全国高中数学联赛模拟试题(二)

1、全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、 已知集合，若 ，则a的所有取值是（A）1，1 （B）1，ABCDMNA1D1B1C1图1（C）1，2（D）1，4，2、 如图1，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AMBN那么， AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1异面以上4个结论中，不正确的结论的个数为（A）1（B）2（C）3（D）43、 用Sn与an分别表示区间内不含数字9的n位小数的和与个数则的值为（A）（B）（C）（D）4、 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数

2、共有（A）216个（B）252个（C）324个（D）432个5、 对一切实数x，所有的二次函数（ab）的值均为非负实数则的最大值是（A）（B）（C）3（D）26、 双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A）相交（B）相切（C）相离（D）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数，若ABC的3个内角A、B、C依次成等差数列，且，则的取值范围是 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点那么，PA2PB2取最小值时，直线l的斜率为 3、若ABC是钝角三角形，则arcc

3、os(sinA)arccos(sinB)arccos(sinC)的取值范围是 4、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是BCD、ABC的中心则直线MN于PQ的夹角的余弦值为 5、在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是 6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集ABC1,2,3,n则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 三、（20分）设p0，当p变化时，Cp：y22px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp求证：所有的点Bp在同一条直线上四、（20分）对于公差为d(d0)的等差数列

4、an，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m1，使a1md五、（20分）求最大的正数l，使得对任意实数a、b，均有第二试一、（50分）如图2，O切ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N求证：M是BC中点的充要条件是ONBCOBCADNM图2二、（50分）求出能表示为（a、b、cZ+）的所有正整数n三、（50分）在一个（n2）的方格表的每个方格内填入1或1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的求“成功”填法的总数参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DBDDAB二、填空题：1、

5、；2、；3、；4、；5、；6、7n三、证略四、证略五、令F=所有Fn的最小值为，因为Fn所以小于Fn的最小值即可第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9三、1种（每空填1）高中数学竞赛模拟试题一第一试一、选择题：本大题共有6个小题，每小题6分，共计36分。OH hV1 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(A) (B) (C) (D)2 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有( )(A)90种(B)180种(C)270种(D)540种3 椭圆1的焦点为F1和F2，点

6、P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的( )(A)7倍(B)5倍(C)4倍(D)3倍4 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆面积为4，那么这个球的半径为( )(A)4(B)2(C)2(D)5 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A)arccos(B)arcsin(C)arccos(D)arcsin6 在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足，那么a1的取值范围是( )(A)(1，)(B)(1，4)(C)(1，2)(D)(1，)二、填空题:本大题共6个小题，每小题9分，共54分，把答案填在题中横线上

7、.1. MN是双曲线1(a0，b0)的弦，P是MN的中点，O是坐标原点，斜率KMN和KOP均存在且不等于0，则两斜率的乘积KMNKOP_2. 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2bxc0的两个根，若x1是虚数，是实数，则S1的值为_3. 平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条不同的直线，这11个点可以构成的不同的三角形的个数为_4. 设数列an，当an取最大值时，n_5. 对四位整数，若存在素数p使abcdpk(kN)，abcdpp5，则这样的四位数最小为_6. 对于每一对实数x、y，函数f(t)满足f(x)f(y)f(xy)xy1，且f(1)1，则方程f(x)x的整数解为_

8、三、(满分20分)设曲线C的方程是yx3x，将C沿x轴、y轴正方向分别平行移动t、s单位长度后得到曲线C1，写出曲线C1的方程;证明曲线C与C1关于点A()对称.如果曲线C与C有且仅有一个公共点，证明:st且t0.四、(满分20分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145.求数列bn的通项bn;设数列an的通项anloga(1)(其中a0且a1)，记Sn是数列an的前n项和.试比较Sn与的大小，并证明你的结论.五、(满分20分)已知：0,0,+,求coscossin(+)的最大值sinsincos(+)的最大值六、证明：存在4条两两异面的直线，使得没有任何直线能与之同时相交。第二试

9、一、(50分)已知圆内接四边形ABCD中，BA与CD交于P，AD于BC交于Q，AC与BD交于M，求证圆心O是PQM的垂心。二、(50分)对满足 x01 x的数列，求使xk1的最小正整数k，这里a为小于1999得正整数。三、(50分)用两种颜色去染正九边形的顶点，每个顶点只染一种颜色。证明：在以这9点为顶点的所有三角形中，一定有两个全等的三角形，每一个的三个顶点都同颜色。参考答案一、BDABBD二、1. 2.999 3.160 4.92 5.1399 6.2，1三.解:曲线C的方程为 y(xt)3(xt)s证明:在曲线C上任取一点B(x，y)，设B(x，y)使B关于A的对称点，则有 (xx)/2

10、t/2 (yy)/2s/2 xtx ysy 代入曲线C的方程，得x和y满足方程: sy(tx)3(tx) 即 y(xt)3(xt)s 可知点B(x，y)在曲线C上. 反过来，同样可以证明，在曲线C上的点关于点A的对称点在曲线C上. 因此，曲线C与C关于点A对称.证明:因为曲线C与C有且仅有一个公共点，所以方程组 yx3x y(xt)3(xt)s有且仅有一组解，消去y，整理得 3tx23t2x(t3ts)0这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.所以t0并且其根的判别式 9t412t(t3ts)0解得 st3/4t且t0.四解:设数列bn得公差是d，由题意得 b11 10b110(101)d/2

11、145 解得 b11 d3 bn3n2.由bn3n2知， Snloga(11)loga(11/4)loga11/(3n2) loga(11)(11/4)11/(3n2) (logabn1)/3loga3 3n1 因此要比较Sn与(logabn1)/3的大小，可先比较(11)(11/4)11/(3n2)与3 3n1的大小. 取n1，有(11)3 311 取n2，有(11)(11/4)3 321 由此推测(11)(11/4)11/(3n2)3 3n1 (*) 若(*)式成立，则由对数函数性质可断定: 当a1时，Sn(logabn1)/3; 当0a1时，Sn(logabn1)/3.下面用数学归纳法证

12、明(*)式:(i)当n1时已验证(*)式成立.(ii)设nk(k1)时(*)式成立，即(11)(11/4)11/(3n2)loga3 3n1 (11)(11/4)11/(3k2)3 3k1 那么，当nk1时， (11)(11/4)11/(3k2)11/3(k1)2 3 3k111/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1) 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k43 (3k2)3(3k4)(3k1)2/(3k1)2 (9k4)/(3k1)20 3 3k1(3k2)/(3k1)33 3k433 3(k1)1 因而(11)(11/4)11/(3k2)11/(3k1)3 3(k1)1 这就是说

13、(*)式当nk1时也成立. 所以，(*)时对任何正整数n都成立. 由此证得:当a1时，Sn(logabn1)/3; 当0a1时，Sn(logabn1)/3高中数学联合竞赛模拟试题三第一试一、选择题（每小题6分，共计36分）1. 定义在(，2)(2，)上的函数f(x)的奇偶性为A.是奇函数不是偶函数 B.是偶函数不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数2. 把直线l沿y轴平移sincos(0)个单位，再沿x轴平移(0)个单位，所得直线与原直线重合，则原直线的斜率为A.不存在B.C.D.3. 从正方体的8个顶点中取出3个，使至少有两个顶点在同一条棱上，其取法数为A.44B.4

14、8C.50D.524. 对于函数f(x)，记f2(x)f(f(x)，f3f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，又记M为f1998(x)x实根的解集，则M为A.B.RC.单元素集合D.二元素集合5. 设递增正数列a1，a2，an是分母为60的最简真分数，则A.0B.8C.16D.306. 存在x1，x2，xn满足x10，且使0成立的充要条件是A.2|nB.4|nC.6|nD.8|n二、填空题(每小题9分，共计54分)1. 给定递推数列，若T1998是使得xT1xT21的最小正整数，则_.2. 在平面上有一个ABC，ABC105，AC2()，在平面的两侧各有一点S和T，满足SASBSC，TA

15、TBTC5，则ST_.3. 过双曲线x21的右焦点作直线L交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|的直线L恰有3条，则_.4. 已知函数f(x)、g(x)在R上有定义，且f(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)，若ff0，则gg(1)_.5. 正实数x，y，z满足，则z_.6. 一副桥牌有52张牌，将其排成一横行，任意两张A都不相邻的排列数为_.三、(20分)将一个1016的矩形铁皮，从四个角上各建取一个边长为x的正方形(0x5)，然后做成一个无盖的长方体容器.写出容器的容积y与x的函数关系式；求y的最大值，并求相应的x的值.四、(20分)对于、0，2)，记xsinsin，ycoscos，求

16、直角坐标系上点(x，y)的轨迹.五、(20分)求证：对于任给的正数a，必存在一个自然数N，使每一个大于N的自然数n都有惟一的自然数f(n)，满足.第二试ABECFB1B2O2C1C2O1DA1一、（50分）作两个不等圆O1，Q2的四条公切线，如图，点A为两外公切线的交点，点D为两内公切线的交点，点B，C，E，F是两类公切线的交点，记A1，B1，C1分别为BC，CA，AB的中点，若EF与A1B1交于B2，与A1C1交于C2，求证：B1，C1，C2，B2共圆.二、（50分）设有两组正数：0x1x2x3xn1，0y1y2y3yn，求证：三、（50分）设Sn1，2，n(n5)，取XSn，YSn(X，Y

17、无顺序)，若XY或YX，则称X，Y为一对“包含子集对”，否则称为“非包含子集对”，问Sn中是“包含子集对”多还是“非包含子集对”多？证明你的结论。高一数学竞赛培训题（一）集合与映射1设集合，已知判断与集合的关系2设函数集合（）证明：，并在时，求集合（）如果只为一个元素的集合，则3已知，求成立时，应满足的条件4已知集合，对定义为中所有元素之和，求全体的总和5设和是两个集合，又设集合满足，求集合 6设集合定义到的映射为，若都是中的元素，且满足，求7在中，有多少个正整数既不是的倍数，又不是的倍数？8设都是的真子集，证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数高一数学竞赛培训题（三）二次函数1设的两根为

18、，求满足的二次函数2已知二次函数满足：（）对一切的值有成立，求的解析式3设，当被除时，商为，余数为，求出所有的数对，使得4如果关于的二次方程的两根满足，求实数的取值范围5如果抛物线与连结两点的线段（包括两点）有两个相异的交点，求的取值范围6设实数满足，求的取值范围7设函数的最小值，求实数的取值范围8二次三项式的系数都是整数，而且在中有两个不同的根，求出使上述条件成立的最小正整数高一数学竞赛培训题（五）指、对函数1（）如果求；（）已知，求2已知3（）求函数的最小值（）如果函数的定义域是不等式的解集，求的最大和最小值4用表示不大于实数的最大整数，求方程的实数根5当实数在什么范围内时，方程有两个不相

19、等的实数根6已知，试求使方程有解的的取值范围7设，其中表示中的较小者，求的最大值8当为何值时，不等式有且只有一个解？全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、 方程6(5a2b2)5c2满足c20的正整数解(a,b,c)的个数是（A）1（B）3（C）4（D）52、 函数（xR，x1）的递增区间是（A）x2（B）x0或x2（C）x0（D）x或x3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为（A）xy30（B）x3y50（C）2xy50（D）x2y404、 若方程cos2xsin2

20、xa1在上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是（A）0a1（B）3a1（C）a1（D）0a15、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000项是（A）42（B）45（C）48（D）516、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1a2，a2a3，a3a4，a4a5的排列的个数是（A）8（B）10（C）14（D）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、x表示不大于x的最大整数，则方程x2x19x99的实数解x是 2、设a11，an+12ann2，则通项公式an 3、数799被2550除所得的余数是 4、在ABC中，A

21、，sinB，则cosC 5、设k、q是实数，使得关于x的方程x2(2k1)xk210的两个根为sinq和cosq，则q的取值范围是 6、数（nN）的个位数字是 三、 （20分）已知x、y、z都是非负实数，且xyz1求证：x(12x)(13x)y(12y)(13y)z(12z)(13z)0，并确定等号成立的条件四、 （20分）（1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2(a2002)xa0的两根皆为整数（2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3(a22a2)x2a22a0有三个整数根五、 （20分）试求正数r的最大值，使得点集T(x,y)|x、yR，且x2(y7)2r2一定被包含于另一个

22、点集S(x,y)|x、yR，且对任何qR，都有cos2qxcosqy0之中第二试一、（50分）设a、b、cR，bac，ac，z是复数，且z2(ac)zb0求证：的充分必要条件是(ac)24b0二、（50分）ACBDQKP如图，在ABC中，ABC和ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K求证：（1） AKBC；（2） ，其中表示ABC的面积三、（50分）给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,an满足下列n个方程：确定和式的值（写成关于n的最简式子）参考答案第一试一、选择题：题号123456

23、答案CCDABD二、填空题：1、或；2、72n-1n22n3；3、343；4、；5、q|q2npp或2np，nZ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）三、证略，等号成立的条件是或或或四、（1）a的可能取值有0，1336，1936，1960，2664，4000，2040；（2）a的可能取值有3，11，1，9五、rmax第二试一、证略（提示：直接解出，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AKBC；记AR与PQ交于点T，则ARATAQAP，对于AKAP，可证APKAKP）三、高中数学联合竞赛模拟

24、试题四第一试一、 选择题（每小题6分，共计36分）7. 满足(an1)(an11)0(n1，2，3，99)的数列共有A.1个B.3个C.2100个D.无穷多个8. 已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R，值域为1，)，则a的取值为A.区间1，3B.区间(，1)(3，)C.当x时，a；当x时，aD.集合1，3AABCBC9. 如图，五面体ABCABC中，ABAB，则AA，BB，CC共点的充要条件是A.BCBC且ACACB.BCBC且ACACC.AABB，且BAABAAD.面ABC与面ABC不平行10. 不同的四点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)在抛物线

25、yax2bxc(a0)上，且满足x1x4x2x3，则AD与BC的关系适合A.ADBCB.ADBCC.AD与BC相交但不垂直D.不能确定，与四个点的坐标具体取值有关11. 已知(1xi)4n2(xR，i21)展开式中的实部是关于x的多项式，则此多项式的系数和为A.(1)n22n1B.0C.22n1D.22n112. 在双曲线xyk(k0)的一支上任取三点A，B，C，则ABC的形状为A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定AABCBC二、 填空题(每小题9分，共计54分)_.7. 不等式的解集为_.8. 如图，直三棱柱ABCABC中，底面是等腰直角三角形，ACB90，AC1，AA，连

26、结AB，AC，则侧面ABC与面AAB所成角的正切值为_.9. 设f(x)在R上为增函数，若方程xf(x)m的解为p，则方程xf1(x)m的解是_.10. 已知1(m，n是正整数)，则n_(mod1999).11. 有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果随意在每一个匣子内放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能相继用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有_种.三、 (20分)若四面体相对棱中点的3条连线都相等，则这个四面体的对棱两两垂直。四、 (20分)已知直线l:ykxh(kh0)与x轴交于A点，与y轴交于B点，且与椭圆1(ab0)没有公共点，求证：|AB|ab

27、五、 (20分)已知a0，a1，a2，an为等差数列，f(x)(b0)求证：f(x)kf(1x)nka0f(1x)anf(x)第二试一、（50分）梯形ABCD中，CDAB，ABC与BAD均为锐角，连结对角线AC，BD，求证：必可把ABC分成四个互不重叠的三角形X1，X2，X3，X4，把ABD也分成四个互不重叠的三角形Y1，Y2，Y3，Y4，使得XiYi(i1，2，3，4)二、（50分）对于公差为d0的等差数列an，求证：数列中不同两项之和仍是这个数列中一项的充要条件是：存在m1，使a1md.三、（50分）将直线上abc个点中的a个点染成红色，b个点染成黄色，c个点染成蓝色，并使同色点互不相邻，

28、其染色方法的种数记为F(a，b，c).显然有F(1，1，1)6，F(a，b，ab2)0， 0 当|ab|1时 0 当a1时F(a，b，0) 1 当|ab|1时 F(a，0，0) 2 当|ab|0时 1 当a1时证明：对不全为1的正整数a，b，c，有递推式 F(a，b，c)F(a1，b1，c)F(a1，b，c1) F(a，b1，c1)2F(a1，b1，c1)利用上述递推关系求解下题：书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，5本不同的化学书，将它们全部竖起排成一行，如果要求同类的书本身互不相邻，一共有多少种不同的排法？高中数学联合竞赛模拟试题二第一试一、选择题（每小题6分，共计36分）13.

29、若a1，且axlogayaylogax，则正实数x，y之间的关系适合A.xyB.xyC.xyD.大小关系与a有关14. 若f(x)ax2bx(a，b为非零常数)存在两个不相等的虚数x1，x2，使得f(x1)f(x2)cR，则b24ac与零的关系适合A.b24ac0B.b24ac0C.b24ac0D.不确定，与x1，x2有关ABCDDCBA15. 长方体ABCDABCD中，AB2，AD，则AC的取值范围是A.(2，5)B.(3，2)C.(3，5)D.(2，2)16. 在平面直角坐标系中，若方程m(x2y22y1)(x2y3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是A.(0，1)B.(1，)C.(0，

30、5)D.(5，)17. 等比数列an中，q为公比，(0|q|1)，Sn为前n项和，S，则下列命题中正确的是A.SnS(1qn)B.anS(1qn)C.an单调减少趋于零D.Sn单调减少趋于S18. 若m，n是不大于6的非负整数，则C1表示不同的椭圆个数为A.PB.CC.CD.P二、填空题(每小题9分，共计54分)12. 已知集合Nx|a1x2a1是集合Nx|2x5的子集，则a的值域为_.ABCP2 . .P1P5 .P4. .P6 P313. 在ABC的三边上分别取点P1、P2、P3、P4、P5、，使得P1、P4、P7、在AC上，P2、P5、P8、在AB上，P3、P6、P9、在BC上，且AP1

31、AP2，BP2BP3，CP3CP4，AP4AP5，BP5BP6，（如图），则P2与P2000的距离为_.14. 通过点M(1，1)的直线与坐标轴所围成的三角形面积等于3，这样的直线有_条.15. 若自然数n与k之间的函数关系kf(n)由等式2(19929n1)k(k1)确定，则f(n)的表达式为_.16. 三位数大于400，小于500，且满足a3b3c3，则这样的三位数为_.17. 使得关于x的方程1999有正整数解的最小自然数n_.三、(20分)若双曲线y2x21与k有唯一的公共点，求k的所有可取值。四、(20分)批零兼营的文具店规定：凡购买铅笔51只以上（包括51只）按批发价结算，而购买铅

32、笔50只以下（包括50只）按零售价结算，批发价每购60只比零售价购60只降价1元。现有班长消亡同学来购买铅笔，若给全班每人买一只，则必须批发价结算，需用m元（m为整数）；但若多购买10只，则可按批发价结算，恰好也需用m元，问小王班上共有多少学生？五、(20分)定义在x0上的函数f(x)满足：存在a1，使f(a)0对任意的实数b，有f(xb)bf(x)，求证，对于x2，有不等式 f(x1)f(x1)f(x)2第二试一、（50分）在ABC中，AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的高，若AEAFBC，BDBFAC，CDCEAB，求证：ABC是正三角形。二、（50分）给出70个数集，每个集合中都

33、有60个元素：A11，2，3，59，60A22，3，4，60，61A1010，11，12，68，69A1111，12，13，69，70A1212，13，14，70，1A1313，14，15，1，2A6969，70，1，57，58A7070，1，2，58，59若从中取出k个，满足任意7个的交集非空，求k的最大值。三、（50分）已知函数f(x)sin()的周期大于1，并且当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个最大值和一个最小值，求证：k为无理数。2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第一天福州 1月12日 上午8001230 每题21分一、 实

34、数满足，求证：证明 只需对任意，证明不等式成立即可记，则，把上面这n个等式相加，并利用可得由Cauchy 不等式可得，所以 二、正整数（可以有相同的）使得两两不相等问：中最少有多少个不同的数？解 答案：中最少有46个互不相同的数由于45个互不相同的正整数两两比值至多有454411981个，故中互不相同的数大于45下面构造一个例子，说明46是可以取到的设为46个互不相同的素数，构造如下：，这2006个正整数满足要求所以中最少有46个互不相同的数三、正整数m，n，k满足：，证明不定方程和 中至少有一个有奇数解证明 首先我们证明如下一个引理：不定方程 或有奇数解，或有满足 的偶数解，其中k是整数引理

35、的证明 考虑如下表示 ，则共有个表示，因此存在整数，满足，且 ，这表明 ， 这里。由此可得，故，因为，所以，于是因为m为奇数，显然没有整数解（1） 若，则是方程满足的解（2） 若，则是方程满足的解（3） 若，则首先假设3m，若，且，则 是方程满足的解若，则 是方程满足的解现在假设，则公式和仍然给出方程的整数解若方程有偶数解，则因为的奇偶性不同，所以，都为奇数若，则是方程的一奇数解若，则是方程的一奇数解（4），则当5m时，若，或，则 是方程满足的解若，或，则 是方程满足的解当，则公式和仍然给出方程的整数解若方程有偶数解，则 ，可得 若 ，或者 ，或者，则是方程的一奇数解 若 ，或，则是方程的一奇数解引理证毕由引理，若方程没有奇数解，则它有一个满足的偶数解令，考虑二次方程， 则 ，这表明方程至少有一个整数根，即， 上式表明必为奇数将乘以4n后配方得，这表明方程有奇数解 2006中国数学奥林匹克（第二十一届全国中学生数学冬令营）第二天福州 1月13日 上午8001230 每题21分四、在直角三角形ABC中，ABC 的内切圆O分别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：证明 设AE = AF