2013年高考数学湖北卷试题

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集为R，集合，则ACRB=（ ）AB C D3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A B CD4将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）ABCD5已知，则双曲线的（ ）A实轴长相

2、等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等6已知点，则向量方向上的投影为（ ）ABCD7一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度的单位：s, v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ）A1+25ln5BC4+25ln5D4+50ln28一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）ABCD9如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值（ ）ABCD10已知为常数

3、，函数个两个极值点（ ） A B C D二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）11从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（）直方图中的值为_；（）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为_12阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果_13设，且满足：，则_14古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，第个三角形数为记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达

4、式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，可以推测的表达式，由此计算_（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑如果全选，则按第15题作答结果计分）15（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆上一点在直径上的射影为，点在半径上的射影为若，则的值为_16（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为为参数，）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为为非零常数）与若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为_三、解答题：本大题共6小题，共7

5、5分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是，已知（）求角的大小；（）若的面积，求的值18（本小题满分12分）已知等比数列满足：（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由19（本小题满分12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点（）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（）设（）中的直线与圆的另一个交点为D，且点满足记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为求证：20（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量记一

6、天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为（）求的值；（参考数据：若（）某客运公司用两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆？21（本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，过原点且不与轴重合的直线的四个交点按纵坐标从大到小依次为，记，的面积分别为（）当直线轴

7、重合时，若，求的值；（）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由22（本小题满分14分）设是正整数，为正有理数（）求函数的最小值；（）证明：；（）设，记为不小于的最小整数，例如令的值（参考数据：2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1D2C3A4B5D6A7C8C9B10D二、填空题11（）0.0044 （）701251314100015816三、解答题17（）由，即，解得（舍去）因为，所以（）由又由余弦定理得，故又由正弦定理得18（）设等比数列的公比为，则由已知可得解得故（）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而若，则是首项为

8、，公比为的等比数列，从而故综上，对任何正整数，总有故不存在正整数，使得成立19（）直线平面，证明如下：连接，因为分别是的中点，所以，又平面，且平面，所以平面而，且平面平面，所以因为平面，所以直线平面（）（综合法）如图1，连接，由（）可知交线即为直线，且因为的直径，所以，于是已知，而平面，所以而，所以平面连接，因为，所以故就是二面角的平面角，即由，作且连接，因为的中点，所以，从而四边形是平行四边形，连接，因为平面，所以在平面内的射影，故就是直线与平面所成的角，即又平面，有，知，于是在中，分别可得从而 图1 图2（）（向量法）如图2，由，作，且连接，由（）可知交线即为直线以点为原点，向量所在直线分

9、别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设则有于是，所以，从而，又取平面的一个法向量为，可得设平面的一个法向量为，所以由可得于是，从而故，即20（）由于随机变量服从正态分布，承 故有由正态分布的对称性，可得（）设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为依题意，还需满足：由（）知，故等价于于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数达到最小的作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为由图可知，当直线经过可行域的点时，直线在轴上截距最小，即z取得最小值故应配备型车5辆，型车12辆21依题意可设椭圆的方程分别为其中（）解法1：如图1，若直线轴重合，即直线的方程为，则，所以在的方程中分别令，可得，于是

10、若则，化简得，可解得故当直线轴重合时，若，则解法2：如图1，若直线轴重合，则；所以若，则，化简得，可解得故当直线轴重合时，故则图1 图2（）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线，使得根据对称性，不妨设直线，点到直线的距离分别为，则因为，所以又，所以，即由对称性可知，所以于是将的方程分别与的方程联立，可求得根据对称性可知，于是从而由和式可得令，则由，于是由可解得因为，所以于是式关于有解，当且仅当，等价于，可解得，即，解得，所以当时，不存在与坐标轴重合的直线，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线，使得根据对称性，不妨设直线，点到直线的距离分别为，则因为，所以又，所以因为，所以由点分别在上，可得，两式相减可得，依题意所以由上式解得因为，所以由，可解得从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线22