高中数学：向量法解立体几何总结

1、最新资料推荐向量法解立体几何1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 a 、 b 是直线 l上的任意两点，则 ab 为直线 l 的一个方向向量；与 ab 平行的任意非零向量也是直线 l的方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果 n，那么向量 n 叫做平面的法向量 .平面的法向量的求法 （待定系数法）：建立适当的坐标系设平面 的法向量为 n (x, y, z) 求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1,a2 , a3 ), b (b1, b2 ,b3 ) n a0.根据法向量定义建立方程组0n b解方程组，取其中一组解，即得平面的法向

2、量 .2、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行。 设直线 l1 ,l2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 a b ，即akb (kr) .线面平行。 设直线 l 的方向向量是 a ，平面的法向量是 u ，则要证明 l ，只需证明au ，即 a u0 .面面平行。 若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证 ，只需证 u v ，即证 uv .3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直。 设直线 l1 ,l2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明 l1 l2 ，只需证明 ab ，即a b0 .线面垂直（法一） 设直线 l 的方向向量是a ，平面的法向量是u ，则

3、要证明 l，只需证明 a1最新资料推荐 u ，即 au .（法二）设直线l 的方向向量是 a ，平面内的两个相交向量分别为m 、n ，若a m0,则 l.a n0面面垂直。若平面的法向量为 u ，平面的法向量为 v ，要证，只需证 uv ，即证 u v0.4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线， a ， c 与 b， d 分别是 a, b 上的任意两点，a, b 所成的角为，则 cosac bd.ac bd求直线和平面所成的角求法：设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为， a 与 u的夹角为， 则为的余角或的补角的余角 .即有：

4、 sinaucos.a u求二面角二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点o，分别在两个半平面内作射线 aol, bol ，则aob 为二面角l的平面角 .如图：a bloboa求法：设二面角l的两个半平面的法向量分别为m 、n ，再设 m 、n 的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为 m 、n 的夹角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：是锐角，则 cosm n， 即arccosm n如果cos；m nm n2最新资料推荐是钝角，则 cosm n， 即arccosm n如果cos.m nm n5、利用法向量求空间距离 点 q到直线 l距离若 q为直线 l外的一点 , p 在直线 l

5、上， a 为直线 l 的方向向量， b = pq ，则点 q到直线 l距离为h1(| a | b |) 2( a b )2| a |点 a 到平面的距离若点 p 为平面外一点， 点 m 为平面内任一点， 平面的法向量为 n ，则 p 到平面的距离就等于 mp 在法向量 n 方向上的投影的绝对值 .即 d mp cos n, mpmpn mpn mpn mpn直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知， 直线到平面即 dn mp的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。.n两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即n mpd.n异面直线