高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案

1、精品文档 高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案 学案36基本不等式及其应用 导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 自主梳理 1基本不等式abab2 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 2几个重要的不等式 (1)a2b2_(a，bR) (2)baab_(a，b同号) (3)abab22(a，bR) (4)ab22_a2b22. 3算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_. 4利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积

2、xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：和定积最大) 自我检测 1“ab0”是“ab A充分而不必要条件B必要而不充分条件 c充要条件D既不充分也不必要条件 2(2011南平月考)已知函数f(x)12x，a、b(0，)，Afab2，Bf(ab)，cf2abab，则A、B、c的大小关系是() AABcBAcB cBcADcBA 3下列函数中，最小值为4的函数是() Ayx4x Bysinx4sinx(0 cyex4ex Dylog3xlogx81 4(2011大连月考)设函数f(x)2x1x1(x

3、5(2010山东)若对任意x0，xx23x1a恒成立，则a的取值范围为_ 探究点一利用基本不等式求最值 例1(1)已知x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值； (2)已知x (3)若x，y(0，)且2x8yxy0，求xy的最小值 变式迁移1(2011重庆)已知a0，b0，ab2，则y1a4b的最小值是() A.72B4 c.92D5 探究点二基本不等式在证明不等式中的应用 例2已知a0，b0，ab1，求证：(11a)(11b)9. 变式迁移2已知x0，y0，z0. 求证：yxzxxyzyxzyz8. 探究点三基本不等式的实际应用 例3(2011镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地，计划

4、在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元) (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积) 变式迁移3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年

5、销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数 (2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ (注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用) 1a2b22ab对a、bR都成立；ab2ab成立的条件是a，bR；baab2成立的条件是ab0，即a，b同号 2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时

6、，积有最大值，积为定值时，和有最小值 3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yaxbx，当a0，b0时，函数在(，0)，(0，)上是减函数；当a0，b0时函数在ba，0，0，ba上是减函数，在，ba，ba，上是增函数；当a (满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a1b的最小值为() A8B4c1D.14 2(2011鞍山月考)已知不等式(xy)1xay9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为() A2B4c6D8 3已知a0，b0，则1a1b2ab的最小值是() A2B22c4D5 4一批货物随1

7、7列货车从A市以a/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202，那么这批货物全部运到B市，最快需要() A6hB8hc10hD12h 5(2011宁波月考)设x，y满足约束条件3xy60xy20x0，y0，若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则2a3b的最小值为() A.256B.83c.113D4 二、填空题(每小题4分，共12分) 6(2010浙江)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_ 7(2011江苏)在平面直角坐标系xoy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_ 8

8、已知f(x)32x(1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则的取值范围为_ 三、解答题(共38分) 9(12分)(1)已知0 (2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值 10(12分)(2011长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y920vv23v1600(v0) (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 11(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购

9、买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管) (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式； (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值 学案36基本不等式及其应用 自主梳理 1(1)a0，b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4) 3.ab2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)xy小2p(2)xy大p24 自我检测 1A2.A3.c 4大2215.15，) 课堂活

10、动区 例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件 解(1)x0，y0，1x9y1， xy(xy)1x9y yx9xy1061016. 当且仅当yx9xy时，上式等号成立，又1x9y1， x4，y12时，(xy)in16. (2)x0. y4x214x554x154x3 2(54x)154x31， 当且仅当54x154x， 即x1时，上式等号成立，故当x1

11、时，yax1. (3)由2x8yxy0，得2x8yxy， 2y8x1. xy(xy)8x2y108yx2xy 1024yxxy 10224yxxy18， 当且仅当4yxxy，即x2y时取等号 又2x8yxy0，x12，y6. 当x12，y6时，xy取最小值18. 变式迁移1cab2，ab21. 1a4b(1a4b)(ab2)52(2abb2a)5222abb2a92(当且仅当2abb2a，即b2a时，“”成立)，故y1a4b的最小值为92. 例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法 在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化

12、是否有误的一种方法 证明方法一因为a0，b0，ab1， 所以11a1aba2ba. 同理11b2ab. 所以(11a)(11b)(2ba)(2ab) 52(baab)549. 所以(11a)(11b)9(当且仅当ab12时等号成立) 方法二(11a)(11b)11a1b1ab 1abab1ab12ab， 因为a，b为正数，ab1， 所以ab(ab2)214，于是1ab4，2ab8， 因此(11a)(11b)189(当且仅当ab12时等号成立) 变式迁移2证明x0，y0，z0， yxzx2yzx0， xyzy2xzy0， xzyz2xyz0. yxzxxyzyxzyz 8yzxzxyxyz8.

13、当且仅当xyz时等号成立 所以(yxzx)(xyzy)(xzyz)8. 例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为： 由题设写出函数变形转化利用基本不等式求得最值结论 2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案 解(1)依题意得 y(56048x)2160100002000x 56048x10800x(x10，xN*) (2)x0，48x10800x 248108001440， 当且仅当48x10800x，即x15时取到“

14、”， 此时，平均综合费用的最小值为56014402000(元) 答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元 变式迁移3解(1)由题意可设3xt1， 将t0，x1代入，得2.x32t1. 当年生产x万件时， 年生产成本年生产费用固定费用， 年生产成本为32x33232t13. 当销售x(万件)时，年销售收入为 150%3232t1312t. 由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润yt298t352(t1)(t0) (2)yt298t352(t1)50t1232t1 502t1232t15021642(万元)， 当且仅当t

15、1232t1，即t7时，yax42， 当促销费投入7万元时，企业的年利润最大 课后练习区 1B因为3a3b3，所以ab1， 1a1b(ab)1a1b2baab 22baab4，当且仅当baab即ab12时，“”成立 2B不等式(xy)1xay9对任意正实数x，y恒成立，则1ayxaxya2a19， a2或a4(舍去) 正实数a的最小值为4. 3c因为1a1b2ab21ab2ab 21abab4，当且仅当1a1b且1abab， 即ab1时，取“”号 4B第一列货车到达B市的时间为400ah，由于两列货车的间距不得小于a202，所以第17列货车到达时间为400a16a202a400a16a4008

16、，当且仅当400a16a400，即a100/h时成立，所以最快需要8h 5A 618 解析由x0，y0,2xy6xy，得 xy22xy6(当且仅当2xy时，取“”)， 即(xy)222xy60， (xy32)(xy2)0. 又xy0，xy32，即xy18. 故xy的最小值为18. 74 解析过原点的直线与f(x)2x交于P、Q两点，则直线的斜率0，设直线方程为yx，由yx，y2x，得x2，y2或x2，y2， P(2，2)，Q(2，2)或P(2，2)，Q(2，2) |PQ|(22)2(22)2 2214. 8(，221) 解析由f(x)0得32x(1)3x20，解得1 9解(1)0 x(43x)

17、13(3x)(43x)133x43x2243，(4分) 当且仅当3x43x，即x23时，“”成立 当x23时，x(43x)的最大值为43.(6分) (2)已知点(x，y)在直线x2y3上移动，x2y3. 2x4y22x4y22x2y22342. (10分) 当且仅当2x4y，x2y3，即x32，y34时，“”成立 当x32，y34时，2x4y的最小值为42. (12分) 10解(1)y920vv23v1600920v1600v3 9202v1600v39208311.08.(4分) 当v1600v，即v40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分) (2)据题意有920vv23v160010，(8分) 化简得v289v16000，即(v25)(v64)0， 所以25v64. 所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内 (12分) 11解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的