【高考必备】【新步步高】高考数学（理 全国甲卷）大二轮总复习与增分策略配套配套文档 专题九　数学思想方法[原创精品]

1、高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求

2、得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系例1(1)已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B.C2 D3(2)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，若F关于直线xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.1答案(1)C(2)D解析(1)设正四棱锥SABCD的底面边长为a (a0)，则高h ，所以体积Va2h .设y12a4a6 (a0)，则y48a33a5.令y0，得0a4；令y4.故函数y在(0,4)上单调递增，在(4

3、，)上单调递减可知当a4时，y取得最大值，即体积V取得最大值，此时h 2，故选C.(2)设F(c,0)，A(m，n)，则解得A(，c)，代入椭圆方程中，有1，所以b2c23a2c24a2b2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以c48a2c24a40，所以e48e240，所以e242，所以e1或e1(舍去)即椭圆C的离心率为1.思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处

4、理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决跟踪演练1(1)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)xf(x)，则()A2f(1)f(2)C2f(1)f(2) Df(1)f(2)(2)如图是函数yAsin(x)(其中A0，0，)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是()Ay2sin(2x) By2sin(2x)Cy2sin() Dy2sin(2x)答案(1)A(2)B解析(1)由于f(x)0恒成立，因此在R上是单调递增函数，即f(2)2

5、f(1)，故选A.(2)依函数图象，知y的最大值为2，所以A2.又()，所以T，又，所以2，所以y2sin(2x)将(，2)代入可得sin()1，故2k，kZ，又，所以.所以函数的解析式为y2sin(2x)，故选B.二、数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它

6、是数学的规律性与灵活性的有机结合例2(1)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_(2)已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且.则满足的实数t的值为_答案(1)(0,2)(2)解析(1)由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点(2)以A点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(，0)，C(0，t)，由可知P(1,4)，则(1,4)，又(，t)，所以(1,4)(，t)4t0

7、，解得t(负值舍去)思维升华数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围(3)构建解析几何模型求最值或范围(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系跟踪演练2(1)已知奇函数f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若f(1)0，则满足xf(x)0的x的取值范围是_(2)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_答案(1)(1,0)(0,1)(2)2解析(1)作出符合条件的一

8、个函数图象草图即可，由图可知xf(x)|PF2|，则的值为_答案(1)C(2)2或解析(1)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_答案(1)D(2)(1,0)(0，)解析(1)因为m是2和8的等比中项，所以m22816，所以m4.当m4时，圆锥曲线x21是椭圆，其离心率e；当m4时，圆锥曲线x21是双曲线，其离心率e.综上知，选项D正确(2)因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(n1,2,3，)，则有或由，得1q1.故q的取值范围是(1,0)(0，)四、转化与化归思

9、想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题例4(1)已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意的x1(0,2)，任意的x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是()A(， B(1，)C(1，) D1，(2)定义运算：(ab)xax2bx2，若关于x的不等式(ab)x0的解集为x|1x2，则关于x的不等式(ba)x0，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,

10、3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)minf(1).函数g(x2)x2bx24，x21,2当b2时，g(x2)maxg(2)4b8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1b，第三个不等式组无解，综上所述，b的取值范围是(，故选A.(2)1,2是方程ax2bx20的两实根，12，12，解得由(31)x3x2x20，解得x1.思维升华转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到

11、化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化跟踪演练4(1)若对于任意

12、t1,2，函数g(x)x3(2)x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_(2)已知a为正常数，若不等式1对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为_答案(1)(，5)(2)4解析(1)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)时恒成立，所以m43t (t1,2)恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t,3)时恒成立，则m49，即m.所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为(，5)(2)原不等式即1 (x

13、0)，(*)令t，t1，则xt21，所以(*)式可化为1t对t1恒成立，所以1对t1恒成立，又a为正常数，所以a(t1)2min4，故a的最大值是4.A组专题通关1若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0答案B解析把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数f(x)2x5x，则有f(y)2y5y，其为R上的增函数，所以有xy.所以xy0.2已知函数f(x)满足f(a)3，则f(a5)的值为()Alog23 B. C. D1答案C解析分两种情况分析，或者无解，由得，a7，所以f(a5)2231，故选C.3(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3

14、a5a7等于()A21 B42 C63 D84答案B解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.4已知F为双曲线1 (a0，b0)的左焦点，定点G(0，c)若双曲线上存在一点P满足|PF|PG|，则双曲线的离心率的取值范围是()A(，) B(1，)C，) D(1，)答案A解析由题意知线段FG的中垂线yx与双曲线1(a0，b0)有公共点，联立方程，由0化简可得ba，所以e，但是当e时，双曲线是等轴双曲线，此时线段FG的中垂线与双曲线的渐近线yx重合，显然不合题意，综上，故选A

15、.5已知0ab B()a()bC(lg a)2答案D解析0abb1，故A错误；又y()x是减函数，()a()b，故B错误；又ylg x是增函数，lg alg b(lg b)2，故C错误，D正确故选D.6如图，在矩形ABCD中，AB2，AD4，点E在线段AD上且AE3，现分别沿BE，CE将ABE，DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角DECB的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析如图所示，在RtDEC中，过D作DHCE于H，易得EH，DH，在BEH中，BH2BE2EH22BEEHcosBEHBE2EH22BEEH132BH，BH2EH213BE2，BHEH，DHB即为二面角DEC

16、B的平面角，在DHB中，cosDHB，故选D.7已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()A B.C0 D或0答案D解析不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1与直线y0垂直(如图)或直线ykx1与直线y2x垂直(如图)时，平面区域才是直角三角形由图形可知斜率k的值为0或.8等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值是()A1 BC1或 D1或答案C解析当公比q1时，a1a2a37，S33a121，符合要求当q1时，a1q27，21，解得q或q1(舍去)综上可知，q1或.9(2

17、015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，且g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0x1时，g(x)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，使得f(x)0成立的x的取值范围

18、是(，1)(0,1)，选A.10对任意x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C1，) D(，1答案B解析不等式x2y2xy3(xya)恒成立不等式x2(y3)xy23y3a0恒成立(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0，要使得上式恒成立，则有1a0成立，故a1，故选B.11将函数ysin(4x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为_答案解析把ysin(4x)的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到ysin4(xm)sin(4x4m)的图象，而此图象关于y轴对称，则

19、4mk(kZ)，解得mk(kZ)，又m0，所以m的最小值为.12已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是_答案(10,12)解析作出f(x)的大致图象由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设abc，则lg alg bc6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知10c0)因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin80204160(元)B组能力提高14设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A1 B2C3 D4答案C解析由f(4)f(0)，f(2)2，解得b4，c2，f(x)作出函数yf(x)及yx的函数图象如图所示，由图可得交点有3个15(2015福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p