《微分方程模型》PPT课件.ppt

1、3.1微分方程的简单应用问题 3.2运动轨迹问题 3.3火车弯道缓和曲线的设计 3.4减肥的数学模型 3.5现实生活中的一些微分方程模型 3.6传染病模型 3.7万有引力定律的发现 3.8赤道上空通讯卫星颗数的确定,第三章 微分方程模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程,动态模型,微分方程建模,3.1微分方程的简单应用问题,例1 （物体达到的最大高度）在地面上以初速度v0铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力

2、与物体到地心距离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度.若物体脱离太阳系，则v0应为多少？,模型建立,记地球半径为R，假设空气阻力不计.,设在时刻t物体上升的高度为s=s(t)，则根据Newton（牛顿）的万有引力定律知，物体受地球的引力为：,又当物体在地面上时，s=0,F=-mg,又物体在上升过程中满足Newton(牛顿)第二定律,这是一个二阶微分方程,模型求解,由于物体到达最大高度时，v=0，所以由,此即第二宇宙速度,例2 液体的浓度稀释问题,在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均为装满），其浓度均为5g/L.现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶

3、液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中均不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合溶液输出.问时刻t时乙桶盐水的浓度是多少？,模型建立与求解,设y1(t)和y2(t)分别表示时刻t时甲、乙两桶内含盐的数量,先分析甲桶,两边同除以t,并令t0,得甲桶内含盐的数学模型：,分析乙桶,同理在任意时间段t,t+t内乙桶内含盐量的变化为：,两边同除以t,并令t0,得乙桶内含盐的数学模型：,这是一阶线性微分方程，,例3 凶手作案时间的推断问题,某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为30C，室内环境温度为20C.已知在环境

4、温度20C状况下尸体最初2小时其温度下降2C.若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀作案时间.,问题分析,该问题属于物理上的冷却现象，需要运用Newton（牛顿）冷却定律：“物质在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比.”而“冷却速度就是温度对时间的导数.”,模型建立,记Tt为时刻t物体的温度，T0为初始时刻t0物体的温度（即被害者被害时的体温），Te为介质（环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：,（其中0为比例系数）,模型求解,现在的问题是如何求？,方法一 利用已知介质（环境）温度Te下物体在最初时间段t1-t0其温度下降为Td这一条件来确定.,应用,方法二 利用现场过一段时间，再

5、增加一次温度测定，从而增加一个条件来确定.,例4 马王堆一号墓入葬年代的测定问题,湖南长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳14平均（C14）原子蜕变数为29.78次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳14的原子蜕变数为38.37次/分钟，又知碳14的半衰期为5730年，试由此推断墓人入葬的大致年代.,问题分析,放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，它总是和该元素当前的量成正比.,运用C14测定文物或化石年代的理由：,（1）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生C14，而同时C14又不断衰变，从而大气层中C14的含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不变

6、； （2）C14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的C14也处于动态平衡中，其含量自古至今也都是一样的； （3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取C14，从而其体内C14含量将由于衰变而不断减少.碳定年代法就是根据C14的减少量来判断生物体的大致死亡时间.,运用C14测定文物或化石年代的理由：,建立模型,设t时刻生物体中C14的含量为x(t)，x0为生物体死亡时间t0时所含C14的含量，放射性物质的半衰期为T，则C14衰变规律的数学模型为：,模型求解,运用分离变量法，得：,模型应用,把T=5730,x0=38.37,x(1972)=29.78代入上式得：,即马王堆墓入葬

7、的年代大约在公元前123年左右的西汉中期。,3.2 运动轨迹问题,例 1 航迹曲线,设河边点O的正对岸为点A，河宽OA=h,两岸为平行直线，平行于河岸的水流速度为常数v1,有一小船从A点出发，驶向点O.设小船速度为v2(静水中速度），且|v2|v1|.小船在航行中船头恒指向O点，求小船航行的轨迹.,模型建立,设O为坐标原点，河岸沿y轴方向延伸,如右图.小船航行的轨迹为y=y(x).,设小船t时刻位于点(x, y)处，则有：,模型求解,这是一阶齐次微分方程,这就是小船的航行轨迹曲线.,例2 追踪问题,在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇d n mile(海里）处有一艘走私船正以匀速a n mi

8、le(海里）朝垂直方向逃窜，缉私舰立即以最大的速度v nmile(海里）追赶.在雷达的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船.试求缉私舰的追踪轨迹及追上所用的时间.,模型建立,如果va,则缉私舰不可能追上走私船，因此假设va.,以缉私舰发现走私船的位置记为坐标原点O，走私船逃窜的方向为y轴方向，建立坐标系，走私船的起点位置为A（d,0),如图.,对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型,模型求解,这是一个二阶微分方程,缉私舰追上走私船的时间,3.3 火车弯道缓和曲线的设计,问题 火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F=mv2/R.在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接处，列车受到的离心力若由0突然变到F，会损坏路轨和车辆，并使乘客赶到不适，甚至发生危险.为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，使产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行.为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从0均匀地增大到F，外轨的超高也从0逐渐增大到h.所加的曲线称为缓和曲线.试求满足上述要求的缓和曲线的模型.,模型建立,如图，设铁路轨道沿x负半轴直到原点为直线，从第一象限的B处开始，是半径为R0的圆弧，OB弧是所求的缓和曲线，OB弧的总长