Chapter02.1数列极限PPT课件.ppt

1、Chap2 极限与连续,古希腊Archimede“穷竭法”； 中国魏晋时代刘徽“割圆术”； Newton“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。,Chap2 1,数列极限,一、数列,定义1 函数 f : NR称为数列，记为xn. 即xnf (n), nN,或x1, x2,xn, xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。, 几何意义：数列对应着数轴上一个点列， 可看作一动点在数轴上依次取,例1 讨论数列的单调性和有界性,（n重根号）,二、数列极限定义,定义2 设有数列xn. 若存在常数A，使得0, NN, 当nN时，|xnA|，则称xn的极限为A，或称x

2、n收敛 于A，记为,若A不存在，则称数列xn无极限，或称为发散(不收敛),是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性， 说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对 固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。, N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足 |xnA|，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。, 通常N具有依赖性，即NN()，但不具有唯一性。, 几何意义,三、收敛数列的性质,定理1 （唯一性）若数列xn存在极限，则其极限值必唯一. 即,定理 2（有界性）收敛数列必有界。即如果xn收敛，则M0, 使得nN有,推论1 无界数列必发散。,推论2 若数列,定理3 （不等式性）若

3、,即使将“xn yn”换为“xn yn”, 结论也不能改为“A B”.,推论4 若,推论3 （保号性）若,若将“A0”换为“A0”, 则结论改为,定理4（夹逼性）设数列xn, yn, zn满足条件,例10. 设,求f (x)的表达式.,四、数列极限的运算,定义3 若 ，则称数列 为无穷小（量）。,有限个无穷小量之和仍为无穷小； 无穷小乘有界量仍为无穷小； 有限个无穷小之积仍为无穷小,例11 证明 xn为无穷小的充要条件是|xn|为无穷小.,定理4（极限与无穷小关系）,数列xn收敛 AR及无穷小量n使xnA + n.,定理5 若,一个公式,例12 求极限,思考,定义4 对数列 , 若 则称数列

4、为无穷大（量），记为,无穷小，无穷大和无界的关系,(A) 无穷小. (B) 无穷大. (C) 有界的，但不是无穷小. (D) 无界的，但不是无穷大.,Stolz定理 设yn严格增加，且 . 若,则有 (A可为).,在 存在的前提下有公式,例如 xn=(1)n，yn = n, 则 ，但,A时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn = n, 则,但 无极限.,推论1 若 , 则有,推论2 若an 0, 且 , 则有,推论3 若an 0, 且 , 则有,例14 求极限,Ex. 求极限,五、数列收敛准则,1单调有界定理 设数列xn单调增加. 则当xn有上界时, xn收敛，当xn 上无界时, xn为

5、正无穷大，且均成立,若xn为单调数列. 则xn收敛 xn有界.,想一想 数列xn单调减少时的情形？,(n重根号),例15 设,例17 证明数列,e=2.7182818284是自然对数的底(lnx = logex), 是无理数.,证明 存在并求之.,且xn单调增加收敛于e, yn单调下降收敛于e.,例18 设,证明cn收敛.,实际上, 我们还有,定义5 数列xn中依次取出下标为n1 n2 nk 的项组成的新数列,称为xn的一个子列，记为, 子列 是k的函数，而不是n的函数。且, 奇子列,2 归并性定理,可用于判定数列发散。即若能找到xn的一个发散子列 或两个极限不同的子列，就可断定xn发散.,命题,例19 说明数列(1)n发散。,例20 证明无界数列必有一子列为无穷大。,定理6 设xn为单调数列， A . 则,例21 设,证明,当p 1时，an收敛；当p 1时，an为正无穷大.,3 Cauchy收敛准则 数列xn收敛的充要条件是：,基本列(Cauchy列) 满足上述必要性条件的数列！,等价形式：,否定