材料力学第8章组合变形.ppt

1、,第8章 组 合 变 形,8.1引言 8.2拉（压）弯组合变形 8.3弯曲与扭转的组合,8.1引言1.组合变形的概念与工程实例在前面章节中，主要研究了构件在几种基本变形下的强度及刚度问题。但在工程实际中，杆件的受力变形情况种类很多，有不少构件同时发生两种或两种以上基本变形。例如，图8-1是工程中常见的钻杆简图，钻杆受扭矩作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向拉伸变形，又有扭转变形。又如，图8-2是机械设备中的传动轴，传动轮上的作用力使传动轴既有扭转变形，又有弯曲变形。杆件同时发生两种或两种以上基本变形的情形称为组合变形。,图81,图82,2.叠加原理及其适用范围 在线弹性

2、、小变形条件下，构件的内力、应力和变形等均与外力成线性关系。可以认为，载荷的作用是独立的，每一载荷所引起的内力、应力、变形都不受其他载荷的影响。几个载荷同时作用在杆件上所产生的应力、变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力、变形之和，此即叠加原理。当杆件在复杂载荷作用下同时发生几种基本变形时，根据静力等效原则，先将外力进行分解、简化、分组，使简化后的每一组载荷只对应着一种基本变形，再分别计算每一种基本变形下产生的内力、应力和变形，然后将所得结果叠加，便可得到组合变形时构件的内力、应力和变形，其结果与各力的加载次序无关。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力代数相加；如果构件危险点处于复杂应

3、力状态，则需要按照强度理论进行计算。本章主要讨论拉（压）弯组合变形和弯曲与扭转组合变形的强度计算问题。,8.2拉（压）弯组合变形8.2.1杆件同时承受横向力与轴向力作用如果杆件上既有垂直于轴线的横向载荷，又有和轴线重合的轴向载荷，那么杆件将发生轴向拉伸（或轴向压缩）与弯曲的组合变形，简称为拉（压）弯组合变形。图83所示为在横向载荷和轴向载荷共同作用下的构件，现以此构件为例说明轴向拉伸（压缩）与弯曲组合变形时的强度计算方法。,图83,1.内力分析拉伸（压缩）与弯曲组合的杆件，任意横截面x上的内力有轴力FN(x)、剪力FS(x)和弯矩Mz(x)，利用截面法（见图84(a)）可以求得它们的绝对值分别

4、为,图84,2.应力分析与轴力FN(x)对应的拉伸正应力为,拉应力沿截面高度均匀分布，其实际方向如图84 (b)所示。 与弯矩Mz(x)对应的弯曲正应力为,弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，其实际方向如图84(c)所示。,与剪力FS（x)对应的切应力忽略不计。将以上两项正应力叠加后就得到横截面上任意点的总应力为,（81）,式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正应力分布如图84(d)所示。,3.强度分析 梁发生弯曲变形时固定端处弯矩最大，固定端处为弯曲的危险截面；由于轴力是常量，每个横截面情况相同，因此该构件的危险面为固定端截面。根据拉伸与弯曲应力的实际分布可知，截面的上边缘有最

5、大正应力，其值为,该截面的下边缘有最小正应力，其值为,按上式所得的min可正可负，取决于等式右边两项数值的大小，当max时，横截面上将没有压应力。,由此可见，危险截面上危险点处于单向应力状态。对于塑性材料制成的梁，材料的拉、压强度相等。这些点中应力绝对值最大的点是危险点，其强度条件为,（82）,对于脆性材料制成的梁，材料的拉、压强度不相等。如最小正应力为压应力，应分别建立强度条件,（83）,例81由BC和BD杆构成的简易起重结构如图85(a)所示。BC为No20a号工字钢，长度L=2.8m，许用应力=140MPa，作用在BC中点的载荷F=40kN，梁的自重不计。试校核横梁BC的强度。 解 (1

6、)载荷分析：以横梁BC为研究对象，其受力如图8-5b所示。作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将B点的作用力分解为FBx、FBy。可以将作用在BC梁上的力分为两组：F、FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、FCx使梁发生压缩变形。故梁BC发生压弯组合变形。,由静平衡方程可求得,图85,(2）内力分析。作BC梁的轴力图和弯矩图（见图85(c)、(d)）。横梁的轴力为：FN=-FBx=-34.6kN，在BC梁的中间J截面上弯矩取最大值，其值为Mmax=Fl/4=28kNm。(3）判断危险截面及危险点。由于等截面梁任一截面上的轴力相等，而BC梁发生弯曲变形时，最大

7、弯矩在J截面上，故该截面为梁的危险截面。轴力在危险截面上引起的应力均布，弯矩在危险截面上引起的正应力呈线性分布，危险截面的上下边缘处各点均为危险点。又因为材料的抗拉、抗压能力相同，所以此梁的危险点在应力绝对值最大的点，即J截面上边缘各点均为危险点。,(4）强度计算。由型钢表查得No20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2=35.510-4m2，抗弯截面系数Wz=237cm3=23710-6m3。危险截面J的上边缘各点的应力为,故BC梁满足正应力强度条件。,8.2.2偏心拉（压）与杆的轴线平行但不重合的载荷称为偏心载荷，由偏心载荷引起的变形称为偏心拉伸或偏心压缩，偏心拉（压）本质上是轴向拉（压

8、）与弯曲的组合变形。现以矩形截面直杆为例，讨论偏心拉压的强度问题。图86(a)所示的立柱，集中力F与轴线平行但不重合，作用点距形心主轴y、z的垂直距离分别用ez、ey表示，称为偏心距。当ey0,ez0时，称为双向偏心压缩；而当ey、ez之一为零时，则称为单向偏心压缩。,图86,若将力F向截面形心简化，可以得到等效力系：轴向力FN及F对y、z轴的附加力偶矩My、Mz（见图86(a)）。因此，横截面上的内力有轴力FN 、弯矩My和弯矩Mz，数值分别为,可见立柱在偏心压力F的作用下将发生压弯组合变形。 由偏心载荷引起的杆件各横截面上的内力是相同的，与内力对应的应力可以分别按基本变形应力计算公式求得,

9、根据叠加原理，并注意到Iz=Ai2z，Iy=Ai2y，可得任意横截面上任一点K（y，z）处的正应力,（84）,式中iy、iz分别为截面对y、z轴的惯性半径。,为了确定危险点的位置，先要确定中性轴的位置。假设中性轴上各点的坐标为y0和z0，则由中性轴上各点的正应力均为零的特点，把y0和z0代入式（84）可得,（85）,偏心压（拉）杆任一横截面均为危险截面，危险点位于距中性轴最远点处。对矩形截面，不难看出危险点为图86(b)中的A点和C点，危险点的应力状态为单向应力状态。若杆用塑性材料制成，则其强度条件为,（86）,若杆用脆性材料制成，当杆件横截面上出现拉应力时，则应分别建立拉压强度条件:,（87

10、）,（88）,在计算时，上两式中的弯矩以绝对值代入。应该指出，对于偏心压杆，只有粗短杆才能用上式进行强度计算，而对于细长杆有可能会发生失稳现象，应对其采用压杆稳定理论，进行稳定性分析。另外，上述公式是根据偏心压缩推导出来的，对于偏心拉伸，公式不能直接利用，需要做适当修改。,*8.2.3截面核心在机械设备和工程结构中，许多承压构件都是用脆性材料制成的。由于脆性材料的抗压能力远远大于其抗拉能力，因此应尽量避免在横截面上出现拉应力。由中性轴方程（85）可知，偏心距越小，中性轴离截面形心越远。当中性轴位于截面边缘并与其相切（见图87(b)）时,横截面上只有压应力而无拉应力。因此，要使横截面上只存在压应

11、力，必须对偏心压力作用点的（ey,ez)位置加以限制，使其位于某一范围内，此范围称之为截面核心。,图87(c)为一受压杆件的横截面（任意形状），若中性轴1对应的压力点为，中性轴2对应的压力点为，中性轴3对应的压力点为所有这些压力点、形成一封闭区域，当偏心压力位于该区域内时，横截面上各点处均受压，此封闭区域（图87(c)中的阴影区）即为截面核心。,图87,例82图88所示的钻床在钻孔时受到F=15kN的力作用，已知偏心距e=0.4m，钻床立柱直径d=125mm，铸铁立柱的许用拉应力为t=35MPa，许用压应力为c=120MPa。试校核该立柱的强度。 解(1）外力分析。将作用在钻头上的力F平移到立

12、柱轴线，同时得到一个附加力偶，附加力偶之矩为Me=Fe，力F使立柱产生轴向拉伸，附加力偶M使立柱产生平面弯曲。所以，立柱的变形为拉弯组合变形。(2）内力分析。轴向拉伸的轴力为FN=F=15kN，附加力偶矩即为弯矩，其值为M=Fe=6kNm。,图88,(3）危险点判断。由于轴向拉力在任一横截面上任意一点引起的应力相等；作用在立柱任一横截面的弯矩相等，弯矩在左侧引起最大压应力，在右侧引起最大拉应力。因此危险点为立柱左、右侧上的任意一点。(4）应力分析与强度校核。轴向拉伸引起的正应力值为,由弯曲引起的正应力最大值为,应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为,最大压应力发生在立柱的左侧，其值为,

13、所以，钻床立柱满足强度条件。 由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度，就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。,*例83短柱的截面为矩形，尺寸为lh（见图89），试确定截面核心。 解对称轴y、z即为截面图形的形心主惯性轴，且,设中性轴与AB边重合，则中性轴在坐标轴上的截距为,代入中性轴方程（85）得到偏心压力F的作用点a的坐标为,图89,8.3弯曲与扭转的组合,杆件在扭转外力偶矩和横向力共同作用时，将发生弯曲与扭转的组合变形。轴受纯扭转的情况是很少见的，一般来说，轴在受到扭转作用的同时还受到弯曲作用，例如转轴、曲柄轴均是如此。对这类轴就必

14、须按弯扭组合变形进行强度计算。 现以图810(a)所示曲拐ABC为例，介绍弯曲与扭转组合时的强度计算方法。,图810,现以图810(a)所示曲拐ABC为例，介绍弯曲与扭转组合时的强度计算方法。设AB为圆截面杆，直径为d，BC杆与AB杆成直角，曲拐ABC位于水平面内，C点作用铅垂力F。将F向AB杆B端截面形心简化，得到横向力F和附加力偶矩Me（见图810 (b)）。横向力F使轴产生弯曲变形，附加力偶矩Me使轴产生扭转变形。对一般的轴，横向力引起的切应力影响很小，可以忽略不计。这样，AB杆的变形就是弯曲与扭转的组合变形。,AB杆的弯矩图和扭矩图如图810(c)、(d)所示，显然，固定端A截面为危险

15、截面，A截面的弯矩和扭矩的绝对值分别为,A截面的扭转切应力和弯曲正应力的分布图如图811(a)所示。在危险截面上由于扭矩所产生的切应力，沿半径按线性规律变化，在该截面边缘各点上扭转切应力最大，其值为,（a）,在危险截面上，由于弯矩所产生的正应力沿截面高度按线性规律变化，在该截面上、下边缘i和j两点的弯曲正应力最大，其值为,（b）,式（a）、（b）中分别是圆轴的抗弯截面模量和抗扭截面模量。,由以上分析可知，i、j两点处的扭转切应力和弯曲正应力均为最大。显然，危险点为截面铅垂直径两端的i点和j点，其单元体如图811(b)、(c)所示。危险点i和j都处于平面应力状态，必须利用强度理论建立强度条件。对

16、于由抗拉、抗压强度相同的塑性材料制成的轴，只要研究其中一点就行了。由平面应力状态主应力的计算公式计算出i点处的主应力为,（c）,求得主应力后，就可以按照不同的强度理论建立强度条件。对于由塑性材料制成的轴，应按第三或第四强度理论建立强度条件。如果按第三强度理论分析，强度条件为,将式（c）代入上式，得,（89）,将式（a）、（b）代入上式，并注意到圆截面的WP=2Wz，于是得出圆截面杆的弯扭组合变形下的第三强度理论强度条件为,（810）,如果按第四强度理论，其强度条件为,将式（c）代入上式，经简化后得,（811）,将（a）、（b）两式代入上式，得到圆截面杆弯扭组合变形下的第四强度理论强度条件为,（

17、812）,图811,例84一皮带轮轴如图812(a)所示。皮带拉力F1=8kN，F2=4kN，皮带轮直径D=500mm，a=500mm。轴材料的许用应力=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 解(1）外力分析。将皮带轮上的拉力向AB轴的截面形心平移，可得轴的计算简图812(b)。C截面处的扭转力偶矩与右端的扭转外力偶矩相等，即mC=me，数值为,轴在横向力和扭转外力偶矩的共同作用下，将发生弯曲与扭转的组合变形。,图812,(2）内力分析，确定危险截面。轴的扭矩图和弯矩图如图812(c)、(d)所示，显然危险截面为皮带轮右侧C+截面，该截面的扭矩和弯矩分别为,(3）强度计算。AB杆为弯扭组合下的圆截面杆件，可以直接使用第三强度理论的强度条件（812）式：,将代入上式，得,因此，轴的直径可取d=74mm。,例85图813(a)为一传动轴的示意图。C轮皮带处于水平位置，D轮皮带处于铅垂位置，各皮带的张力均为F=3900N；F=1500N，两轮的直径均为600mm，材料许用应力为=80MPa。试按第四强度理论确定实心轴的直径。 解(1）外力分析。将D轮上皮带张力向圆轴AC的轴线简化，得一合力Fz和一矩为MD的力偶，其数值分别为,同理，将C轮上皮带张力向轴线简化，得一合力Fx及矩为MC的力偶，且,Fx=5400N MC=720Nm,图813,(2）内力分析。作轴的扭矩图如图813