数值代数第二章第一节.ppt

1、第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析,求解,第一章讨论如何解线性方程组。,计算量，直接法的诱惑力,如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？,推荐选用这种方法的原因是什么？,实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的，此时这些数值方法求处的数值解精度如何？,2.1 向量和矩阵范数 /* Norms of Vectors and Matrices */ 为了误差的度量, 向量范数 /* vector norms */,范数是一个n元连续函数（证明一下）,函数,是一种范数吗？,常用向量范数：,证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用一些著名的不等式,Cauchy-Sc

2、hwartz不等式,Holder不等式,范数的一个应用-讨论向量序列的收敛性,何谓向量序列？ 如何定义向量序列收敛比较合理？,2-范数重要性质：正交变换长度不变，向量间夹角不变,1 Norms of Vectors and Matrices Vector Norms,可以理解为,可以理解为对任何向量范数都成立。,范数等价定义,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms, 矩阵范数 /* matrix norms */,(4)* | AB | | A | | B | （相容 /* consistent */ 当 m = n 时),In general

3、, if we have | AB | | A | | B | , then the 3 norms are said to be consistent.,Oh havent I had enough of new concepts? What do I need the consistency for?,When you have to analyze the error bound of AB imagine you doing it without a consistent matrix norm,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,

4、常用矩阵范数：,Frobenius 范数, 向量| |2的直接推广,如何证明上述定义的非负函数是一个范数？ （验证方法）,问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特征值的关系,矩阵范数的性质,任意两个矩阵范数都是等价的（表达式） 何谓矩阵序列的敛散性？ 矩阵序列收敛的充要条件 矩阵范数与向量范数相容性,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,F-范数相容性：,Frobenius 范数, 向量| |2的直接推广,对方阵 以及 有,利用Cauchy 不等式 可证。,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms

5、,算子范数,/* operator norm */,定理2.1.3 设| |是一种向量范数。若定义,则,上的一个矩阵范数。,矩阵范数,称为从属向量范数| |的矩阵范数,也称为由向量范数| |诱导出的算子范数,举例说明算子矩阵范数的优点,研究方程组,与方程组,解之间的关系。,那个上界更紧一些？,不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在改进的,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms,算子范数,/* operator norm */,由向量范数 | |p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数:,则,1 Norms of Vectors and Ma

6、trices Matrix Norms,矩阵 ATA 的最大 特征根 /* eigenvalue */,定理2.1.5 设,则,（3）2范数的正交不变性,算子范数的最优性,矩阵的F-范数与向量的2-范数的关系。 （P72 习题4）,1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms, 我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。,若不然，则必存在某个向量范数 | |v 使得 对任意A 成立。,Counterexample ?,问题：矩阵的列和范数和其转置矩阵的行和范数的关系。,问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范数的等价关系是什么？, 谱半径 /* spectral radius */, (A),证明：,A对称,若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。,又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 故得证。,对某个