《概率论与数理统计》PPT课件.ppt

1、概率论与数理统计,教材： 概率论与数理统计 清华大学出版社 杨荣 等编,参考资料,参考书目教材： 概率论与数理统计 贺才兴等编，科学出版社 概率论与数理统计（第二版）(普通高等教育“九五”国家级重点教材) 茆诗松 周纪芗编 著.2000年7月.中国统计出版社.,参考书目学习辅导教材： 概率论与数理统计试题精解.张学元主编.湖南大学出版社. 面向21世纪高等学校数学系列辅导教材 概率论与数理统计习题与解答(普通高等教育“九五”国家级重点教材) 茆诗松 周纪芗编著. 2000年10月.中国统计出版社.,课程要求,考试： 平时成绩占4，期末考试占6,对学生的修课建议 建议学生温习高等数学和线性代数的

2、内容，并要 求预先掌握排列与组合基本内容和主要结论。,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性 研究对象：随机现象 研究内容：随机现象的统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学分支,概率论是如何产生的？,1、概率论的起源 2、概率论的发展历程,引言,概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学，但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理由出发，在1654年7月29日给出

3、了正确的解法，而在三年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯1629-1695亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论最早的论著，他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础.,1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作分析杂论，当中包含了著名的棣莫弗拉普拉斯定理。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始雏形。而接着拉普拉斯在1812年出版的概率的分析理论中，首先明确地对概率作了古典的定义。另外，他又和数个数学家建立了关于正态分布及最小二乘法的理论。,使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各.伯努利1654-1705。,

4、他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为伯努利大数定理，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗作猜度术中。,概率论发展到1901年，中心极限定理终于被严格的证明了，及后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，而著名的马尔可夫过程的理论在1931年才被奠定其地位。而苏联数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦做出了重大贡献，到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科。因此，现代概率论已经成为一个非常庞

5、大的数学分支。,另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。,随着时间的迁移，人们发现概率论有许多应用，不仅在工程，科学和数学方面，而且在保险统计、农业、商业，医药和心理学等范围。 统计比概率论起源得更早。它主要处理收集、组织和用表表示资料。随着概率论的出现，人们明白了统计能够提取有用的结论，在资料分析的基础上做出有道理的决策，比如抽样理论和预测、预报。,预备知识,主要内容： 1、加法原理，乘法原理，排列和组合 2、集合的基本知识,一、加法原理,

6、例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船，一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的方法？ 解：一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法每一种走法都可以从甲地到乙地，因此一天中乘坐这些交通工具从甲地到达乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法。,做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，、，在第n类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= + + 、+ 种不同的方法。,加法原理内容,二 、 乘法原理,例2 从A村到B村有3种不同的走法,从B村到

7、C村又 有2种不同的走法,则由A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 解：从A村到B村有3种不同的走法，按这3 种走法中的每一种走法到达B村后，再 从B村到C村又有2种不同的走法。因此 从A村经B村去C村共有 3*2=6 种不同的走法。,乘法原理内容,做一件事，完成它需要分成n个步 骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，、，做第n步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= * * 、* 种不同的方法。,三、 排列,定义：一般说，排列就是从n个不同的元素中，任取m（m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 从n个不同元素中取出m

8、个元素的排列数，用符号 表示。 排列数公式,例3 某段铁路上有12个车站，共需要准 备多种普通的客票？ 解：因为每一张车票对应着2个车站的一个 排列，因此需要准备的车票种数，就 是从12个车站中任取2个的排列数： 12*11=132 答：一共需要准备132种普通客票.,四、组合,定义: 一般说，从n个不同的元素中，任取m个元素(m n) 并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示 组合数公式,集合：某些事物的全体组成的集体，叫做集合，也简称 集。 元素：组成集合的各个事物。 例4（1）全体自然数组成的集合，记 N=1，2，3，、；

9、 （2）石化学院2002级全体学生组成一个集合，记 A=学生/石化学院2002级学生； （3）定义域为区间a,b的所有连续函数，记 D=f(x)/f(x)为定义域在a,b上的连续函数,五 集合,六 集合的关系和运算,1.子集：“A包含于B”, A B 集合相等:若A B 且B A，则称A等于B，记作A=B 2.并集： “读作A并B” 3.交集： “读作A交B”简记： 4.余集：设U是全集，由所有在U中不在B中的元素组成的集合，称B在U中的余集，记作 5.差集：设A、B为两个集合，称由属于A而不属于B的所有元素组成的集合A与B 的差集，记作,（传递性） （交换律） （结合律） （分配律） （对偶

10、定律）,七 集合运算的性质,第一章 随机事件与概率,随机试验 随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性,1.1.1 随机试验(简称“试验”),这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;,随机试验的例子,随机试验的特点： 1. 可在相同条

11、件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可 能结果； 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 具有上述三个特点的试验称为随机试验，我们就是通过随机试验来研究随机现象的。随机试验可表为 E,1.2 样本空间、随机事件,(一） 样本空间 试验E的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S；试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面 和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内

12、受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;,随机试验的例子,例： 给出E1-E6的样本空间,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 ,定义： 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,（二）随 机 事 件,P 取到的数能被3整除,故,我们首先引入的计算概率

13、的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为,古典概型(等可能概型),一、古典概型,假定某个试验有有限个可能的结果,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.,e1, e2, ，eN ,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得 . 也就是说

14、，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.,1,3,2,4,5,6,7,8,9,10,10个球中的任一个被取出的机会都是1/10,我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,10 .,称这样一类随机试验为古典概型.,2,且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同 .,S=1,2,10 ,则该试验的样本空间,如i =2,称这种试验为等可能随机试验或古典概型.,定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1)（有限性）它的样本空间只有有限多个样本点； (2)（等可能性）每个样本点出现的可能性相同.,二、古典概型中事件概率的计算,记 A=摸到2号球 P(A)=?,P(A)=1/10,

15、记 B=摸到红球 P(B)=?,P(B)=6/10,2,这里实际上是从“比例” 转化为“概率”,记 B=摸到红球 P(B)=6/10,当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.,这样就把求概率问题转化为计数问题 .,定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,请回答：,1、怎样的一类随机试验称为古典概型？,2、如何计算古典概型中事件的概率？ 为什么这样计算？,下面我们就来介绍如何计算古典概率.,古典概率的计

16、算大致可分为随机取数、抽球问题、分房问题及分组问题 。,一口袋装有6只球， 其中4只白球、 2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只。 考虑两种取球方式。（a）第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅蕴后再取一球。 这种取球方式叫做放回抽样。（b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球，这种取球方式叫做不放回抽样。 试分别就上面两种情况求 （1）取到的两只球都是白球的概率； （2）取到的两只球颜色相同的概率； （3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率,例 （摸球问题）设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任取2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白

17、的概率为3/5,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,例 （分球问题）将3个球随机的放入4个盒子中去，问： 每盒最多有一球的概率是多少？（设盒子的容量不限）,解:设A:每盒最多有一球,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒最多有一球的概率是：,例 （分组问题）30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有

18、分法：,例（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1. 简单描述,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),1.5 条件概率,P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合

19、就是B，B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集合A中,，于是P(A|B)= 1/3.,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,

20、若事件B已发生, 为了使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P (S | B) =1 ；,而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.,2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,

21、B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,例2 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动

22、物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,请看下面

23、的例子,乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的

24、概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例5 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回 （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（课后思考） （3）求两次均取到红球的概率,解：设A第一次取到红球,B第二次取到红球,例6 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球,第3、4次取得红球的概率,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,条件概率P(A|B)与P(A)

25、的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系,条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小. 那么,是否一定有:,或 P(A|B) P(A)?,P(A|B) P(A)?,请思考！,请看演示,“条件概率与概率的相对大小”,乘法公式应用举例,一个罐子

26、中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解: 设Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，

27、都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到入场券的机会都 一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机

28、会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐

29、后.,也就是说，,最后我们用本讲内容来解答囚犯和看守间关于处决谁是否要保密的问题.,监狱看守通知三个囚犯, 在他们中要随机地选出一个处决 , 而把另外两个释放. 囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.,因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.,甲,如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.,乙,丙,NO！,对于看守的上述理由,你是怎么想的?,依题意，P(A)=1/3,P(A| )=P(A)1-P(B)=1/2,P(A| )=1/2,看守说得对.,甲,我们说，在事件B发

30、生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？这个问题留待下一讲讨论.,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.,三、全概率公式与贝叶斯公式,例. 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，现在市场上买一件该品牌产品，试求该产品为次品的概率。,B,定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理 设A1，

31、, An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)， 则对任何事件BS有,称为全概率公式。,例 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有,称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,例 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每

32、箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0

33、.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号,),B,A,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,),A,(,P,),A,B,(,P,+,0.067,0 1 不清,显然 P(B|A)=P(B),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第一次掷出6点， B=第二次掷出6点，,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,1.5 事件的独立性,定义 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 则称

34、事件A与B相互独立。等价于： P(AB)P(A)P(B),独立与互斥的关系: 请问：如图的两个事件是独立的吗？,即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,而P(A) 0, P(B) 0,故 A、B不独立,我们来计算：,P(AB)=0,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是 S和,P( S) =P( )P(S)=0,与S独立且互斥,不难发现， 与任何事件都独立.,1、设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2.

35、P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),2、设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),练习.,3、从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，以A 表示抽出一张K，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是 否独立？,( 1 ) 问野兔被击中或者跑掉的可能性哪一个更大？ ( 2 ) 如果已知这只野兔被击中，问猎物最有可能是那 种情况（甲单独击中、乙单独击中或一起击中）。,例 甲、乙两人去打猎，假设他们的命中率 分别是 0

36、.3 和 0.4 。当发现一只野兔时，两人各自 独立地同时射击了一次，,解: 分析： 以 A 、B 分别记甲、乙打中野兔，则它们是两个 相互独立的随机事件。 ( 1 ) 只需要计算 P ( A B ) 是否 0.5 ？ ( 2 ) 比较三个条件概率的大小：,( 1 ) 根据概率的加法公式，,P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) = 0.3 0.4 0.30.4 = 0.58 0.5 ，,思考：另一种解法： P ( 野兔跑掉 ) = P ( 甲、乙都没有打中 ) = ( 1 0.3 ) ( 1 0.4 ) = 0.42 。,( 2 ) 要比较下面三个条件概率的大小：,由于作为条件的是同一个随机事件，因此只 需要比较条件