概率与数理统计.ppt

1、1.2 事件的概率,1.2.1 概率的初等描述,概率的直观定义：在随机试验中，事件发生的可能性大小的数量指标。记为 P（A）,例：E-掷硬币，A=正面朝上，B=反面朝上,结论：,古典概型是一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。,* 引例,例1 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号 分别为110，现从中任取一球。,用i表示取到i号球，i = 1, 2, , 10，则该实验的样本空间 = 1,2,10（有限多个样本点）,且每个样本点出现的可能性相同（1/10）。,1.2.2 古 典 概 型,另如： 1掷一枚均匀的硬币 （1）有2个可能的结果 （2）每个结果

2、的出现都是等可能的 2掷一枚均匀的骰子 （1）有6个可能的结果 （2）每个结果的出现都是等可能的 3在5个白球3个黑球任取2个 （1）有 个可能的结果 （2）每个结果的出现都是等可能的,古典概型中事件概率的计算,例2 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，假设10个球中有7个是白色的，3个是红色的，现从中任取一球。 A=取得白球，B=取得红球 因此，很自然地定义,P(A)=7/10 P(B)=3/10,若一随机试验满足下述两个条件：,1) 样本空间只含有有限多个样本点（有限性）；,2）每个样本点出现的可能性相等（等可能性）。,则称这种随机试验为古典概型,即：=1，2，n,即：对每个 i

3、= 1，2，n 有：P(1)= P(2)= P(n)=1/n,这是一类最简单却是常见的随机试验。,古典概型定义,举例 1摸球问题 （组合问题） 例1 一袋中有大小、形状完全相同的5个白球4个黑球，从中任取3个球 求： （1）恰有2个白球1个黑球的概率 （2）没有黑球的概率 （3） 颜色相同的概率 解 设A=任取3个球，恰有2个白球1个黑球 B=任取3个球，没有黑球 C=任取3个球，颜色相同 P（A）= P（B）= P（C）=,另如： 1o 52 张牌中任取4张,求 （1）2张红桃，1张方块，1张黑桃的概率 （2）没有A的概率 （3）4张大小相同的概率,2o 一批产品100个，一、二、三、次品各

4、为20、30、40、10个，求 （1）任取5个均为一等品的概率 （2） 任取3个其中2个一等品，1个三等品的概率,3o P32 习题第6、7、8、9 、15 、 16题,概率的古典定义,在古典概型中，如果样本空间含n个样本点（基本事件） 事件A的有利样本点为 m个，则定义事件的概率 P(A)为：,称此概率为古典概率。,求概率问题,记数问题,2 排队问题 （不可重复的排列问题） 例1 一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序的概率。 解 设A“各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、 3、4、5顺序” 样本空间包含的基本事件总数 n=5！=120 事

5、件A中包含的基本事件个数m=2 所以,例2 （ P33第12题）把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 设A其中指定的三本书放在一起 则 P（A）= ,P37 习题第13、14题,3分房问题 (生日问题) （可重复的排列问题） 例1 （ P13例4）两封信随机地向标号为、的4个邮筒投寄。求：（1）前两个邮筒各投入1封信的概率（2）第个邮筒恰好投入1封信的概率 （3）两封信投入不同邮筒的概率 解 设A前两个邮筒各投入1封信 B第个邮筒恰好投入1封信 C两封信投入不同邮筒 而 样本空间包含的基本事件总数n=42=16 事件A中包含的基本事件个数mA=2!=2 事件B中包含的基

6、本事件个数mB=C21C31=6 事件C中包含的基本事件个数mC=P42=12 则 P（A）= 2/16 P（B）= 6/16 P（C）=12/16,例2 掷三枚骰子，求向上的点数全不相同的概率 解 设A向上的点数全不相同 样本空间包含的基本事件总数n=63 事件A中包含的基本事件个数mA= P63 则 P（A）= P63/63 练习： P3310 （1） = （2） （3）,P33 习题第11题,4抓阄问题 (抽签问题) 例1 10人抓阄决定谁得到4张电影票，(10张阉) 求 （1）第一人抓到电影票的概率 （2）第三人抓到电影票的概率 解 设A第一人抓到电影票 B第三人抓到电影票 1.不放回

7、地抓 （1） P（A）=4/10 （2）法1 考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则 P（B） =,法2 考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则 P（B）=,2.有放回地抓 考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则 P(B)= 考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则 P(B)=,解：由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可 能性相同。总共可能的取法是：,例2 袋中有a个白球，个黑球，从中任取一个，求（1）取出的球是白球的概率。,a+b 种,设表示“取到的是白球”,注 本例中的“球”可用其它东西代替，“颜色”也可以用其它性质代替。比如“球”被“产品”代替，“颜色”被“合格”或“不合格”代替等

8、。,故： 的样本点数 a P() = 样本点总数 a+b,解：设“第m次取到白球”,（2）袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出(1 ma+b)个球，取出的球不放回，求第m次取出的球是白球的概率。,方法1：把a+b个球全部取出看作一个样本点，共有（a+b）！种取法。发生共有 a1（a+b-1）！种取法， 1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,方法2：只考虑前m次取球的情况.共有 m Pa+b 种取法。发生共有 Ca1Pam-1+b-1 种取法，故 1m-1 CaPa+b-1 a P()= = m Pa+b a+b,注意：该结果与m无关 考虑有放回地摸取，结果如何？,

9、注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。,解：设“他抽到会答考签”,例3 抽签口试，共有a+b 个考签，每个考生抽一张，抽过的不在放回。考生王某会答其中a个签上的问题，他是第k个抽签应考的人（ka+b)，求他抽到会答考签的概率。,1 a（a+b-1）！ a P()= = （a+b）！ a+b,注意：该结果与 k 无关,古典概型的优、缺点,优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重 复试验。,缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可 能性成立的情形。,一、定义 （P14） 1、度量（测度）：对某区域 D（线段、平面图形、立体）的

10、大小的一种数量描述 （长度、面积、体积），用 (D) 表示 2、几何概型 设区域G 区域，向区域内随机地（等可能地）投点，点落入G的概率与区域G的测度成正比，而与该区域在中的位置、形状无关，则称此概率模型为几何概型,1.2.3 几何概型,3、几何概率的求法 （P14） 随机试验的样本空间的测度为() ，区域G（ ）的测度为(G) ，用A表示“在区域内任取一点，而该点落入区域G中”这一事件，则事件A的概率定义为 P（A）=,例1 49路公共汽车每隔6分钟来一辆，现有某人在等车，问他等车不超过4分钟的概率。 样本空间 =0，6 若设A等车不超过4分钟 A=0，4 P（A）=,例2 （会面问题 ）甲

11、乙两人约定在6时到7时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。假定每人在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。 解 设A两人能会面 x甲到达约会地点的时刻 y乙到达约会地点的时刻 则样本空间=（x，y）| 0 x 60，0 y60 A为区域 G=（x，y）| 0 | x -y | 15 且G 于是 P（A）=,0,60,60,x,y,G,另解 设A两人能会面 x甲到达约会地点的时刻 y乙到达约会地点的时刻 则样本空间=（x，y）| 6x 7，6 y7 A为区域 G=（x，y）| 0 | x -y | 1/4， 且G 于是 P（A）=,0,x,y,G,例

12、3（P37 第17题）甲乙两艘轮船向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲乙两船的停泊时间都是一小时，求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率。 解 设A它们中任何一艘都不需等候码头空出 x甲船到达码头的时刻 y乙船到达码头的时刻 则样本空间=（x，y）| 0 x 24，0 y24 A为区域 G=（x，y）| | x -y | 1， 且G 于是 P（A）=,1.2.4 频率与概率 1、频率的定义及性质 1频率（定义1.1)：在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则称m为事件A发生的频数，m/n为事件A发生的频率，记为 n (A) 2 性质： （1）非负

13、性 对任意事件A，0n(A) 1 （2）规范性 对于必然事件，有n( )=1 （3）可加性 若事件A与B互不相容，则 n(A+B)=n(A)+n(B),2、概率的统计定义 定义1.1 在相同的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在0到1之间的某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作 P(A) 注意 （1）频率的稳定值为概率，所以，一般n充分大时，常用频率作为概率的近似值 （2）概率是先于试验而存在的,设试验的样本空间为，设对每个事件A,都有一个实数P(A)与之对应，满足下列三条公理：,(2) 规范性: P()=1,(3) 完全可加性（可列

14、可加性）:若Ak (k=1，2，) 两两互不相容，则 (Ai) = (Ai) i=1 i=1,定义1.2(概率的公理化定义),(1)非负性 : 对于任一事件A，都有 0P(A)1,则称函数P(A)为事件A的概率。,1.2.5 概率的公理化定义,概率的主要性质,性质1 不可能事件的概率为零，即P()=0,证明 因=+，由公理得P()= P()+ P()+，故 p()=0,证明 因：,性质2 (有限可加性) 若A1，A2，An 两两互不相容， 则,而：,故：,由公理3得,推论： 若A1，A2，An 构成完备事件组，则,性质4 任给 A，B两事件，则：P(AB)P(A)P(AB) 若则： P(AB)

15、P(A)P(B) P(A)P(B),证明 因,由性质2有,即：,故：,证明：因,且(A-B)与AB互不相容，由性质2 (有限可加性)，得 P(A)P(A-B)P(AB) P(AB)P(A)P(AB),当时，有：AB=B，故有：P(AB)P(A)P(B),当时，有P(AB)P(A)P(B) 0,则 P(A)P(B),证明 因： A+B=A+(B-AB) 且 A(B-AB)= （即：A与B-AB互不相容），由性质2 (有限可加性)得：,性质 加法公式 P(A+B)P(A)P(B)P(AB),一般的加法公式:,代入上式得：P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB),P(B-AB)=P(B)-P(AB),又因AB包含于B，由性质4得：,P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB),推论：当A与B互不相容时 P(A+B)P(A)P(B),解：设 A表示“3个球中至少有2个白球”,例1：（课本P20例1)一袋内装有大小相同的7个球，其中4个白球，3个黑球。从中任取3个，求至少有2个白球的概率？,A1表示“3个球中正好有2个白球”,A2表示“3个球中正好有3个白球”,解：设 A表示“至少有两件产品等级相同”,例2：（课本P21例3)一批产品共20件，其中一等品6件，二等品10件，三等品4件。从中任取3件，求