江苏省2020版高考数学第四章3第三节三角函数的图象和性质课件.pptx

1、第三节三角函数的图象和性质,1.周期函数的定义,2.三角函数的图象和性质,教材研读,考点一 三角函数的定义域与值域,考点二 三角函数的单调性,考点突破,考点三 三角函数的周期性、奇偶性及对称性,1.周期函数的定义 对于函数y=f(x),若存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,则称y=f(x)为周期函数.,教材研读,2.三角函数的图象和性质,1.(2019江苏南通海安高级中学高三模拟)函数f(x)=sin的最小正 周期为.,答案,2.(2018常州教育学会学业水平检测)函数f(x)=log2(sin2x+1)的值域为 .,答案0,1,解析因为0si

2、n2x1,所以1sin2x+12,则函数的值域为0,1.,3.(教材习题改编)函数y=sin的单调减区间为 .,答案(kZ),解析由2k+x+2k+,kZ得2k+x2k+,kZ,故减 区间为(kZ).,4.(教材习题改编)函数y=tan的定义域为.,答案,解析由3x+k+,kZ解得x+,kZ,故函数的定义域为 .,5.(2018江苏苏州高三上学期期中)函数y=sin(2x+)的图象的 一条对称轴是直线x=,则的值是.,答案,解析由题意可得+=+k,kZ,=+k,kZ,又0,则=.,6.(2019江苏南通模拟)定义在区间0,3上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.,答

3、案7,解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间0,3上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.,考点一 三角函数的定义域与值域 角度一求三角函数的定义域 典例1(1)函数y=lg sin x+的定义域为 . (2)函数y=的定义域为.,考点突破,解析(1)要使函数有意义,则有 即 解得 2kx+2k(kZ),答案(1) (2)(kZ),函数的定义域为. (2)要使函数有意义,则tan x-0, 即tan x, 由正切函数图象可得k+xk+(kZ), 函数的定义域为(kZ).,方法技巧 三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借

4、助三角函数线或三角函数的图象来求解.,典例2(1)函数f(x)=3sin在区间上的值域为. (2)当x时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值是,最大值是 .,角度二求三角函数的值域与最值,答案(1)(2);2,解析(1)当x时,2x-, sin,则3sin, 故函数f(x)在区间上的值域是. (2)x, sin x. 又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x),=2+, 当sin x=时,ymin=; 当sin x=-或sin x=1时,ymax=2.,+cos x均可以通过换元转化为二次函数,y=则可以通过换元转 化为一次分式函数,注意换元后“新元”的

5、取值范围不能忽略;(3)导数法:利用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质.,规律总结 求与三角函数相关的函数的值域与最值的常见题型和解法:(1)直接法:利用三角公式化为标准型y=Asin(x+)(A0,0),结合正弦函数的图象求解;(2)换元法:利用换元法转化为基本函数型,如y=cos2x-sin x+1,y=sin2 x,典例3已知函数f(x)=2asin xcos x+asin2x-acos2x+b(a,bR),当x 时,函数f(x)的最大值为3,最小值为1-,求a和b的值.,角度三已知三角函数的最值,求参数的值,解析因为f(x)=asin 2x-acos 2x+b=2asin+b,当x

6、时, 2x-,2sin-2,. 则当a0时,函数f(x)的最大值为a+b,最小值为-2a+b, 所以 解得a=1,b=3-; 当a0时,函数f(x)的最大值为-2a+b,最小值为a+b,所以 解得a=-1,b=1. 综上,a=1,b=3-或a=-1,b=1. 方法技巧 已知三角函数的最值或值域,求参数的值或取值范围时,一般先按照求三角函数的值域或最值的方法求出最值,再由题中所给的最值建立方程(组)求解,含有参数的还要注意可能需要对参数进行分类讨论.,1-1函数y=的定义域为.,答案,解析要使函数有意义,则sin x-cos x0. 则sin x-cos x=sin0,则2kx-+2k(kZ),

7、解得2k+ x2k+(kZ), 所以函数的定义域为.,1-2函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为.,答案,解析设t=sin x-cos x,则-t,t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则 sin xcos x=, y=-+t+=-(t-1)2+1. 当t=1时,ymax=1; 当t=-时,ymin=-. 函数的值域为.,1-3若函数y=sin x(0)在区间上的最小值是-1,则的最小值 是.,答案,解析x,0,则x,函数的最小值是-1,则- ,则的最小值是.,典例4已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR). (1)求f的

8、值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,考点二 三角函数的单调性,解析(1)由sin=,cos=-,得 f=-2=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin, 所以f(x)的最小正周期是. 欲求函数f(x)的单调增区间,只需求y=sin的单调减区间即可,令+2k2x+2k,kZ, 解得+kx+k,kZ, 所以f(x)的单调递增区间是(kZ).,方法技巧 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)在比较复杂的三角函数解析式中,将含自变量的代数式(如x+)整体当作一个角u(或t),利用基

9、本三角函数(y=sin x、y=cos x、y=tan x)的单调性列不等式求解. (2)画出三角函数的图象,利用图象求函数的单调区间. 提醒:注意求函数y=Asin(x+)的单调区间时的符号,如果0,那么一定要先借助诱导公式将化为正数,同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.,2.利用单调性确定的范围的方法 已知函数的单调区间的某一部分,确定参数的范围时,要明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系求解.,同类练函数f(x)=sin的单调减区间为.,答案(kZ),解析因为f(x)=sin=-sin,所以欲求函数f(x)的单调减区 间,只需求y=

10、sin的单调增区间即可. 由2k-2x-2k+,kZ, 得k-xk+,kZ, 故所给函数的单调减区间为(kZ).,变式练已知函数f(x)=2sin,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的 大小关系是.(用“”连接),答案cab,解析a=f=2sin, b=f=2sin, c=f=2sin=2sin, 因为y=sin x在上递增,且, 所以cab.,深化练已知函数f(x)=sin x+cos x(0),xR.若函数f(x)在区间(-,)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,则的值为.,答案,解析由已知得f(x)=sin,令2k-x+2k+(kZ),由 0,得x(kZ).当k=0

11、时,得f(x)的单调增区间为 ,所以(-,),所以解得0. 又y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+(kZ),则2=k+(k Z),又0,所以=.,考点三 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 角度一三角函数的周期性,典例5(2019江苏宿迁高三模拟)若函数f(x)=sin(0)的最小 正周期为,则f的值为.,答案-,解析由题意可得=,故=10, 则f(x)=sin, 则f=sin=sin=sin=-sin=-.,方法技巧 三角函数最小正周期的两种求法 (1)先将所给函数化为y=Asin(x+),y=Acos(x+),或y=Atan(x+)的形式,然后正弦函数与余弦函数用公式T=求,正

12、切函数用T=求. (2)画出函数的图象,利用图象的特征求解.,角度二三角函数的奇偶性,典例6(1)设函数f(x)=cos(0)是奇函数,则=. (2)若f(x)=sin(x+)-cos(x+)是定义在R上的偶函数,则= .,答案(1)(2)-,解析(1)函数f(x)是奇函数, -=+k(kZ), =+k(kZ), 又0,=. (2)函数f(x)=sin(x+)-cos(x+)=2sinx+-是R上的偶函数,- =k+(kZ),=k+(kZ), 又-,=-. 规律总结 函数f(x)=Asin(x+)(A0,0),若函数f(x)是偶函数,则=+k(kZ); 若函数f(x)是奇函数,则=k(kZ).

13、函数g(x)=Acos(x+)(A0,0),若函数g(x)是偶函数,则=k(kZ);若函数g(x)是奇函数,则=+k(kZ).,典例7(1)(2018苏州模拟)若函数f(x)=cos(N*)的一个对称 中心是,则的最小值为. (2)(2018江苏启东中学高三月考)已知函数f(x)=sin-cos x(0), 若函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且在区间上是单调增函数, 则的取值集合为. (3)已知函数f(x)=sin 2 017x+cos 2 017x的最大值为A,若存在实数x1,x2,角度三三角函数图象的对称性,使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最

14、小值为.,答案(1)2(2)(3),解析(1)由题意可得f=cos=0,则+=+k,kZ,则=2 +6k,kZ,又N*,则k=0时,取得最小值2. (2)f(x)=sin-cos x=sin xcos+cos xsin-cos x=sin x- cos x=sin, f(x)的图象关于直线x=2对称, 2-=+k,kZ,=(kZ),f(x)在区间上是单调增函数, mZ,解得mZ, 0,0, 由得当k=0时,=,满足式, 当k=1时,=,满足式,当k=2时,=,满足式, 故的取值集合为. (3)f(x)=2sin的最大值A=2, 由题意可知 f(x1)=f(x)min, f(x2)=f(x)ma

15、x, 则直线x=x1,x=x2是函数f(x)的图象的两条对称轴, 则|x1-x2|min=T=, 所以(A|x1-x2|)min=.,探究将(1)中的条件“对称中心是”变为“对称轴为x=”,则 的最小值为.,答案5,解析由题意可知f=cos=1,则+=k,kZ,=6k-1,k Z,又N*,所以k=1时,取得最小值5.,方法技巧 三角函数图象的对称性 (1)函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0)的图象的对称轴是使f(x)取得最大、最小值时的x的值,而其图象的对称中心则是使函数值为0的点.正弦函数、余弦函数的图象的对称中心一定在图象上,而正切函数的图象的对称中心不一定在图象上.,(2)图象上在对称轴两边与对称轴等距离的点的函数值相等;在对称中心两边与对称中心等距离的点的函数值互为相反数,以上是数形结合解题的关键. (3)相邻两条对称轴之间的距离等于T,相邻两个对称中心之间的距离 等于T,相邻对称轴与对称中心之间的距离等于T(其中T为最小正周 期).,3-1(2018江苏徐州铜山中学高三上学期期中)