实验3(极限、导数和积分).ppt

1、数学实验,实验三 极限、导数和积分,实验目的,学会用matlab软件进行极限、导数、积分等符号运算; 通过计算、画图等手段，加强对数学概念：极限、导数、积分的理解； 了解数值积分理论，掌握几种计算复杂积分近似值的方法。,建立符号变量,MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两 个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、 函数或表达式。 (2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量。MATLAB提供了另一个 函数syms，一次可以定义

2、多个符号变量。一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符 ()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,建立符号表达式,含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)用sym函数建立符号表达式。 (2)使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,(1)sym(x)2-1 (2)syms x y=exp(2*x)*log(x2+1)*tan(-x),例,1符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympo

3、w来实现。 2符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为： n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。,符号表达式的运算,3符号表达式的因式分解与展开 MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为： factor(s)：对符号表达式s分解因式。 expand(s)：对符号表达式s进行展开。 collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。 4符号表达式的

4、化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。 simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。,符号表达式的运算,limit(f,x,a) 求表达式f当xa时的极限 limit(f,a) 对系统默认变量且该变量 a时的极限 limit(f) 对系统默认变量且该变量 0时的极限 limit(f,x,a,right) 或limit(f,x,a,left),Matlab软件求函数极限,极限示例1, syms x; L1=limit(cos(x)-exp(-x2/2)/x4),示例1,syms x t; L2

5、=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf),syms x; L3=limit(1/x,x,0,right),syms x; L4=limit(2x-log(2x)-1)/(1-cos(x),示例2,syms x; a=limit(sin(x)/x) b=limit(1+x)(1/x),示例3,示例3：程序1,syms x; L1=limit(cos(1/x) %求极限 a=0.001; b=0.00002; rx=a:-b:0.00001; ry=cos(1./rx); lx=-rx; ly=cos(1./lx); plot(lx,ly,rx,ry) %作图,示例31,示例3：程序

6、2,syms x; R1=limit(1/x,x,1,right) %求右极限 L1=limit(x2-1)/(x-1),x,1, left ) %求左极限 rx=2:-0.0001:1.0001; ry=1./rx; lx=0:0.0001:0.9999; ly=(lx.2-1)./(lx-1); plot(lx,ly,rx,ry) %画图,示例32,示例3：程序3,syms x; R0=limit(sin(1/x)/x,x,0,right) L0=limit(sin(1/x)/x,x,0,left) ezplot(sin(1/x)/x,0.00001,0.0001),示例33,matlab

7、软件求函数导数,（1）diff(X)差分 若X为向量，diff(X)的结果为 X(2)-X(1) X(3)-X(2) . X(n)-X(n-1). 若X为矩阵，diff(X)的结果行差分矩阵 X(2:n,:) - X(1:n-1,:),导数,（2）diff(f,x) 对以x为变量的表达式f求一阶导数 （3） diff(f,x,n) 对以x为变量的表达式f求n阶导数,示例4,示例4：程序,% 第1问的程序 syms x; y=exp(2*x)*log(x2+1)*tan(-x); y1=diff(y,x,1) y3=diff(y,x,3) %第2问的程序 syms x y; z=(x2+y2)*

8、exp(x2+y2)/(x*y); zx=diff(z,x) z2x=diff(z,x,2) zxzy=diff(diff(z,x),y),示例5,%方法1 syms x; y=x3-x*sin(x); dy=diff(y,x,1) x=1; y1=eval(dy),%方法2 syms x; y=x3-x*sin(x); dy=diff(y,x,1) y1= subs(dy,x,1),示例6,示例6：程序,clear;clc;clf; syms x; fx=exp(x/2)*sin(2*x); fdx=diff(fx,x,1) fd2x=diff(fx,x,2) ezplot(fx,2,3*p

9、i),gtext(函数) hold on ezplot(fdx,2,3*pi),gtext(一阶导数) ezplot(fd2x,2,3*pi),gtext(二阶导数) title(函数、一阶导数和二阶导数的图象) hold off,示例6,int(f) 求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分 int(f,v) 求函数f关于变量v的不定积分 int(f,a,b) 求函数f关于syms定义的符号变量从a到b的定积分 int(f,v,a,b) 求函数f关于变量v从a到b的定积分,Matlab软件求函数符号积分,示例7,示例7：程序,% 第1问 syms x; AI1=int(x3*exp(-x

10、2),x) AI2=int(1/(x*sqrt(x2+1),x) %第2问 syms x; BI1=int(x/sin(x)2,x,pi/4,pi/3) BI2=int(sin(x)4*cos(x)2,x,0,pi/2) %第3问 syms x y; CI=int(int(x*sin(x),x,y,sqrt(y),y,0,1) %第4问 syms x y z DI=int(int(int(x*y*z,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1),常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。 1傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(f,x

11、,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。 2拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。 3Z变换 当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。 iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。,积分变换,1.

12、符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。 例9-9 解关于x的方程x2-3*x*y+2*y2=0。 解 syms x y solve(x2-3*x*y+2*y2,x),符号方程求解,1.级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项

13、和末项。 2.函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,级数,Matlab软件求Taylor级数,调用格式： taylor(f) 求f 对默认变量的五阶Taylor展式 taylor(f,n) 求f对默认变量的前（n-1)阶Taylor展式 taylor(f,a) 求f对默认变量在a处的Taylor展式 taylor(f,x) 用指定变量x

14、代替findsym所确定的变量 taylor(f,n,x,a) %一般式,Taylor级数示例,解：syms x; taylor(exp(-x) taylor(log(x),8,1) taylor(xt,3,t),Matlab软件求数值积分,回忆定义:,(一)、函数的数值积分的基本思路,求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,Matlab软件求数值积分,

15、(一)、函数的数值积分的基本思路,矩形公式和梯形公式,1、从矩形公式到梯形公式,辛普森公式,2、辛普森(Simpson)公式(抛物线公式),辛普森公式,2、辛普森(Simpson)公式(抛物线公式),假设已知f(x0),f(x1),f(xn)的值。 以n + 1点进行插值，求得对应f(x)的拉格朗日多项式。 对该n次的多项式求积。 梯形法则和辛卜生法则便是n = 1,2的情况。,牛顿-柯特斯公式,n=1,n=2,n=3,n=4,（二）、用Matlab作数值积分,1、矩形积分法,可使用命令：sum(x)以及cumsum(x),输入数组x,输出为x的和，可用于按矩形公式（1）、（2）计算积分。,2

16、、梯形积分法,（2）、调用格式：z=trapz(x),输入数组x,输出为按梯形公式（3）计算的x的积分（步长为h=1),（1）、直接编程,2、梯形积分法,输入x，y为同长度的数组，输出y对x的积分（按梯形公式计算，但步长不一定相等）,（3）、调用格式：z=trapz(x,y),3、辛普森积分法,（2）、调用格式： z=quad(fun,a,b,tol) %辛普森（2阶）公式,（1）、直接编程,其中fun表示被积函数的M函数名，a,b为积分 的上下限，tol表示精度，缺省为1e -3。,4、牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,n=

17、quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,示例8：程序,clear;clc; h=pi/200;x=0:h:pi/2; %将区间(0.pi/2)100等分 y=sin(x); format long z1=sum(y(1:100)*h; %按矩形公式（1）计算 z2=sum(y(2:101)*h; %按矩形公式（2）计算 z3_1=sum(y(2:100)*h+h/2*(y(1)+y(101);

18、 z3=trapz(y)*h; %按梯形公式（3）计算 z4=quad(sin,0,pi/2); %按抛物线公式（4）计算 z5=quad8(sin,0,pi/2); %按牛顿-柯特期公式计算 z=z1; z2; z3_1; z3 ;z4;z5 format short,计算结果为： 0.99212545660563 1.00783341987358 0.99997943823961 0.99997943823961 0.99999999787312,注：精确结果为1。,示例9：程序,clear;clc; format long h=0.01;x=0:h:1; y=x.*exp(x); z1=trapz(y)*h; z2=trapz(x,y); f=x.*exp(x); z3=quad(f,0,1); z=z1;z2;z3 format short,结果为： z = 1.00003697125446 1.00003697125446 1.000000