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文档简介

1、3 平面曲线的弧长与曲率,本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计,算公式.,一、平面曲线的弧长,定义2 设平面曲线 C 由参数方程,曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为,若 C 为一光滑,于是,证,因此,由第一章1习题6可知,于是,即,从而,因此当 f 在 a, b 上连续可微时,示,则 C 又可看作,注1 若曲线 C 由直角坐标方程,表示,则 C 亦可看作,注2 若曲线 C 由极坐标方程,由于,解,例1,例 2,解,解,段弧长.,例3,在光滑曲线 上, 弧段 与 的长度相差不,*二、平面曲线的曲率,曲率是刻划曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.,转过的角度 要

2、大得多,比动点从Q 移到 R 时切线.,到Q 时, 切线转过的角度,这反映动点沿曲线从P 移,设 表示曲线在点 处切线的倾角,表示动点由 P 沿曲线移至,时切线倾角的增量.若,为弧段 的平均曲率.如果存在有限极限,则称此极限 K 为曲线 C 在 P 处的曲率.,由于曲线光滑,故总有,可得,即,若曲线由 表示,则,例1 求椭圆 上曲率,解 由于,最大和最小的点.,因此椭圆在各点的曲率为,当 时, 在 处曲率最大,在,由例1可得,若 则各点处曲率相等, 为,处曲率最小,显然, 直线上各点处的曲率为 0.,设曲线上一点P处曲率 若过 P 作一个半径为,的圆, 使它在点 P 处与曲线有相同的切线,并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图).,在P 处的曲率圆.曲率圆,率圆的圆心称为曲率中心.,的半径称为曲率半径, 曲,我们把这个圆称为曲线,火车轨道从直道进入半径为 R 的,火车的向心加速度,以保证火车安全(使,道(用虚线表示),使得曲率由零连续地变到,圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨,例2 如图所示,对此曲线用曲率公式得:,缓冲曲线常用三次曲线,的曲率从 0 渐渐增加到接近于 从

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