湘潭大学-人工智能课件-模糊系统-Part1

1、Artificial Intelligence (AI)人工智能,第五章：模糊逻辑系统,模糊计算,模糊计算 模糊性：在日常生活中早已运用自如，在科学分析中理论却还未完善 美国加州大学扎德（ L. A. Zadeh ）教授1965年提出的模糊集合与模糊逻辑理论是模糊计算的数学基础。 它主要用来处理现实世界中因模糊而引起的不确定性。目前，模糊理论已经在推理、控制、决策等方面得到了非常广泛的应用。,内容提要,1. 模糊逻辑原理,2. 模糊集,3. 模糊关系,4. 模糊变换,5. 模糊推理,6. 模糊计算的流程,第五章：模糊逻辑系统,内容提要,1. 模糊逻辑原理,2. 模糊集,3. 模糊关系,4. 模

2、糊变换,5. 模糊推理,6. 模糊计算的流程,第五章：模糊逻辑系统,模糊逻辑原理,沙堆问题： “从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？” 是？否？,一粒沙子都没有也被称为沙堆？这显然有问题！,模糊逻辑原理,问题就在于： “沙堆”这个概念是模糊的，没有一个清晰的界限将“沙堆”与“非沙堆”分开。 我们没有办法明确指出，在这个不断拿走沙子的过程中，什么时候“沙堆”不再是“沙堆”。 与“沙堆”相似的模糊概念还有“年轻人”、“小个子”、“大房子”等。 这种在生活中常见的模糊概念，在用传统数学方法处理时，往往会出现问题。,模糊逻辑原理,如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？ 如果规定沙堆只能由10

3、000粒以上的沙子组成，“沙堆”这个概念的模糊性就消除了。 10000粒沙子组成的是沙堆，9999粒沙子组成的不是沙堆：这在数学上没有任何问题。,？,然而，仅仅取走微不足道的一粒沙子，就将“沙堆”变为“非沙堆”，这又不符合我们日常生活中的思维习惯,模糊逻辑原理,模糊逻辑就是用来解决这一矛盾的工具之一 在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。 传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。 在处理一些问题时，精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效，而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。,自然

4、语言,模糊逻辑原理,模糊逻辑的发展，是由理论准备到理论提出再到理论应用的过程,内容提要,1. 模糊逻辑原理,2. 模糊集,3. 模糊关系,4. 模糊变换,5. 模糊推理,6. 模糊计算的流程,第五章：模糊逻辑系统,模糊集,从精确到模糊 精确 答案确定：要么是，要么不是 f : A 0,1 如：他是学生？不是学生？ 模糊 答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 A : U 0,1 如：他是成年人？不是成年人？大概是成年人？,模糊集,表示“20岁左右” 原集合（年龄） ., 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, . 模糊集可以表示为： 0.8/18 + 0.9/19 + 1/2

5、0 + 0.9/21 + 0.8/12 0.6/17+0.7/18+0.8/19+1/20+0.9/21+0.7/22+0.6/23,隶属度0,1 / 集合元素,模糊集,集合及其特征函数 在论域中，把具有某种属性的事物的全体称为集合。由于集合中的元素都具有某种属性，因此可以用集合表示某一种概念，而且可用一个函数来刻画它，该函数称为特征函数。 设A是论域U上的一个集合，对任意uU，令 则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度。,模糊集,集合及其特征函数 集合A与其特征函数可以认为是等价的：A=u |CA(u)=1 模糊集与隶属函数 模

6、糊集把特征函数的取值范围从0,1推广到0,1上。 设U是论域，A是把任意uU映射为0,1上某个值的函数，即 A : U0,1 或 uA(u) 则称A为定义在U上的一个隶属函数，由A(u)(uU)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，A(u)称为u对A的隶属度。,模糊集,模糊集的例子 论域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。 解：设A、B分别表示“大”与“小”的模糊集，A ，B分别为相应的隶属函数。 A = 0, 0, 0.1, 0.6, 1 B = 1, 0.5, 0.01, 0, 0 其中： A(1)=0, A(2)=0 , A(3)=0.1 , A(4)=0.6 , A(5)

7、=1 B(1)=1, B(2)=0.5 , B(3)=0.01 , B(4)=0, B(5)=0,模糊集,模糊集的表示方法 (1)论域离散且为有限 若论域 U=u1, , un为离散论域，模糊集A表示为： A= A(u1), A(u2), , A(un) 也可写为： A= A(u1)/u1 + A(u2)/u2 + + A(un)/un 其中，隶属度为0的元素可以不写。 例如：A = 1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 = 1/u1+0.7/u2+0.4/u4,模糊集,模糊集的表示方法 (2)论域连续 若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。 例如：以年龄为论域U=0,100， “

8、年轻”和“年老”这两个概念可表示为：,模糊集,模糊集的表示方法 (3) 一般表示方法 不管论域 U 是有限的还是无限的，是连续的亦或是离散的，扎德（ L. A. Zadeh ）又给出了一种类似于积分的一般表示形式： 这里的记号不是数学中的积分符号，也不是求和，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的总括。,模糊集的运算,模糊集的包含运算 设A、B分别是U 上的两个模糊集，对任意uU，都有 B(u) A(u) 成立，则称A包含B，记为B A。 模糊集的交、并、补运算 设A、B分别是U上的两个模糊集，则A和B两个集合的并集AB、交集AB和A的补集A的隶属函数分别为：,模糊集的运算,模糊集运算的例子

9、 设U=u1,u2,u3， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3; B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 求AB， AB和A AB = (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 AB = (0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 = 0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 A = (1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 = 0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3,模糊集合上的运算定律,幂等律 交换律 结合律 分配律,模糊集合上的运算定律,吸收律

10、 两极律 复原律 摩根律,模糊集的水平截集,水平截集的定义： 设A是论域U上的模糊集，0,1，则称普通集合 A = u | uU, A(u) 为A的一个水平截集，称为阈值或置信水平。 阈值越大，其水平截集A越小。当1时，A最小，称它为模糊集的核。 称 Ker A =u|uU, A(u)=1 和 Supp A=u|uU, A(u)0分别为模糊集A的核及支集。当Ker A时，称A为正规模糊集。,模糊集的水平截集,水平截集，核，支集,模糊度,模糊度是模糊集的模糊程度的一种度量 设A是论域U上的模糊集，记作AF(U) ，d是定义在F(U)上的实函数，如果它满足以下条件： (1) d(A)0,1; (2

11、)当且仅当A是一个普通集合时，d(A) = 0； (3)若A的隶属函数A(u)0.5，则d(A) = 1; (4)若A, BF(U) ，且对任意uU，满足B(u)A(u) 0.5 或者B(u)A(u)0.5，则有d(B)d(A) (5)对任意AF(U) ，有d(A)=d(A) 则称d为定义在F(U)上的一个模糊度，d(A)称为A的模糊度。,内容提要,1. 模糊逻辑原理,2. 模糊集,3. 模糊关系,4. 模糊变换,5. 模糊推理,6. 模糊计算的流程,第五章：模糊逻辑系统,模糊关系的定义,定义在集合上的关系 设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡尔乘积为 VW = (v, w)任意 vV，任意

12、wW 所谓从V到W的关系R，是指VW上的一个子集，即 R VW 记为： 对于VW中的元素(v,w)，若(v,w)R，则称v与w有关系R； 若(v,w) R，则称v与w没有关系R。,模糊关系的定义,例子： VW上的关系 设：V=1班，2班，3班，W=男队，女队 则VW中有6个元素，即 VW = (1班，男队)，(2班，男队)，(3班，男队)，(1班，女队)，(2班，女队)，(3班，女队) 其中，每个元素是一代表队。 假设要进行一种双方对垒的循环赛，则每一个赛局都是VW中的一个子集，它构成了VW上的一个关系。,模糊关系的定义,设 Ai 是 Ui (i=1,2,n) 上的模糊集，则称 为A1, A2, , An的笛卡尔乘积，它是U1U2Un上的一个模糊集。 在U1Un上一个n元模糊关系R是指以U1Un为论域的一个模糊集，记为:,取最小,模糊关系的定义,例子： UV上的模糊关系 U = 张三，李四，王五 V = 篮球，排球，足球，乒乓球 UV上的一个模糊关系R,模糊关系的定义,一般地说，当U和V都是有限论域时，其模糊关系R可用一个模糊矩阵表示。 U=u1,u2,um V=v1,v2,vn 则UV上的模糊关系为,模糊关系的合成,模糊