华中科技大学 教案∶博弈论（第一部分第4章）.ppt

1、2020/9/4,1,第4章 Nash均衡及其多重性,2020/9/4,2,4.1 Nash均衡的意义,在前面的分析中，我们将Nash均衡作为博弈的解。也就是说，将Nash均衡当作博弈的一种一致性预测。,2020/9/4,3,Nash均衡 一致性的预测 (非严格意义) B 进 退 进 A 退,一致性预测,一致性预测,2020/9/4,4,非Nash均衡 非一致性的预测 (严格意义) B 进 退 进 A 退,非一致性预测,非一致性预测,2020/9/4,5,非Nash均衡 自我否定的预测(预言) 只有Nash均衡才不会被自我否定,2020/9/4,6,非Nash均衡作为博弈的解是不合理的，但不意

2、味着任一Nash均衡在任一特定的情形下都是合理的。,2020/9/4,7,给定一个博弈G，R是G中参与人如何行动的数学描述的某个值域。如战略博弈中， R为参与人混合战略组合的集合。 用 表示博弈的解。,2020/9/4,8,作为博弈的解， 应满足如下两个条件： 1) 都存在一个环境能使 成为参与人在这个博弈G中将如何行动的准确预测； 2) 没有一个环境下能使 成为参与人在这个博弈G中将如何行动的准确预测；,2020/9/4,9,任何一个满足以上两性质的解，可用称为博弈的一个精确解(exact solution)。 一般情况下，同时满足以上两性质的解难以找到。,2020/9/4,10,满足性质1

3、)的解，称为下解(lower solution)。 下解排除了所有不合理的预测，但也可能排除了合理的预测。,2020/9/4,11,满足性质2)的解，称为上解(upper solution)。 上解包含了所有合理的预测，但也可能包含了不合理的预测。,2020/9/4,12,Nash均衡是上解。,2020/9/4,13,4.2 Nash均衡的多重性,在博弈论的研究中，真正的问题并不是Nash均衡的存在性问题，而是Nash均衡的多重性问题。 事实上，有些博弈存在多个甚至无穷个Nash均衡。,2020/9/4,14,考虑两人分蛋糕问题。 两人分一份蛋糕。假设每人各自独立地提出自己地份额 。 用 表示

4、两人实际所分得的份额。,2020/9/4,15,考虑如下分配机制。 每人各自独立地提出自己的份额 。 若 若,2020/9/4,16,对于上述分配机制，存在无数个Nash均衡。 下图中直线 上任一点都是Nash均衡。,2020/9/4,17,博弈分析的目的是预测参与人的合理行为方式。 Nash均衡是参与人如何博弈的一致性预测：如果所有参与人预测一个特定的Nash均衡将出现，那么没有人会选择非Nash均衡的战略，非Nash均衡的战略组合就不会出现，实际出现的将是Nash均衡。,2020/9/4,18,但当一个博弈有多个Nash均衡时，要所有参与人预测同一个Nash均衡会出现是非常困难的。 此时，

5、尽管所有参与人都预测Nash均衡会出现，但如果不同参与人预测的不是同一个Nash均衡，实际出现的就不是Nash均衡，而是非Nash均衡。,2020/9/4,19,如性别战中，男的预测 (足球、足球)会出现，女的预测 (芭蕾，芭蕾) 会出现，结果是 (足球，芭蕾) 出现。,2020/9/4,20,分蛋糕问题也是一样。 参与人1 预测 参与人2 预测 实际上 ，出现非Nash 均衡。结果,2020/9/4,21,应注意：在存在多Nash均衡的博弈中，非Nash均衡结果之所以出现，是因为参与人在预测上犯了错误，而不是因为参与人会预测到这个非Nash均衡结果会出现。,2020/9/4,22,在“性别战

6、”中，如果男的预期自己选择“足球”会出现（足球，芭蕾）时，那他就会改变自己的选择，结果出现（芭蕾，芭蕾）。,2020/9/4,23,在分蛋糕博弈中，如果1预期会出现（0.6，0.5）时，他就会选择 ，而不是 。,2020/9/4,24,正是在这个意义上，我们说只有Nash均衡是一致性预期，任何非Nash均衡都不可能成为一致性预期。 当存在多个Nash均衡时，目前还没有一个一般的理论能证明哪个Nash均衡结果一定会出现。,2020/9/4,25,4.3 焦点效应,萨林（Schelling，1960）认为，在现实生活中，参与人可能使用某些被博弈模型抽象掉的信息来达到一个“聚点”均衡（focal p

7、oint），这些信息可能与社会文化习惯，参与人过去博弈的历史等有关。,2020/9/4,26,如在“性别战”中，男、女双方某一个人的“生日”可能就是这样的信息；在分蛋糕中，每个参与人都有某种公平意识的话，（0.5，0.5）可能是一个聚点均衡。,2020/9/4,27,萨林（Schelling，1960）证明：在一个具有多重均衡的博弈中，趋向于将局中人的注意力集中到一个均衡的任何事情，都可能使他们全部预期并随之实现这个均衡，就象一个自行应验的预言一样。,2020/9/4,28,焦点均衡(focal equilibrium)：一个具有某种使它显著区别于其它均衡之性质的均衡。,2020/9/4,29

8、,如果某个人能够通过向局中人公开地建议他们全都应该实施某个Nash均衡而决定了这个Nash均衡成为博弈的焦点均衡，则称这个人为焦点仲裁人(focal arbitrator)。,2020/9/4,30,“聚点”均衡在所谓的“提名博弈”中可能会非常普遍，如宣布某一个时刻（两人同时宣布，正确可获得奖励）；再如选择英文字母。 在“性别战”中，某人的生日、两人过去的传统及习惯等。,2020/9/4,31,保证一个Nash均衡出现的另一种方法是：参与人在博弈开始之前不花任何成本的“廉价磋商”（cheap talk）。尽管无法保证磋商会达成一个协议，即使达成协也不一定会被遵守，但在一些博弈中，事前磋商确实可

9、以使某些Nash均衡在实际中出现。,2020/9/4,32,考察下列博弈。,U A D,B L R,2020/9/4,33,但在某些博弈中，“事前磋商”并不一定能使Nash均衡出现。,2020/9/4,34,考察下列博弈。,U A D,B L R,2020/9/4,35,奥蒙（Aumann，1990）认为，即使事前磋商也未必能保证（U，L）一定出现。 在没有“事前磋商”时，D是A最安全的选择，R是B最安全的选择。,2020/9/4,36,只要A认为B选择R的可能性大于1/8，D就是A的最优选择； 同样，只要B认为A选择D的可能性大于1/8，R就是B的最优选择。 这样，在没有事前磋商时（U，L）

10、不大可能出现。,2020/9/4,37,设A认为B选择L的概率为P，选择R的概率为1-P，即 则,2020/9/4,38,若 即,2020/9/4,39,也就是说：除非A认为B选L的可 能性大于7/8时，才会选择U。,2020/9/4,40,现在假定事前磋商发生，B告诉A他将选择L。A是否应该相应B的话呢？不一定，因为不论B自己选择什么，A选择U总会使B受益，因此，即使B并不真打算选择L，他也会告诉A他将选择L，所以没有理由认为A应该相信B的话，（D，R）很可能出现。,2020/9/4,41,当然，即使事前磋商没有结果，Nash均衡也可能会通过参与人的学习过程而出现。 假定博弈重复许多次，即使

11、参与人最初难以协调行动，在博弈若干次后，某种特定的协调模式可能会形成，特别是假定参与人在每一轮根据其对手以前的“平均”战略来选择自己的最优战略时，博弈可能收敛于某一个Nash均衡。,2020/9/4,42,考察具有“事前通信”的“性别战”博弈。 女 男,2020/9/4,43,假设在事前通信中，局中人1提出建议。,2020/9/4,44,局中人1的战略：,局中人1的建议,局中人1的选择,2020/9/4,45,即,2020/9/4,46,局中人2的战略：,局中人1的建议 为F时，2的选择,局中人1的建议为 B时，2的选择,2020/9/4,47,即,2020/9/4,48,对于具有“事前通信”

12、的“性别战”博弈，可用以下形式描述。,局中人2,局 中 人 1,2020/9/4,49,对于焦点均衡，应注意： 1) 在某些情况下，焦点均衡可由支付的内在性质所决定(如分蛋糕博弈)； 2) 焦点均衡在某些博弈中，还可能由战略自身的性质来确定；,2020/9/4,50,考察下列博弈。,B L M R,U A M D,2020/9/4,51,上述博弈除了纯战略Nash均衡（M，M）外，还存在两个混合战略的Nash均衡。 但均衡（M，M）具有简单、稳定的特点，因而在实际中成为焦点均衡。,2020/9/4,52,3) 焦点效应不可能引导局中人去执行一个非Nash均衡的战略组合。聚焦因素仅在它针对一个N

13、ash均衡时，才可能是有效的。,2020/9/4,53,考察下列博弈。,B L R,U A D,2020/9/4,54,向局中人推荐战略组合（D，L）。 （D，L）不可能成为博弈的最终结果。因为（D，L）不是原博弈的Nash均衡。,2020/9/4,55,4.4 相关均衡,Nash均衡假定每个参与人独立地行动，奥蒙提出了相关均衡（correlated equilibrium）的概念。 他证明：如果参与人可以根据某个共同观测到的信号选择行动，就可能出现“相关均衡”。 相关均衡可以使所有参与人受益。,2020/9/4,56,相关均衡可能是参与人事前磋商的结果。如“性别战中，A、B两人根据天气来选择

14、行动。,2020/9/4,57,为说明相关均衡看下面例子。,U A D,B L R,2020/9/4,58,（U，L）与（D，R）为Nash均衡。同时， 也构成混合战略的Nash均衡。,2020/9/4,59,此时，,2020/9/4,60,1.参与人观测到的信号完全相关,假设两人根据天气信号按如下规则行动。 晴天： 阴天：,2020/9/4,61,容易证明：上述规则构成Nash均衡。 也就是说，每个参与人都会自愿地遵守这个规则。,2020/9/4,62,假定晴、阴天气的概率相等，各为0.5，则,2020/9/4,63,收益提高是因为避免了（U、R）的出现。,2020/9/4,64,2.参与人

15、观测到的信号非完全相关,更为重要（有趣）的是，奥蒙证明如果每人收到不同的但相关的信号，每个人都有可能得到更多的期望效用。,2020/9/4,65,假设两人同意由第三人通过掷骰子来决定每人的选择。 若出现：12，A选U；36，A选D； 若出现：14，B选L；56，B选R。,2020/9/4,66,假设第三人只可告诉A、B选择的行动，而不是具体的点数。在该规则下每人收到的信号相关但不相同。 上述行动规则为一个Nash均衡。,2020/9/4,67,则 两人所获均大于前面信息相同时的所得。,2020/9/4,68,相关均衡的定义,定义： 一个战略博弈 的相关均衡包括: 1) 有限概率空间 ； 2),

16、2020/9/4,69,3),2020/9/4,70,命题：一个有限战略博弈 的 每一个混合战略Nash均衡 都有一个相关 均衡 。,2020/9/4,71,在下列性别战中，,F 男 B,女 F B,2020/9/4,72,除战略组合（F，F）和（B，B）为纯战略Nash均衡外，还存在混合战略的Nash均衡，其对应的支付分别为（2，1）、（1，2）和（2/3，2/3）。,2020/9/4,73,令：,2020/9/4,74,相关均衡支付：,2020/9/4,75,考察下列博弈。,2 L R,U 1 B,2020/9/4,76,除战略组合（T，R）和（B，L）为纯战略Nash均衡外，还存在混合战

17、略的Nash均衡，其对应的支付分别为（2，7）、（7，2）和（14/3，14/3）。,2020/9/4,77,考察该博弈的相关均衡。 1) 信号完全相关 设,2020/9/4,78,相关均衡支付：,2020/9/4,79,考察该博弈的相关均衡。 1) 信号不完全相关 设,2020/9/4,80,相关均衡支付： (5，5),2020/9/4,81,例：三人博弈,T B,A L R,B L R,C L R,2020/9/4,82,博弈的规则如下： 1：选择两行中的某一行； 2：选择两列中的某一列； 3：选择三个表中的某个表。,2020/9/4,83,1纯战略均衡支付： （1，0，0） （0，1，0） （0，0，0）,2020/9/4,84,2. 存在这样的相关均衡： 参与人3选