抛物线焦点弦性质

1、-精品文档!值得拥有！-抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【问题】已知抛物线,过焦点f作一直线l交抛物线于a、b,【探究1】求弦长|ab|。【结论1】。【探究2】还有没有其他方法求弦长|ab|？(1)当时,直线l的斜率不存在,此时ab为抛物线的通径,结论得证；(2)当时,设直线l的方程为：，即：，代入抛物线方程得：，由韦达定理，由弦长公式得。【结论2】若直线l的倾

2、斜角为，则弦长。【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？的最小值为。【结论3】过焦点的弦中通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了a、b两点的坐标关系？，。【结论4】(1)；(2)x1x2=。【探究5】以ab为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？ 设m为ab的中点,过a点作准线的垂线aa1,过b点作准线的垂线bb1, 过m点作准线的垂线mm1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知:，所以二者相切。【结论5】以ab为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接a1f、b1 f 则 a1f、b1 f有什么关系？;同理a1fb1 f。【结论6】a1fb1f。【探究7】刚才我们证得为直角三角形，

3、那么图形中还有哪些直角三角形？由“探究5”知m1 在以ab为直径的圆上am1bm1。由“探究6”知为直角三角形，m1 是斜边a1 b1 的中点，m1fab。【结论7】am1bm1，m1fab。进而可得如下结论：以a1b1为直径的圆与直线ab相切。【探究8】点o、b1的位置关系？因为，而，所以，所以三点共线。【结论8】点o、b1三点共线。【类似结论】（1）b、o、a1三点共线；（2）设直线ao与抛物线的准线的交点为b1，则bb1平行于轴；(2001年高考题) （3）设直线bo与抛物线的准线的交点为a1，则aa1平行于轴。【探究9】由抛物线的定义得：。【结论9】。【探究10】是定值吗？(2001年

4、高考题)【法1】因为直线l的倾斜角为,过a作ar垂直于轴,垂足为r,设准线与轴的交点为r1,则；同理可得：。（这实际上是极坐标的观点，想法不错）【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。，而，又 。（数与形的结合，这是重要的数学思想）【法3】，（。（利用前后知识的联系，不错）【法4】直接利用“结论9”，可得证。【结论10】。此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出：今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃，探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。如：1.与的交点是否在轴上？ 2.构成的四边形是什么四边形？【课后反思】1、设计意图：本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力,同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能