第三章 立体的投影最新版本

1、.,第3章 立体的投影,3.2 平面与立体表面的交线截交线,3.3 两回转体表面的交线相贯线,3.1 基本体的投影及其表面取点,.,表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称为曲面立体。,几何体可分为平面立体和曲面立体两种。表面都是由平面围成的立体，称为平面立体。,立体表面由若干面围成的几何体。,基本几何体基本体,.,3.1 基本体的投影及其表面取点,.,平面立体：表面由若干多边形所围成的立体。 平面立体投影的绘制： 将组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其可见性，可见的棱线用粗实线表示，不可见的棱线画成虚线。 常用的平面立体：棱柱、棱锥。,立体表面取点： 已知立体表面上点的一个投影，求其余两个投

2、影。 常用的表面取点方法：积聚性法 辅助直线法,一、平面立体的投影及其表面取点,.,1、 棱柱,（1）棱柱的投影,由顶面和底面及六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,六棱柱的顶面和底面为水平面，水平投影反映实形，正面投影和侧面投影都积聚成直线段。,以正六棱柱为例,.,前、后两棱面是正平面，正面投影反映实形，水平投影和侧面投影积聚成直线段。,其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，并与正六边形的边线重合，在正面投影和侧面投影面上的投影为类似形（矩形）。,六棱柱的六条棱线均为铅垂线，在水平投影面上的投影积聚成一点，正面投影和侧面投影都互相平行且反映实长。,动画

3、演示,., 作图步骤：, 先用点画线画出水平投影的中心线，正面投影和侧面投影的对称线;,根据投影规律，再连接顶面和底面的对应顶点的正面投影和侧面投影，即为棱线,棱面的投影。, 最后检查清理底稿，按规定线型加深。, 画正六棱柱的水平投影（正六边形），根据正六棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影和侧面投影。,动画演示,.,点的可见性判断： 点所在表面的投影可见,点的投影也可见；若点所在表面的投影不可见，点的投影也不可见；若点所在表面的投影积聚成直线，点的投影认为可见。,a、确定点所在的平面并分析该平 面的投影特性； b、根据投影规律作出点的投影， 并判别可见性,（2）棱柱表面取点,动画演示,.,2.

4、 棱锥,(1) 棱锥的投影,由一个底面和三个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点 锥顶。,棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形，正面投影和侧面投影积聚成水平直线段 。,以正三棱锥为例,.,c,棱面SAC为侧垂面，侧面投影积聚成直线段,正面投影和水平投影为类似形。,另两个棱面（SAB,SBC)为一般位置平面，三投影均不反映实形。,.,( ),b, 作图步骤：, 画反映实形的底面的水平投影（等边三角形），再画ABC的正面投影和侧面投影，它们分别积聚成水平直线段；, 根据锥高再画顶点S的三面投影；, 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连，即得到三棱锥的投影图。, 最后检查清

5、理底稿，按规定线型加深。,（2） 棱锥表面取点,一般采用辅助线法。,判别可见性,动画演示,.,二、曲面立体及其表面取点,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。 曲面可看作由一条运动的线按一定的规律运动所形成，运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。,.,1. 圆 柱,圆柱由圆柱面、顶面、底面所围成。圆柱面可看作直线绕与它相平行的轴线旋转而成。,.,（1） 圆柱的投影,直线AA1称为母线,母线在廻转面的任一位置称为素线 。圆柱面上的素线都是平行于轴线的直线。,利用投影的积聚性,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在

6、另两个视图上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。,轮廓素线的投影与曲面可见性的判断,（2） 圆柱面上取点,.,圆柱表面取点,( ),.,2. 圆 锥,圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可看作直线绕与它相交的轴线旋转而成。,.,S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,（1） 圆锥体的投影,轮廓素线的投影与曲面可见性的判断,（2） 圆锥面上取点,辅助素线法,辅助圆法,s,过锥顶S和点K作一辅助素线。,圆的半径？,(N),过N点作一平行于底面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过n 且平行底面的直线段。,该圆锥俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投

7、影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,.,3. 球,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,.,三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。,（1）球的投影,轮廓线的投影与曲面可见性的判断,（2） 球表面取点,辅助圆法,圆的半径？,上下分界圆,前后分界圆,左右分界圆,动画演示,., 小结 ,重点掌握：,基本体三面投影的画法及表面取点的方法。, 平面体表面取点，利用平面上找点的方法。, 圆柱体表面取点，利用投影的积聚性。, 圆锥体表面取点，用辅助线法和辅助圆法。, 球体表面取点，用辅助圆法。,.,3.2 截切体,3.2.1 截切平

8、面立体的三视图,3.2.2 截切曲面立体的三视图,.,截交线的概念,平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲线和直线组成的平面图形或多边形。,截平面,截交线,.,截交线的性质,截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。 截交线一般是封闭的平面图 形。 截交线形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。,.,3.2.1 截切平面立体的三视图,由于

9、平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。,.,例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。,s,a,b,c,a,s,b,c,s ,a(c),b,B,A,1,2,3,1,2,3,1,2,3,.,例2 求带切口三棱锥的投影,解题步骤 1 分析 截交线的正面投影已知，水平投影和侧面投影未知； 2 求出截交线上的折点、 、 ； 3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 整理轮廓线。,.,例3 求立体截切后的投影,1,6,.,3.2.2 截切曲面立体的三视图,曲面

10、立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直线所围成的平面图形或多边形。,.,作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。,特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区分曲 线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，

11、如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。,.,1. 截切圆柱,.,例 求斜切圆柱的截交线,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 求出若干个一般点、 、； 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,4,.,例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。,作图步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的点、 、 ； 3 顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,.,例6 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。,作图步骤 1 分析 截交线的水平投影为圆的一部

12、分，侧面投影为矩形； 2 求出截交线上的点、； 3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性； 整理轮廓线。,.,2. 截切圆锥,过锥顶,两相交直线,圆,椭圆,抛物线,双曲线,.,解题步骤,例1 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。,1 分析 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；,2 求出截交线上的特殊点；,3 求出一般点；,光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；,5 整理轮廓线。,.,例2 求正平面与圆锥的截交线。,解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形； 2 求出截交线上的特殊点、； 3 求出一般点 ； 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，

13、并且判别可见性； 5 整理轮廓线。,1,1,1”,2”(3”),4”(5”),4,5,2,3,2,4,5,3,.,例3 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。,1,1”,2”,3”,2,3,5(6),5”,6”,6,5,”,.,3. 截切球,平面与圆球相交,截交线为 圆,.,例1 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。,.,例2 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。,.,例题6 想象出物体及其侧面投影的形状,.,分析并想象出圆球穿孔后的投影,.,3.3 相贯体,3.3.1 利用积聚性法求相贯线,3.3.2 利用辅助平面法求相贯线,3.3.3 相贯线特殊情况,.,相贯线的性质,立体与立体相交在

14、两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。,.,相贯线的性质,3)形状相贯线的形状决定于回转体的形状、大小以及两回转体之间的相对位置（一般情况下相贯线是空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线）。,2)封闭性由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一般是封闭的线框。,1)共有性相贯线是两相交回转体表面的共有线和分界线，线上所有点都是两相交回转体表面的共有点。是求相贯线投影的作图依据。,.,相贯线性质图例,.,3.3.1

15、利用积聚性法求相贯线,当相贯的两立体表面的某一投影具有积聚性时，相贯线的一个投影必积聚在这个投影上，相贯线的其余投影可按着曲面立体表面取点的方法求出,这种求作相贯线的方法又称为表面取点法。,.,例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。,分 析,求特殊点,求一般点,判别可见性,完成相贯线,.,首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况（平面曲线或直线）。 分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。 根据两立体的相对位置分析相贯线的对称情况 分析相贯线哪个 投影是已知的，哪个投影是要求作的。,分 析

16、,.,求特殊点,确定相贯线投影范围和变化趋势的点称为特殊点 包括： 相贯线极限位置点 最左、最右、最前、最后、 最高、最低各点； 曲面立体转向轮廓线上的点 两曲面立体上下、左右、前后转向轮廓线上的各个点。,.,求相贯线的一般步骤,（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和相对位置，然后分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况分析两曲面立体对投影面的相对位置，两曲面立体的投影是否有积聚性。分析相贯线哪个投影已知的，哪个投影是要求作的。 （2）求特殊点 相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓转向点、曲线特征点和结合点四种。 （）求一般点 根据需要求出若干个一般点。 （4）判别可见性 当相贯线

17、上的点同时处于两立体表面的可见部分时这些点才可见，否则不可见。 （）完成相贯线 顺次光滑连接各点，作出相贯线。补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。,.,圆柱表面交线的三种情况,两外表面相交,外表面与内表面相交,两内表面相交,.,两正交圆柱相贯线的变化趋势（一）,.,两正交圆柱相贯线的变化趋势（二）,.,例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。,a“(b“),a,b,c“,c,a,b,c,d,d,d,e“(f “),e,f,e,f,g,h,g“(h“),g,h,.,3.3.2 利用辅助平面法求相贯线,假想用一个平面在相贯两立体的相贯区域内去截切相贯的两立体

18、，分别在两立体表面上产生截交线，两截交线交点就是两立体表面与辅助平面三者的共有点，即相贯线上的点。这个假想的平面是辅助平面。作出一系列的辅助平面，求出相贯线上一系列点的投影，依次光滑连接，即得相贯线的投影。,.,选择辅助平面的原则： (1)所选辅助平面与两曲面立体表面的辅助截交线的投影应是简单易画的直线或圆。常选用特殊位置平面作为辅助面。 (2)辅助平面应位于两曲面立体的共有区域内，否则得不到共有点。,.,1,1,1,2,2,2,例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。,.,例 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。,b,QV,QW,PV,PW,RV,RW,.,3.3. 相贯线的特殊情况,相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面曲线或直线。,.,两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆,.,外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线椭圆,.,两圆锥共锥顶相贯线为相交两直线,两圆柱轴线平行相贯线为平行两直线,.,例5 求作物体相贯