制表示出来，并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.,（1）180=，-570= - =-4+ . 750 = =4 + .1在第二象限，2在第一象限. （2）1= =108, 设=k360+1(kZ),-7200, -720k360+1080,k=-2或k=-1. 在-7200间与1有相同终边的角是-612和-252.同理，2=-420，且在-7200间与2有相同终边的角是 -60.,2020/9/10,已知=1 690, （1）把写为+2k(kZ)，0,2）的形式； （2）求,使与的终边

6、相同，且(-4,-2). 【分析】根据题意，应先将由角度制化为弧度制，然后分别在区间0,2）和（-4,-2）上找出与终边相同的角.,学点三 终边相同的角,【解析】（1）将化为弧度，为 1 690= . 于是 = +8,其中 0,2）. （2）由（1）得与终边相同的角为 +2k(kZ). -4 2k+ -2(kZ)，得k=-2. = -4+ = .由于= (-4,-2), = 即为所求.,2020/9/10,【评析】所有与角终边相同的角，连同在内，可表示成集合|=+2k,kZ.,2020/9/10,设A=|= k,|k|10,kZ, B= | = k,kZ . 求与AB中角的终边相同的角的集合.

7、,设0AB，则0A且0B,从而 0= k1,0= k2. k1= k2, 即k1= k2，又|k1|10,k1Z,k2Z, k2 10,k2=0,10,-10. 因此，AB=-15,0,15. 所有与AB中角的终边相同的角的集合为 |=2k或=2k,kZ.,2020/9/10,学点四 扇形弧长及其应用,如图所示,扇形AOB的面积是4 cm2,它的周长是10 cm, 求扇形的中心角的弧度数及弦AB的长. 【分析】由扇形面积公式与弧 长公式代入求解.,2020/9/10,【评析】(1)弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到简化,所以在解决这些问题时通常采用弧度制.(2)一般地说,在几何图

8、形中研究的角,其范围是(0,2).,2020/9/10,解答下列各题: (1)求半径为2,圆心角为 的圆弧的长度; (2)在半径为6的圆中,求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积.,(1)半径R=2,圆心角= , 弧长l=R= . (2)如图所示. AB=6,OA=OB=6,AOB= . 扇形AOB的面积SAOB= lR= R2 = 62=6.又AOB是等边三角形, SAOB = 62=9 .弓形面积S=6-9 .,2020/9/10,用30 cm长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 【分析】将扇形面积用扇形半径r或扇形弧长 (或其他变量)表示出来,然后

9、求最值.,【解析】解法一:设扇形半径为r,弧长为 ,扇形面积为S,则 +2r=30,即 =30-2r. 将式代入S= r,得S= (30-2r)r=-r2+15r=-(r- )2+ 所以当r= 时,扇形面积最大,且最大面积为 cm2.此时圆 心角= =2.,学点五 扇形面积及其最值,2020/9/10,解法二:设扇形的半径为r,圆心角为,则弧长为r,由题 意,得2r+r=30,即r= .所以 S= r2= 整理,得S2+(4S-450)+4S=0. 由S0及0知,-3 600S+202 5000, 所以S ,即扇形的最大面积为 cm2.将S= 代入式解 得=2,r= . 答:当扇形半径为 cm

10、,扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积最大,最大面积为 cm2.,【评析】(1)本题解法二是用判别式法求最大值,应注意这种方法的应用.(2)解应用题最后必须有结论(答),否则不完整.,2020/9/10,当扇形的周长C一定时，它的圆心角取何值才能使该扇 形面积S最大？最大值是多少？,设扇形半径为R，则扇形的弧长为C-2R， S= （C-2R）R=-R2+ R =-(R- )2+( )2， 0C-2R2R, +2R ， 当R= ，即= =2时，S取得最大值 .,2020/9/10,1.如何理解角度制与弧度制的统一关系？ 角的概念推广后，无论用角度制.还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种

11、一一对应关系，只是对应法则不同而已，即“每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应”.由于对应法则不唯一，某个角对应的实数往往不同，但是在一种对应法则下，一个角对应的实数是唯一的.对应法则可以是弧度制，也可以是角度制.不要以为只有弧度制才能将角与实数一一对应.,2020/9/10,2.如何使用弧度制？ （1）讲完了弧度制后，角度制与弧度制中的单位不能混用.如6+k360或60+2k的写法是不允许的，尤其是当角用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k360+等. （2）用“度”作为单位度量角时，“度”（即“”）不能省略.用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”两字可以省略.如sin3是指sin(3rad)，这时的弧度数3在形式上是一个不名数，应理解为名数.常常把弧度数写成多少的形式，如无特别要求，不必把写成小数的形式. （3）用角度制表示角时，总是十进制、六十进制混用，度与度之间、分与分之间、秒与秒之间是十进制的，例如10个6度是60度等，而度、分、秒之间的关系是六十进制的，计算起来不方便，因此，学习弧度制具有一定的优越性. 3.使用公