3.3.2函数的极值与导数课件（第二课时）.ppt

1、3.1.2函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点? f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像：,函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x

2、)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的x0称为极值点,请指出下列函数的极值点,x,y,-4.5,-3,-1,1.5,3.5,5,极大值点有：x=-3,x=1.5,x=5 极小值点有：x=-4.5,x=-1,x=3.5,（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值,（3）极大值不一定比极小值大,（2）极值点不是一个点，而是横坐标x的取值,练习：,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极

3、小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(

4、x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方

5、程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,小结,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则f (x0)必为极值； f (x)= 在x=0 处取极大值0， 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 函数的极值即为最值,变式,

6、求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,求下列函数的极值点,1. 2.,求下列函数的极值，并结合单调性，极值作出函数图像。,1. 2.,函数极值的应用,1.已知函数 ， （1）求函数的极值； （2）若函数图像与x轴有且仅有一个交点，求实数a的取值范围？,有极大值和极小值,求a范围?,解析 :f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,2.已知函数,解得 a6或a3,品味高考,小结：,1个定义: 极值定义 2个关键： 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。