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文档简介
1、在这一章里我们要对于域作一些进一步的讨论我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨论,第五章 扩域,定理令 是一个域若 的特征是 ，那么 含有一个与有理数域同构的子域；若 的特征是素数 ，那么 含有一个与 同构的子域，这里 是整数环， 是由 生成的主理想,这就有如何选择域的 问题我们有以下事实,：,但 包含 的商域 由，10，定理4， 与 的商域，也就是有理数域同构,情形2 的特征是素数 这时 此处 是 的核但 所以 ，因而 由，引理， 是一个最大理想,另一方面， 所以 而 ，因而 证完,有理数域和 显然都不含真子域 定义一个域叫做一
2、个素域，假如它不含真子域 由定理知道：一个素域或是与 有理数同构，或是与同构因此定理的另一形式是 定理2另 是一个域若 的特征是，那么 包含一个与有理数域同构的素域；若 的特征是素数 ，那么 包含一个与 同构的素域,由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域；因此，如果我们能够决定素域的所有扩域，我们就掌握了所有的域但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域 的扩域来的容易因此我们研究域的普通方法是：设法决定一个任意域的所有扩域 ,现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构,另 是域 的一个扩域我们从 里取出一个子集来我们用 表示含 和 的 的最小子域，把它叫做添加集合 于 所得的扩域,形式的元，这里
3、 ， ， ，是 中的任意有限个元素，而 和 是 上的这些 的多项式这是因为： 既然是含有 和 的一个域，它必然含有一切可以写成形式（）的元；令一方面，一切可以写成形式（）的元已经作成一个含有 和 的域,适当选择 ，我们可以使 例如，取 ，就可以作到这一点实际上，为了作到这一点，常常只须取 的一个真子集 ,现在假定 那么按照上面的分析， 是一切添加 的有限子集于 所得子域的并集这样，求 就归纳为求添加有限集于 所得的子域以及求这些子域的并集,定理令 是域 的一个扩域，而 和 上 的两个子集那么,证明 是一个包含 、 和 的 的子域，而 是包含 和 的 的最小子域因此 （）,另一方面， 是一个包含 、 和 ，因而是一个包含 和 的 的子域但 是包含和 的 的最小子域，因此 （
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