第6章--假设检验与方差分析

1、第六章 假设检验与方差分析,主讲人：马 岚,统计学导论马岚主讲,2,参数估计和假设检验是统计推断的两个组成部分，它们都是利用样本对总体进行某种推断，然而推断的角度不同。参数估计讨论的是用样本统计量估计总体参数的方法，总体参数在估计前是未知的。而在参数假设检验中，则是先对总体参数的值提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立。因此，本章所讨论的内容，是如何利用样本信息，对假设成立与否做出判断的一套程序。,统计学导论马岚主讲,3,假设检验在统计方法中的地位,统计学导论马岚主讲,4,本章内容介绍,第一节 假设检验的基本原理 第二节 总体均值的假设检验 第三节 总体比例的假设检验 第四节 总

2、体方差的假设检验 第五节 单因子方差分析,统计学导论马岚主讲,5,1 假设检验的基本原理,统计学导论马岚主讲,6,一、假设检验的概念,所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以假设检验又被称为显著性检验。,统计学导论马岚主讲,7,统计学导论马岚主讲,8,二、假设检验的步骤,一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤： （1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计算统计量的具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。,统计学导论马

3、岚主讲,9,（一）提出原假设和备择假设 原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某值，或服从某个分布函数等； 备择假设是与原假设互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成立。 所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正确，若拒绝原假设H0，则意味着接受备择假设H1 。 在假设检验中，“”总是放在原假设上。 见下例。,统计学导论马岚主讲,10,例如，1989年出生的婴儿体重平均为3190克，可以提出一个命题（假设）： “1990年出生的婴儿与1989年出生的婴儿在体重上没有什么差异”，于是可以这样表示： 原假设与备择假设互斥，肯定原假设，意味着拒绝备择假设；否定原假设，意味着接受备择假设。

4、,统计学导论马岚主讲,11,（二）确定适当的检验统计量，并计算统计量的具体数值 检验统计量是根据所抽取样本计算的用于检验原假设是否成立的随机变量。 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数。 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知的分布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率。,统计学导论马岚主讲,12,统计学导论马岚主讲,13,（三）规定显著性水平 显著性水平是指当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。 这个概率是人为确定的，通常取0.05或0.01。 这表明，当作出接受原假设的决定时，其正确的可能性（概率）为95或99。,统计学导论马岚主讲,14,（四）作出判断 根据显著性水平

5、和统计量的分布，可以找出接受域和拒绝域的临界点 用计算出的检验统计量的值与临界点值相比较，就可以作出接受原假设或拒绝原假设的统计决策。,统计学导论马岚主讲,15,三、假设检验中的小概率原理,假设检验的基本思路是应用小概率原理。 所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。根据这一原理，可以作出是否接受原假设的决定。 见下例。,统计学导论马岚主讲,16,例如，有一个厂商称其产品的合格率很高，可以得到99，那么从一批产品中（如100件）随机抽取1件，这一件恰好是次品的概率就非常小，只有1。 如果厂商的宣称是真的，随机抽取1件是次品的情况就几乎不可能发生的； 但如果这种

6、情况确实发生了，就有理由怀疑原来的假设，即产品中只有1次品的假设是否成立，这时就可以推翻原来的假设，可以做出厂商的宣称是假的这样一个推断。,统计学导论马岚主讲,17,进行推断的依据就是小概率原理。当然，推断也可能会犯错误，即这100件产品中确实只有1件是次品，而恰好在一次抽取中被抽到了。 所以上例中犯这种错误的概率是1，即我们在冒1的风险作出厂商宣称是假的这样一个推断。这里的1即显著性水平。,统计学导论马岚主讲,18,四、假设检验中的两类错误,假设检验是由部分来推断总体，因而假设检验不可能绝对准确，它也可能犯错误。 所谓的犯错误有两种类型：一类错误是原假设为真却被拒绝了，犯这种错误的概率用来表

7、示，也称作错误或弃真错误；另一类错误是原假设为伪却被接受了，犯这种错误的概率用来表示，也称作错误或取伪错误。 见下表。,统计学导论马岚主讲,19,统计学导论马岚主讲,20,统计学导论马岚主讲,21,自然，人们希望犯这两类错误的概率越小越好，但对于一定的样本量n，不能同时做到使这两类错误的概率都很小。 使和同时变小的办法为：增大样本量。 但样本量不可能没有限制，否则就会使抽样调查失去意义。因此，在假设检验中，就有一个对两类错误进行控制的问题。,统计学导论马岚主讲,22,五、双侧检验和单侧检验,图6-1 双侧、单侧检验的拒绝域分布,统计学导论马岚主讲,23,表6-1 拒绝域的单、双侧与备择假设之间

8、的对应关系,统计学导论马岚主讲,24,在统计的假设检验中，一般是把“不能轻易否定的命题”作为原假设，把“需要验证的问题”作为备择假设。什么是“不能轻易否定的命题”？一般来说，原有的理论、原有的看法、原有的状况、或者说是那些保守的、历史的、经验的，在没有充分论据证明其错误前总是被假定为正确的，作为原假设，处于被保护的位置，而那些猜测的、可能的、预期的取为备择假设。假设检验的目的就是要用事实验证原来的理论、看法、状况等是否成立，或更明确地说，是希望用事实推翻原假设。,统计学导论马岚主讲,25,统计学导论马岚主讲,26,六、假设检验中的P值与临界值,（一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超

9、过(大于或小于)具体样本观测值的概率。 如果P-值小于所给定的显著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原假设。,统计学导论马岚主讲,27,统计学导论马岚主讲,28,统计学导论马岚主讲,29,（二）临界值规则 根据所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作临界值。 用检验统计量的观测值与临界值作比较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝域）内，便拒绝原假设； 观测值落在临界值划定的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认为拒绝原假设的证据不足。,统计学导论马岚主讲,30,图6-1 双侧、单侧检验

10、的拒绝域分配,统计学导论马岚主讲,31,显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在做检验的时候，只用其中一个规则即可。 P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。这主要是：第一，它更加简捷；第二，在值规则的检验结论中，对于犯第一类错误的概率的表述更加精确。 推荐使用P-值规则。,统计学导论马岚主讲,32,2 总体均值的假设检验,一、单个总体均值的检验 二、双总体均值是否相等的检验,统计学导论马岚主讲,33,一、单个总体均值的检验,统计学导论马岚主讲,34,统计学导论马岚主讲,35,统计学导论马岚主讲,36,统计学导论马岚主讲,37,总体均值的检验(检验统计量),总体 是否已知？,统计学导论马岚主

11、讲,38,统计学导论马岚主讲,39,统计学导论马岚主讲,40,统计学导论马岚主讲,41,统计学导论马岚主讲,42,由于P值0.05，所以不拒绝原假设，即样本数据没有充分证据说明这天的自动包装机工作不正常。,统计学导论马岚主讲,43,统计学导论马岚主讲,44,统计学导论马岚主讲,45,统计学导论马岚主讲,46,统计学导论马岚主讲,47,统计学导论马岚主讲,48,统计学导论马岚主讲,49,二、双总体均值是否相等的检验,统计学导论马岚主讲,50,统计学导论马岚主讲,51,统计学导论马岚主讲,52,统计学导论马岚主讲,53,统计学导论马岚主讲,54,统计学导论马岚主讲,55,【例题】某工厂为了比较两种

12、装配方法的效率，分别组织了两组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外一组采用旧的装配方法。假设两组员工设备的装配时间均服从正态分布，两总体的方差相等但未知。现有18个员工的设备装配时间见表6-2，根据这些数据，是否有理由认为新的装配方法更节约时间？（显著性水平0.05） 表6-2 两组员工设备的装配时间 单位：小时,统计学导论马岚主讲,56,统计学导论马岚主讲,57,3 总体比例的假设检验,一、单个总体比例的检验 二、两个总体比例是否相等的检验,统计学导论马岚主讲,58,一、单个总体比例的假设检验,统计学导论马岚主讲,59,统计学导论马岚主讲,60,【例题】一项调查结果声称，某市小学生每月

13、零花钱达到200元的比例为40%，某科研机构为了检验这个调查是否可靠，随机抽选了100名小学生，发现有47人每月零花钱达到200元，调查结果能否证实早先调查40%的看法？（ ）,统计学导论马岚主讲,61,统计学导论马岚主讲,62,二、两个总体的比例是否相等的检验,统计学导论马岚主讲,63,统计学导论马岚主讲,64,4 总体方差的假设检验,一、单个总体方差的假设检验 二、两个总体方差比的假设检验,统计学导论马岚主讲,65,一、单个总体方差的假设检验,在假设检验中，有时需要检验正态总体的方差。如，在产品质量检验中，质量标准是通过不同类型的指标反映的，有些属于均值类型，如尺寸、重量、抗拉强度等；有些

14、属于比例类型，如产品合格率、废品率等；有些属于方差类型，如尺寸的方差、重量的方差、抗拉强度的方差等。在这里，方差反映着产品的稳定性。方差大，说明产品的性能不稳定，波动大。,统计学导论马岚主讲,66,统计学导论马岚主讲,67,统计学导论马岚主讲,68,统计学导论马岚主讲,69,二、两个总体方差比的假设检验,如果欲检验两个总体方差是否相等，可以通过两个方差之比是否等于1来进行。实际中会遇到关注两个总体方差是否相等的问题，如比较两个生产过程的稳定性，比较两种投资方案的风险等。前面讨论两个总体均值之差检验时，假定两个总体方差相等或不等，事实上，在许多情况下总体方差是否相等事先往往并不知道，因此在进行两

15、个总体均值之差检验之前，也可以先进行两个总体方差是否相等的检验，由此获得所需要的信息。,统计学导论马岚主讲,70,统计学导论马岚主讲,71,统计学导论马岚主讲,72,5 单因子方差分析,一、问题的提出 二、方差分析的检验统计量 三、关于方差分析的两点说明,统计学导论马岚主讲,73,一、问题的提出,【例题】已知在一组给定的条件下饲养小鸡所增加的体重服从正态分布。某养鸡场欲检验四种饲料配方对小鸡增重的影响是否不相同（假定已经经过检验表明不同饲料配方下的小鸡增重方差相等）。为此，他们对四组初始条件完全相同的小鸡，在完全相同的其他饲养条件下，分别使用四种不同的饲料配方进行喂养。所得到的增重数据如表6-

16、3。,统计学导论马岚主讲,74,表6-3 四种不同饲料配方下小鸡的增重情况,统计学导论马岚主讲,75,对于前述例题对于类似本例的问题，一般地，把随机变量分组的数目记作m，我们可建立下列假设：,统计学导论马岚主讲,76,二、方差分析的检验统计量,统计学导论马岚主讲,77,统计学导论马岚主讲,78,统计学导论马岚主讲,79,统计学导论马岚主讲,80,【例题】利用表6-3中的数据进行单因子方差分析（显著水平为=0.05）。,统计学导论马岚主讲,81,统计学导论马岚主讲,82,统计学导论马岚主讲,83,统计学导论马岚主讲,84,表6-4 方差分析表,统计学导论马岚主讲,85,（一）方差分析中变量的类型