专题圆锥曲线测试解答题(历年全国卷理科原题)

1、最新 料推荐绝密启用前2017-2018 学年度圆锥曲线测试题理科考试范围： xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 i 卷（选择题）请点击修改第i 卷的文字说明一、单选题1已知抛物线 c : y24 x 的焦点 f ，直线 l 与 c 交于 a、b 两点，且 2bf fa ，则直线 l的斜率可能为（）a.22b.2c. 1d.24222已知椭圆 e : x2y21 的左右焦点分别为f1 , f2 ，过右焦点 f2 作 x 轴的垂线，交ab椭圆于 a, b 两点 . 若等边abf1 的周长为 43 ，则椭

2、圆的方程为（）a.x2y21b.x2y21c.x2y2x2y21323621d.4393 设双曲线 x2y21 的离心率为2 3 ，且一个焦点与抛物线x28y 的焦点mn3相同，则此双曲线的方程是（）a.y2x21b.x2y21c. y2x21d.x2y21341231244 若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3 ，则此双曲线的渐近线方程为（）a.yxb. y2 xc.y2 xd. y1 x225 设点 f1 , f2 分别是双曲线x2y20f1 且与 x 轴垂c：221 a的左、右焦点，过点a直的直线 l 与双曲线 c 交于 a， b 两点若abf2 的面积为 26 ，则该双曲线的

3、渐近线方程为1最新 料推荐a. y3xb. y3 xc. y2xd. y2 x326若点p 到点f4,0的距离比它到直线x5 0的距离小于1，则 p 点的轨迹方程是（）a. y216xb.y232 xc. y 216xd.y232x7 一个椭圆中心在原点，焦点f1 , f2 在 x 轴上， p2,3 是椭圆上一点，且pf1 、f1 f2 、 pf2 成等差数列，则椭圆方程为（）x2y2b.x2y2c.x2y21d.x2y21a.1161841648668设 f1 , f2 是椭圆x2y21 的两个焦点，p 是椭圆上的一点，且p 到两焦点的距1612离之差为2，则pf1f2 是（）a. 直角三角

4、形b. 锐角三角形c. 斜三角形d. 钝角三角形9双曲线 x2y21的焦点到其渐近线的距离为（）a. 1b. 2c. 2d.22x2y21 的弦被点1,1 平分，则这条弦所在的直线方程是（）10如果椭圆24a. x 2 y 3 0b. 2x y 3 0c. 2x y 3 0d. x 2 y 3 02最新 料推荐第 ii卷（非选择题）请点击修改第ii 卷的文字说明二、填空题11 过点 m1,1 的直线与椭圆x2y241 交于 a, b 两点，且点 m 平分弦 ab ，3则直线 ab 的方程为 _12已知圆 c : x2y24 及点 a3,0 ， q 为圆周上一点，aq 的垂直平分线3交直线 cq

5、 于点 m，则动点 m 的轨迹方程为 _ 13若椭圆两焦点为f14,0， f24,0 ，点 p 在椭圆上，且pf1f2 的面积的最大值为 12，则此椭圆的方程是 _ 三、解答题14已知抛物线的标准方程是y26x .（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线 l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45， 且与抛物线的交点为a、 b ，求 ab的长度 .15x2y21(ab 0) 的一个焦点为5,0 ，离心率为5 . 点 p 为已知椭圆 c： 2b2a3圆 m ： x2y213 上任意一点，o 为坐标原点 .（）求椭圆c 的标准方程；（）设直线 l 经过点 p 且与椭圆 c 相切，l 与圆 m 相交于另

6、一点a ，点 a 关于原点o 的对称点为 b ，证明：直线 pb 与椭圆 c 相切 .16设 f 为抛物线 c： y22x 的焦点，a, b 是抛物线 c 上的两个动点 .（）若直线 ab 经过焦点 f ，且斜率为2，求 ab ；（）若直线 l： x y 40，求点 a 到直线 l 的距离的最小值 .17（本小题满分14 分）已知椭圆 c : x2y21( ab0)过点 a 2, 0 ，且离心率为3 a2b22（）求椭圆 c的方程；（）设直线 ykx3 与椭圆 c 交于 m , n 两点若直线 x3 上存在点 p ，使得四边形 pamn 是平行四边形，求k 的值18已知椭圆 c :x2y21

7、ab0的左右焦点分别为 f1, f2， 若椭圆上一点p 满a2b23最新 料推荐足 pf1 pf24 ，且椭圆 c 过点 1,3 ，过点 r 4,0的直线 l 与椭圆 c 交于两2点 e, f （ 1）求椭圆 c 的方程；（ 2）若点 e 是点 e 在 x 轴上的垂足，延长ee 交椭圆 c 于 n ，求证： n , f2 f 三点共线19如图， a, b 是椭圆 c : x2y21 长轴的两个端点，p,q 是椭圆 c 上都不与 a, b4重合的两点，记直线bq , aq, ap的斜率分别是bq ,kaq ,kap.k（1）求证：kbq ?k aq1；4（2）若 kap4kbq ，求证：直线pq

8、 恒过定点，并求出定点坐标 .20设 、分别是双曲线的左、右焦点 . 若点 在双曲线上， 且，求的值 .4最新 料推荐参考答案1 a【解析】设 a 、 b 两点坐标分别为ax1, y1bx2 , y22bffa2 1 x2 , y2x1 1, y1， x1 1 2 1 x2 , y12y2由题意，设直线ab 的方程为 ykx1，代入抛物线方程得：ky24 y 4k0 ，因为直线与抛物线有两个交点，所以k0，=16 16 k20 ，y1 y24 , y1 y24 ，k把 y12y2 代入即可解得 k2 2 ，故选 a.2 a【解析】由题意可得等边abf1 的边长为43 ，则 ab43，33由椭圆

9、的定义可得 2aaf1af243232 3，即 a3 ，33由 f1f22c3432 ，即有 c1 ，则 ba2c22，23则椭圆的方程为x2y2321 ，故选 a 3 a【解析】 由已知得抛物线的焦点为0,2, 所以 n0, m0 ,c2, c2 , 所以 , 双a3曲线的方程是 y2x21. 故选 a.34 b【解析】因为离心率ec3 ，所以b22 ，又焦点在y 轴上，所以渐近线方程为aa2y 2 x ，故选 b25 d【解析】设 f1c,0 , a c, y0c2y02，则21，a21最新 料推荐y0 2c21c2a2b22a2a2a2a2，224 y0a2， ab2 y04 。a又 s

10、 abf226， 12cab12c44c26 ，22aa c6，a2 bc212。aa22该双曲线的渐近线方程为y2 x 。选 d。2点睛：双曲线的渐进线是双曲线的重要性质之一，也是高考的常考点， 题型一般以选择题或填空题为主。求双曲线的渐近线方程时，可利用c2a2b2 转化为关于 a, b 的方程或不等式，其中常用到双曲线渐近线的斜率与离心率的关系，即kbc2a2aac2121。a2e6 c【解析】因为点 p 到点4,0的距离比它到直线x 50 的距离少1，所以将直线 x5 0右移 1 个单位，得到直线x40 ，即 x4 ，可得点 p 到直线 x4 的距离等于它到点 4,0的距离，根据抛物线

11、的定义， 可得点 p 的估计是以点4,0为焦点，以直线 x4 为准线的抛物线，设抛物线方程为y 22 px ，可得 p4 ，得 2 p16，2所以抛物线的方程为y216x ，即为 p 点的轨迹方程，故选c7 a【解析】因为 pf1 , f1 f2, pf2 成等差数列，p 是椭圆上的一点，2最新 料推荐所以 2 f1 f2pf1pf22a，所以 a 2c ，x2y2a2c设椭圆的方程为1(ab 0) ，则 a2b2c2，a2b2431a2b2解得 a 22, c2, b26 ，故椭圆的方程为x2y21，故选 a 86点睛：本题考查了椭圆的标准方程的求解及其几何性质的应用，对于求椭圆的标准方程的

12、基本方法是待定系数法 .具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a,b,c 的关系，求出a, b 的值，同时解答中注意椭圆定义的应用，其中利用待定系数求解圆锥曲线的方程是常见的一种求解轨迹方程的重要方法8 a【解析】由椭圆的方程，可得a216, b212 ，所以 c2a2b216124 ，则 f1 2,0 , f2 2,0 ，由椭圆的定义得pf1 pf2 2a 8，又 p 到两焦点的距离之差为2 ，不妨设 pf1pf2 ，则 pf1pf22，解得 pf1 5, pf2 3，又 f1f2 2c2224 ，所以 f1f2pf2pf1 ，所以 pf1f2 是直角三角形，故

13、选a 点睛：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状9 a【解析】根据双曲线的方程得到焦点为2,0，渐近线为：yx ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为d21.2故答案为： a 。10 a【解析】 设过点 a1,1的直线与椭圆相交于两点e x1 , y1 , f x2 , y2 ，由中点坐标公式可得x1x21, y1y21，223最新 料推荐x12y121x1x2x1x2y1y2y1y242则 ，两式相减得0 ，x22y2214442所以 y1y21 ，所以直线 ef 的斜率 ky1

14、y21 ，x1x22x1x22所以直线 ef 的方程为 y11x 1 ，整理得 x2 y30，故选 a 211 3x4 y70【解析】设ax , yb x , y2，根据中点坐标公式，x1x22 ， y1y22 ，且11 ，2x12y121 ，x2 2y2 2y1y2y1y23，所以1 ，两式相减，化简可得x1x2x1x243434y1y23 ，即直线的斜率为3，根据点斜式， 得到直线 ab 的方程为 3x4 y7 0 .x1x244点睛：过点 mx0 , y0 的直线与椭圆x2y21 交于 a, b 两点，且点 m 平分弦 ab 。求a2b2直线方程，常用的方法是点差法：分别设出交点的坐标：

15、ax1, y1、 b x2 , y2 ，带入椭x12y121圆 方 程 得 到 一 个 方 程 组 a2b2， 作 差 得 到 直 线 斜 率 和 中 点 的 关 系 ：x22y221a2b2y2y1b2 x0，即 kabb2 x0, 进而求出直线方程。x2x1a2 y0a2 y02y 2112 x8【解析】由 aq 的垂直平分线交直线cq 于点 m ，得 mamq ，圆的半径为 2，所以 mc ma2ac6，故点 m 的轨迹是以 c , a 为焦点的双曲线，所以由题意的2a2, 2c 6 ，所以 a1,c3b2c2a28，焦点在 x 轴上，故所求方程为x2y2184最新 料推荐点睛：本题考查

16、了定义法求解双曲线的标准方程，要注意挖掘所给条件的几何性质进行分析，对于轨迹方程的求解；直线过定点问题， 常用方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x, y之间的关系fx, y0 (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入 (相关点 )法：动点p x, y 依赖于另一动点q x0 , y0 的变化而运动，常利用代入法求动点 p x, y 的轨迹方程x2y2131259设 p 点的坐标为x, y ，则 s pf1 f21【解析】f1f2 y4 y ，2显然 y 取最大时， 三角形面积最大

17、，因为 p 点在椭圆上， 所以 p 在 y 轴上，此时 y 最大，所以 p 点的坐标为0,3 ，所以 b3 ，因为 a2b2c2 ，所以 a5 ，所以椭圆的方程为x2y21 25914 (1) 焦点为 f3 ,0，准线方程：x3； (2)12.22【解析】试题分析：（ 1）抛物线的标准方程为y26x ，焦点在 x 轴上，开口向右， 2 p6 ，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（ 2）现根据题意给出直线 l 的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可试题解析：（ 1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x 轴上，开口向右，2p=6，=焦点为f（， 0），准线方程：

18、x=，（ 2）直线l 过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，直线 l 的方程为 y=x，代入抛物线y2=6x 化简得 x2 9x+=0，设 a（ x1， y1）， b（ x2， y2），则 x1+x2=9，所以 |ab|=x 1+x2+p=9+3=12故所求的弦长为 12点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中根据直线过5最新 料推荐抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离 (抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离 )进行等量转化同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线， 又能与距离联系起来， 那么用抛物线定义就能解决

19、问题 因此，涉及抛物线的焦半径、 焦点弦问题， 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化x2y215（）1 （）见解析94【解析】 试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到c5 ， c5 ，进而求得方程；（2）a3由点 p 的坐标写出直线 pa，由相切关系得到1144x029k 22 x0 y0ky024 0 ，同理，由直线pb 与椭圆 c 也得到：2112，再由2144x09k 22x0 y0 ky04y0213 x02，可化简得到20 .解析：（）解：由题意，知 c5 ， c5，a3所以 a3 ， ba2c22 ，所以椭圆 c 的标准方程为 x2y21 .94

20、（）证明：由题意，点b 在圆 m 上，且线段 ab 为圆 m 的直径，所以 papb .当直线 pax轴时，易得直线pa 的方程为 x3，由题意，得直线pb 的方程为 y2 ，显然直线 pb 与椭圆 c 相切 .同理当直线pa / x 轴时，直线pb 也与椭圆 c 相切 .当直线 pa 与 x 轴既不平行也不垂直时，设点k，则 k0 ，直线 pb 的斜率1p x , y0，直线 pa 的斜率为，01 xk所以直线 pa ：y y0 k x x0，直线 pb ： y y0x0 ，kyy0kxx0 ,由 x2y2消去 y ，941,6最新 料推荐得 9k 24 x2 18 y0 kx0 kx 9

21、y0kx0236 0 .因为直线 pa 与椭圆 c 相切，所以 118 y0kx0 k24 9k249 y0 kx0236 0 ，整理，得1144x029 k 22 x0 y0 ky0240（ 1）同理，由直线 pb 与椭圆c 的方程联立，得2112.（ 2）2144x09k 22x0 y0ky04因为点p 为圆 m ： x2y 213 上任意一点，所以 x02y0213 ，即 y0213 x02 .代入（ 1）式，得x029k22x0 y0k9 x020 ，代入（ 2）式，得2144x0292x0 y0ky024 k 2k2144x0292x0 y0 k9x02 k2k 2144x029k2

22、2 x0 y0k 9x02k 20 .所以此时直线 pb 与椭圆 c 相切 .综上，直线pb 与椭圆 c 相切 .点睛：这个题目考查的是直线和圆锥曲线和圆的位置关系， 一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的， 联立的时候较少； 还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。16（） ab572（）4.2【解析】试题分析： （ 1）联立直线和曲线得到二次方程，由弦长公式得到ab 长度；（ 2）用dx0y042x0 ，二元化一元，点线距离公式得到2， a 是抛物线 c 上的动点， 得 y02求值域即可。解析：（

23、）由题意，得f1 ,0，则直线 ab 的方程为 y 2 x1.22由 y 2 x1,2消去 y ，得 4x26x 1 0 .y22x,7最新 料推荐设点 a x1 , y1 ， b x2 , y2，则0 ，且 x1x23， x1x212，45所以 ab5 x1x25x1x224x1 x2.2（）设 a x0 , y0，则点 a 到直线 l 距离 dx0y042.由 a 是抛物线 c 上的动点，得y022x0 ，所以 d2 1 y02y04227 ，y0 1224所以当 y0 1 时， dmin724.即点 a 到直线 l 的距离的最小值72.4点睛： 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的， 圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用x221 （ 2） k3k1117（ 1）y，或242【解析】试题分析： （）由椭圆 c : x2y21过点 a 2, 0，可得 a2 ，再由离心率为a2b23 结合 a2b2c2 ，可求得 b1，从而可得椭圆c 的方程；（）设直线pa 的方程为2y kx