第1章_命题逻辑

1、第1章 命题逻辑1.1第7页1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。否命题：不是大连的每条街道都临海。（2）每一个素数都是奇数。否命题： 并非每一个素数都是奇数。2. 对下述命题用中文写出语句：（1）如果非P与R，那么Q。（2）Q并且R。4. 给出命题，我们把、分别称为命题的逆命题、反命题、逆反命题。（1）如果天不下雨，我将去公园。 解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园； 逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。（2）仅当你去我才逗留。解：（此题注意：p仅当q翻译成） 逆命题：如果你去，那么我逗留。 反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反

2、命题：如果你没去，那么我不逗留。（3）如果n是大于2的正整数，那么方程无整数解。解：逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。 反命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。 逆反命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。7. 给P和Q指派真值T，给R和S指派真值F，求出下列命题的真值。（1）=（2）=（3）=（4）=8 构成下列公式的真值表：（1）PQFFFTFTTFTFFTTTTT（2）PQRFFFTFFFFTTFFFTFTFFFTTFTFTFFFTFTFTFTFTTFFTFTTTFTF（3）PQRFFFTFFFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFFFTTTFTFF

3、TTTFTTTTTTTFF（4）PQRFFFTTFFTFFFTFTTFTTFFTFFTTTFTFFTTFFTTTTFF9. 使用真值表证明：如果为，那么和都是，反之亦然。证明：PQFFTTTFTFTFTFFFTTTTTT由上表可知：当为时，和都是；和为时，为。故命题得证。10. 使用真值表证明：对于和的所有值，与有同样的真值。PQFFTTFTTTTFFFTTTT11. 一个有两个运算对象的逻辑运算符，如果颠倒其运算对象的次序，产生一逻辑等价命题，则称此逻辑运算符是可交换的。（1）确定所给出的逻辑运算符哪些是可交换的：，。（2）用真值表证明你的判断。解：（1），是可交换的。（2）真值表如下：PQ

4、FFFFFFTTTTFTFFTTTFFFTFFFTTFTFFTTTTTTTTTT12.设是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果和逻辑等价，那么运算符是可结合的。（1）确定逻辑运算符，哪些是可结合的？（2）用真值表证明你的判断。解：（1）是可结合的。 （2）真值表如下：PQRFFFFFFTFFTFTTTFTFFTFTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTTPQRFFFFFTTFFTFTTTFTFFTTTFTTFTTFTFFFTTTTFTFTTFTTFFTFFTTTTTTT13. 令表示命题“苹果是添的”，表示命题“苹果是红的”，表示命题“我买苹果”。试将下列命题符号化

5、：（1）如果苹果甜而红，那么我买苹果。（2）苹果不是甜的。（3）我没买苹果，因为苹果不红也不甜。解：（1）（2）（3）14解：如何我问你是你是不是总说谎的，你会说是吗？ 回答不是的都是说实话的，回答是的都是说谎的。1.2第15页1. 指出下面命题公式哪些是重言式、永假式或可满足式。解：（1）重言式（2）永假式（3）重言式（4）重言式 （5）重言式（6）重言式 = （7）重言式 =（8）重言式=（9）重言式 =（10）可满足式=，当为真时公式为真，为假时公式为假。故为可满足式。（11）重言式（12）重言式 （13）可满足式 的真值表如下：PQFFTTTFTTFFTFFFTTTTTT（14）可满足

6、式= 当或有一个为真时公式为真；当和均为假时，若和真值相同时，公式为真；真值不同时，公式为假。故公式是可满足式。2. 写出与下面给出的公式等价并且仅含有联接词与的最简公式。（1）（2）（3）（4）（5）3. 写出与下面的公式等价并且仅含联结词和的最简公式。（1）（2）（3）4. 使用常用恒等式证明下列各式，并给出下列各式的对偶式。（1）证明： 对偶式：（2）证明：对偶式：（3）证明：对偶式：5. 试证明下列合式公式是永真式。（1）证明：（2）证明：（3）证明：（4）证明：6. 证明下列蕴含式。（1）证明：（2）证明：（3）证明：（4）证明：（5）证明：（6）证明：7. 对一个重言式使用代入规则

7、后仍为一个重言式，对一个可满足式和一个矛盾式，使用代入规则后，结果如何？对重言式、可满足式和矛盾式，使用替换规则后，结果如何？解：对于代入规则：（1）如果是可满足式，使用代入规则后可能是重言式、可满足式或矛盾式。如：可满足式，将分别替换为，分别得到重言式和可满足式，对于可满足式，将替换为得到矛盾式。（2）如果是矛盾式，使用代入规则后仍然是矛盾式。设是矛盾式，则是重言式。而对于重言式使用代入规则后仍为重言式，即是重言式，故是矛盾式。对于替换规则：由于替换规则是一种对子公式逻辑上等价的替换，故对于重言式、可满足式和矛盾式使用替换规则后其真值不变。8. 求出下列各式的代入实例。（1）；用代，用代。解

8、：（2）；用代，用代解：9证明下列等价式：（1）证明： 因此，得证。1.3第22页1.求下列各式的主合取范式。（1） （2）（3）2.求下列公式的主析取范式和主合取范式：（1）合取范式：析取范式：（2）合取范式：析取范式：（3）合取范式：析取范式：（4）析取范式：合取范式：1.4第27页1.试用真值表法证明：不是,和的有效结论。解：构造真值表如下：A B C D E0 0 0 0 0111000 0 0 0 1110100 0 0 1 0111000 0 0 1 1110100 0 1 0 0110000 0 1 0 1111100 0 1 1 0100000 0 1 1 1101100 1

9、0 0 0001000 1 0 0 1000100 1 0 1 0001000 1 0 1 1000100 1 1 0 0000000 1 1 0 1001100 1 1 1 0010000 1 1 1 1011101 0 0 0 0010101 0 0 0 1010111 0 0 1 0010101 0 0 1 1010111 0 1 0 0011101 0 1 0 1011111 0 1 1 0001101 0 1 1 1001111 1 0 0 0100101 1 0 0 1100111 1 0 1 0100101 1 0 1 1100111 1 1 0 0101101 1 1 0 11

10、01111 1 1 1 0111101 1 1 1 111111第6，31行前提取值均为1时，结论为0。故命题得证。2.，和是前提。在下列情况下，试确定结论C是否有效（可以使用真值表法证明。）（1）证明：真值表如下：P Q0 0110 1111 0001 111第1，2，4行当前提取值为1时，结论都为1。故结论C是有效的。（2）证明：1（1）P规则1（2）T规则，（1），3（3）P规则1，3（4）T规则，（2），（3），5（5）P规则1，3，5（6）T规则，（4），（5），结论C是有效结论。（3）（4）证明：1（1）P规则（附加前提）2（2）P规则1，2（3）T规则，（1），（2），4（4）P

11、规则1，2，4（5）T规则，（3），（4），1，2，4（6）规则，（1），（5）3.不构成真值表证明：不是、和的有效结论。证明：（1） P规则 （2） P规则 （3） T规则，(1)(2) （4） P规则 （5） T规则,(1)(4) （6） T规则(5) （7） T规则(3) （8） T规则(6)(7) （9） T规则(8)因此，是题目的有效结论，不是。4.使用推理的方法证明：是和的有效结论。证明：1（1）P规则1（2）T规则，（1），1（3）T规则，（2），1（4）T规则，（3），1（5）T规则，（1），1（6）T规则，（5），1（7）T规则，（6），1（8）T规则，（4），（7），9（9

12、）P规则1，9（10）T规则，（8），（9），5.不构成真值表证明下列命题公式不能同时全为真。（1），证明：1（1）P规则2（2）P规则1，2（3）T规则，（1），（2），4（4）P规则1，2，4（5）T规则，（3），（4），6（6）P规则1，2，4，6（7）T规则，（5），（6），8（8）P规则(1，2，4，6，8)（9）T规则，（7），（8），推出结论与前提矛盾，因此命题公式不能同时为真。（2），证明：1（1）P规则2（2）P规则1，2（3）T规则，（1），（2），4（4）P规则1，2，4（5）T规则，（3），（4），推出的结论与命题公式矛盾，因此命题公式不能同时为真。6. ，和是前提，根

13、据推理规则断定，在下列情况下是否是有效结论。（1） 证明：1（1）P规则（假设前提）2（2）P规则1，2（3）T规则，（1），（2），4（4）P规则1，2，4（5）T规则，（3），（4），6（6）P规则1，2，4，6（7）T规则，（5），（6），1，2，4，6（8）T规则，（1），（7），1，2，4，6（9）F规则，（1），（8）因此是有效结论。（2）证明：因为，再由前提，得到、的值任意，即、的值任意。因此不是有效结论。7.证明下列结论的有效性。（1），证明：（1）P规则（2）P规则（3）T规则，（1），（2），（4）P规则（5）T规则，（4），（6）T规则，（3），（5），（2），证明：（1

14、） P规则 （2） P规则 （3） T规则（1）（2） （4） P规则 （5） T规则（3）（4） （6） T规则（5）8.导出下列结论（如果需要，就是用规则）（1）证明： （1） P P规则（假设前提） （2） P规则 （3） Q T规则（1）（2） （4） P规则 （5） R T规则（3）（4） （6） P规则 （7） S T规则（5）（6） （8） CP规则（1）（7）（2）证明： （1） P P规则（假设前提） （2） P规则 （3） Q T规则（1）（2） （4） T规则（1）（3） （5） CP规则（1）（4）（3）证明： （1） P规则（假设前提） （2） P T规则（1） （3） Q T规则（1） （4） T规则（2）（3） （5） P规则 （6） R T规则（4）（5） （7） CP规则（1）（6）9.证明下列各式的有效性（如果需要，就使用间接证明法）。（1）证明： （1） P规则（假设前提） （2） P T规则（1） （3） P规则 （4） Q T规则（2）（3） （5） P规则 （6） T规则（4）（5） （7） P规则 （8） R T规则（6）（7） （9） P规则 （10） T规则（8）（9） （11） T规则（4）（10） （12） F规则（1）（11）（2）证明： （1） P规则（