高等数学下8.1.ppt

1、8.1多元函数基本概念,一 平面点集(Plane point set),二 多元函数的概念,三 多元函数的极限,四 多元函数的连续性,在上册中,我们讨论的函数只有一个变量,这种函数称为一元函数,但在实际问题中,往往涉及到多方面的因素,反映到数学上,就是一个变量依赖于几个变量的情况,这就提出多元函数及其微积分问题,本章讨论多元函数微分学及其应用.,一 平面点集(Plane point set),例如: 三角形的面积A依赖于三角形的两条边b和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下面的公式给出,这个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。,1.平面点集,坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平

2、面 点集，记作,具有性质,2.邻域,3.区域(Domain),(1)内点,（3）边界点,(4)聚点,内点一定是聚点；,说明：,边界点可能是聚点.,例,(0,0)既是边界点也是聚点,例如，,即为开集,(5)开集,(6)闭集,例如，,（7）连通集,若点集E中任意两点， 都可用一完全属于E的折线相连 .,(8)区域,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,(9)有界集、无界集,有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r,使得,其中O是坐标原点，则称E为有界集。否则称为无界集。,4.n维空间(Space n),设两点为,称为两点P , Q之间的距离.,比如：,当

3、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强, 三角形面积的海伦公式,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 . 求 的定义域,解：,所求定义域为,解：,所求定义域为,二元函数 的图形,说明：二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,例如,三、多元函数的极限,注意：,（2）定义中 的方式是任意的；,（3）二元函数的极限也叫二重极限,（1）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（4）二重极限 不同于二次极限,例2.求证,证,当 时，,所以结论成立,例3. 设,求证：,证:,故,总有,例4 证明 不存在,证：,取,其值随k的不同而变化，,故极限不

4、存在,注意：确定极限不存在的方法,四.多元函数的连续性,1 定义,例5.设,证明,是,上的连续函数.,从而,2.间断点,函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：,例6.讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续, (0,0)为函数的间断点,例7,解,例8,解,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,4.多元初等函数连续,例9,解:,5.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上有界，取得它的最大值和最小值,在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数