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文档简介

1、数列极限,第二章,第二章,二、确界原理,一、实数系,第一节,实数系的连续性,一、实数系,数轴：,具有原点、单位长度的有向直线,0,+1,-1,+n,-n,自然数集：,大于等于零的整数集合，,记为,正整数集可记为,整数集合记为,有理数集合：,有理数表示为小数一定是无限循环小数,无限不循环小数称为无理数,有理数与无理数构成实数，记为,实数的性质,1.,实数对四则运算封闭。,2.,实数是有序的，即任意两个实数a,b必只能满足,下列三个关系之一：,3.,实数具有Archimedes(阿基米德)性，,即对任意,两个实数a,b,若ba0,存在正整数n,使得nab,4.,实数全体具有稠密性，,即任意两个不相

2、等的实数,之间必有另一个实数(而且既有有理数，也有无理数),2. 确界原理, 设S为R 中的一个数集，若存在数 M(或L) ，使得,对一切,都有,则称S为有上界,(或下界)的数集，,数M(或L)为S的一个上界(或下界)。, 设S既有上界又有下界，则S为有界集，否则为,无界集。, 若存在数,满足：,(1). 对一切,都有,即,是S的上界；,(2). 对一切,存在,使得,是S的最小上界，,即,则称,是S的上确界，记为, 若存在数,满足：,(1). 对一切,都有,即,是S的下界；,(2). 对一切,存在,使得,是S的最大下界，,即,则称,是S的下确界，记为, 确界原理：,设S为非空数集，若S有上界，

3、则S必有,上确界；,若S有下界，则S必有下确界。,证：,对任给一实数x都可表为: x=x+(x),这里x和(x),分别表示x的整数和非负小数部分。,若(x)为有限小数，,则化为无限小数表示，,这样数集S可用一个确定的,无限小数集表示：,若S有上界，,则可令S中元素整数部分最大者为,并记,显然,不是空集，,且对任何,再考察,中元素第一位小数，且令最大者为,并记,同样,不是空集，,且对任何,依次下去可得一列非空数集,和一列数,满足：,令,以下证,即为S的上确界。,则或者存在整数,使得,或者对,任何整数,若,有,若对任何整数,则由,的定义并依次,比较x和,的整数部分和每一位小数，,可知,所以对任何,

4、有,即,是数集S的上界。,又对任意给定的,可取充分大自然数,使得,再取,则,的整数部分及前,位小数一致，,这样有,从而任何小于,的数都不是S的上界。,即,是S的上确界。,同理可证非空有下界数集必有下确界。, 定理：,非空有界数集的上(下)确界是唯一的。, 实数的连续性：,确界存在定理反映了实数系的连续性。,从几何上讲，若实数全体不能布满整个数轴，而是,留有“空隙”，,则“空隙”左边的数集没有上确界，,“空隙”右边数集没有下确界。,例如：,有理数集Q内有上界的数集未必在Q内有上确界。,例,设,证明T在Q内没有,上确界。,证：用反证法。,设T在Q内有上确界，,则显然有,由于有理数的平方不可能等于2，,因此只有两种可能：,由于,可知：,由于,可知：,从而得出结论：T在Q内没

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