2018年高考数学 专题28 线性规划问题的求解策略黄金解题模板

1、专题28 线性规划问题的求解策略【高考地位】线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。近年来，高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 线性目标函数问题使用情景：求目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解；第三步 得出结论.例1 已知实数满足不等式组则的最大值是_【答案】6例2 已知、满足不等式组 ，则的最大值是 【答案】6【变式演练1】已知变

2、量满足约束条件：，若表示的区域面积为4，则的最大值为_.【答案】【解析】试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因且,故区域的面积为,解之得,平移动直线,结合图形可以看出当动直线经过点时,动直线的截距最小,最大,故应填.考点：线性规划的有关知识及运用【变式演练2】已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数的值为（ ）A0 B1 C.1或3 D3【答案】B考点：1、线性规划；2、三角形的面积.类型二 非线性目标函数问题使用情景：求非线性目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题

3、、两点的距离的平方等；第三步 得出结论.例3 已知不等式组则的最大值为 【答案】3例4 在平面直角坐标系中, 为不等式组所表示的区域上一动点, 已知点,则直线斜率的最小值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个四边形OBCD及其内部,其中，因此直线斜率的最小值为直线斜率，为，选B. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例5 若满足，则的最大值为（

4、 ）A-8 B-4 C1 D2【答案】D 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 【变式演练3】已知实数满足，则的最大值是（ ）A B9 C2 D11【答案】B【解析】试题解析：先画出二元一次不等式所表示的平面区域（如图），则要使最大，只需最大，x最小，由图像可知当经过定时，最大，

5、最大值为9.选B. 考点：线性规划.【变式演练4】若变量满足约束条件，且仅在点处取得最大值，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】C考点：线性规划.【变式演练5】已知实数满足，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】D考点：简单的线性规划问题类型三 含参数线性目标函数问题使用情景：求含参数线性目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类讨论；第三步 得出结论.例6已知满足，且的最大值是最小值的-2倍，则的值是 .【答案】【解析】试题分析：由题意得可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，

6、直线过C点时取最大值，过B点时取最小值，因此考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【变式演练6】设，变量，在约束条件下，目标函数的最大值为，则_【答案】考点：简单的线性规划的应用【高考再现】1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（ ）（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C 2.【2016高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行

7、直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 3.【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.【答案】【解析】试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 目标函数.二元一次不等式组等价于

8、作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域. 4.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：由得，点，由得，点，由得，点，分别将，代入得：，所以的最小值为考点： 简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值5.【2016高考新课标文数】若满足约束条件 则的最大值为_.【答案】 6.【2016

9、高考上海文科】若满足 则的最大值为_.【答案】 7. 【2016高考天津文数】某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【答案】（）详见解析（）生产甲种肥料车

10、皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元 【解析】试题分析：（）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域（）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润试题解析：（）解：由已知满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.的坐标为，所以.答：生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.考点：线性规划【反馈练习】1【广东省五校2018届高三12月联考数学（文）试题】设， 满足约束条件则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】可行域为如图所示

11、的内部（包括边界），表示经过原点与可行域的点连线的斜率，易求得，从而，故选A.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.2【河南省林州市第一中学2018届高三12月调研考试数学（文）试题】已知且满足约束条件，则的最小值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C 点睛:求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，

12、直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试数学（理）试题】已知， 是不等式组 ，所表示的平面区域内的两个不同的点，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B因此|MN|的最大值是|BD|=故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三

13、，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4【广西玉林、柳州2017届高三4月联考数学（文）试题】若满足约束条件，则的最小值为_【答案】-1 5【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考数学（理）试题】若实数满足不等式组，若目标函数的最大值为1，则实数的值是（ ）A. B. 1 C. D. 3【答案】B【解析】作可行域如图，则直线过点B时，z取得最大值， ，选B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目

14、标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学（理）试题】已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A 7【辽宁省大连市2018届高三第二次联考数学（文）试题】若实数满足不等式组，则的最小值为_【答案】3【解析】所以过点时， 。8【2018届高三南京市联合体学校调研测试数学试题】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为_【答案】 9【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评文科数学试题】已知实数满足，则的取值范围为_【答案】【解析】可行域是由A围成的三角形及其内部， 表示点 与区域中的

15、点 之间距离的平方，在点B处， 取得最大值为9，最小值即为点到直线的距离 的平方， 故的取值范围为10【广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考数学（理）试题】若， 满足约束条件，等差数列满足， ，其前项和为，则的最大值为_.【答案】11【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评试题】设变量满足约束条件： ，则的取值范围是_【答案】 12【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷（理）】在平面直角坐标系中，已知点， ， ，点是平面直角坐标系上一点，且（， ）， 若，且 ，试求实数的值； 若点在三边围成的区域(含边界)上，求的最大值【答案】 (2) 【解析】由题设知： ， ， ， ， 又， ，得，所以，满足题意的实数. 13【广东省德庆县香山中学2018届高三理科数学第一次模拟试题】某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A、B两种规格的小袋. 每袋大米可同时分得A、B两种规格的小袋大米的袋数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A、B两种规格的成品数分别为15