高考数学 第五节 函数的奇偶性与周期性教材

1、第五节 函数的奇偶性与周期性教 材 面 面 观1函数的奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性答案f(x)f(x)f(x)f(x)2证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于_对称；(2)判定f(x)f(x)或f(x)f(x)，从而证得函数的奇偶性答案原点3奇偶函数的性质(1)奇函数图象关于_对称，偶函数图象关于_对称；(2)若奇函数f(x)在x0处有意义，则f

2、(0)_；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性_；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，且其单调性_(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(|x|)，反之也成立答案原点y轴0相同相反4周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有_(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数答案f(xT)f(x)考 点 串 串 讲1函数的奇偶性(1)定义如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，则称f(x)为偶函数(2)对函数奇偶性的理解需注意：从定义可以看出：若x是定义域内的点，则x也在

3、定义域内由x的任意性可知：奇偶函数的定义域必定关于原点对称换句话说，定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的必要不充分条件奇偶性是研究函数在整个定义域内函数值的对称问题，而单调性是研究函数在局部区间内的函数值的增减问题两者虽然角度不同但都是研究函数的形态f(x)若既是奇函数又是偶函数，则f(x)0，反过来，不一定成立如：f(x)0(1x2)就不是若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.2函数的周期性周期函数的定义一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周

4、期注意(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，若个别的x值满足f(xT)f(x)不能说T是f(x)的周期(2)在等式f(xT)f(x)中，应强调自变量x本身的常数才是周期，如f(T)f()，T不是周期，而应写成f(T)f(x2T)f()，2T才是f(x)的周期(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称之为最小正周期今后提到的三角函数的周期，如未特别指出，一般都是它的最小正周期(4)并不是所有的周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)C，所有的正数都是它的周期，但其中没有最小值，故常数函数没有最小正周期(5)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(kN)也是周期(6

5、)在周期函数yf(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则xkT(kZ且k0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界(7)设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)f(xa)，则函数yf(x)是周期函数，2a是它的一个周期3函数奇偶性的判断与证明(1)根据图象的对称性判断奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数图象关于y轴成轴对称图形反之，逆命题也都为真(2)根据定义判断或证明其步骤为：第一步：考查定义域是否关于原点对称若定义域不关于原点对

6、称，则可断言函数yf(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，则进行下面步骤第二步：判断f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立既可采用定义直接推理，也可以利用转化的方法，先判断f(x)f(x)0或f(x)f(x)0，究竟采用何种途径要具体问题具体分析第三步：作出结论若f(x)f(x)则f(x)为偶函数，若f(x)f(x)则为奇函数，若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)为既奇且偶的函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(3)函数奇偶性的变形应用对于高考中出现的要求证明函数奇偶性的试题，一般应该运用定义去证明，要注意灵活运用定义：当直接推证f(x)f

7、(x)，或f(x)f(x)遇到困难时，可以考虑证明等式f(x)f(x)0，或f(x)f(x)0恒成立，或者证明1f(x)0恒成立，前一个技巧常用于含对数运算的函数，后一技巧常用于含指数运算的函数4函数的奇偶性与图象的关系奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称既是奇函数又是偶函数的函数图象在x轴上利用奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求出它在另一侧的解析式，其关键是利用“x”进行转化奇函数f(x)若在原点处有定义，则f(0)0.当问题比较抽象时，不妨作出个图形，让图形来帮助“说话”5函数奇偶性的应用是本节的重点，主要表现在以下几个方面：(1)利用奇偶性求有关函数值；(2)利用奇偶性求有

8、关函数解析式；(3)利用奇偶性研究函数的其他性质常用结论：函数奇偶性满足下列性质：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称奇函数与奇函数复合还是奇函数，奇函数与偶函数复合是偶函数，偶函数与偶函数复合还是偶函数.典 例 对 对 碰题型一判断函数的奇偶性例1讨论下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)|xa|(常数aR)解析(1)，得f(x)的定义域为2,0)(0,2，关于原点对称，x30，原函数化简为f(x)(2x0或0x2)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数；

9、(2)f(x)的定义域为R(很容易看出需要分a0和a0讨论)，当a0时，f(x)|x|，f(x)f(x)，当a0时，f(x)为偶函数；当a0时，f(a)0，f(a)2|a|，f(a)f(a)2|a|0，f(x)不是奇函数，而f(a)f(a)2|a|0，f(x)不是偶函数当a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.变式迁移1判断函数f(x)lg(x)的奇偶性解析解法一：xR，f(x)lg(x)lglg(x)f(x)，故f(x)为奇函数解法二：f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg10，故f(x)为奇函数.题型二 函数的周期性例2定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周

10、期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能为()A0B1C3 D5解析f(x)为奇函数且周期为T，f(0)0，f(T)f(T)0.又f()f(T)f()f()，f()0，f()0，f(x)在T，T上至少有5个根答案D变式迁移2设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)等于()A0.5 B0.5C1.5 D1.5答案B解析f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)4是f(x)的一个周期故f(7.5)f(80.5)f(0.5)f(0.5)0.5.题型三 周期性的应用例3定义在R上的函数f(x)满足f(x)f

11、(x2)，且当x(1,1时，f(x)x22x.(1)求当x(3,5时，f(x)的解析式；(2)判断f在(3,5上的增减性并证明解析(1)f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数设x(3,5，则1x41，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8(3x5)(2)f(x)为增函数用定义证明：设3x1x25，则f(x2)f(x1)x6x28x6x18(x2x1)(x2x1)6(x2x1)(x2x1)(x1x26)，x1x2，x2x10，x1x263360，f(x2)f(x1)，f(x)为增函数点评本题抓住f(x)f(x2)这一特点，反复进行代数运算，将x2看做一

12、个变量，是解决本题的关键另外单调性的判断一般是用定义.变式迁移3定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,4时，f(x)x2，则()Af(sin)f(cos)Bf(sin)f(cos)Cf(sin1)f(cos1)Df(sin)f(cos)答案C解析本小题主要考查函数的性质与图象，考查考生综合运用所学知识解决数学问题的能力f(x)f(x2)，f(x)是周期函数且2为它的一个周期，又f(x)是偶函数，由f(x)在区间3,4上是增函数知，f(x)在区间1,0上是增函数，f(x)在区间0,1上是减函数0sincos1，f(sin)f(cos)；1sincos0，f(sin)f(cos

13、)；1sin1cos10，f(sin1)f(cos1)；1sincos0，f(sin)f(cos).题型四 利用函数的奇偶性求解析式例4已知定义在(，)上的函数f(x)的图象(如图)关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间分析由图象的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解但这里不能忘了求f(0)解析当x0时，x0，故f(x)(x)22(x)2x22x2.因函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数于是f(x)f(x)，进而f(x)(x22x2)x22x2.又当x0时，f(0)f(0)f(0)，从而f(0)0.因此f(

14、x)在(，)上的解析式是：f(x)由图知，增区间是(，1，1，)，减区间是1,0)，(0,1点评(1)不要漏求f(0)；(2)由于x0不在f(x)的减区间内，故减区间不能写成1,0，0,1，而且两个单调区间之间一般不用“”符号连接；(3)作图时注意实心点与虚点的正确应用实心点表示的点为图上的点，而虚点表示的点不在图上，应区分清楚.变式迁移4已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则在R上f(x)()Ax(x2) Bx(|x|2)C|x|(x2) D|x|(|x|2)答案B解析设x0，则x0.f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x.f(x)即f(x)x

15、(|x|2)故选B.题型五 奇偶性与周期性的关系例5已知：函数f(x)定义在R上，对任意x，yR，有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.(1)求证：f(0)1；(2)求证：yf(x)是偶函数；(3)若存在常数c，使f()0.求证：对于任意xR，有f(xc)f(x)；求证：yf(x)为周期函数分析由条件f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0.联想f(x)cosx，则有cos(xy)cos(xy)2cosxcosy.因cos0，cos(x)cosx，cos(x2)cosx.故猜想，yf(x)的周期T2c.证明(1)由题意，f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，令x

16、y0，则f(0)f(0)2f(0)f(0)，即f 2(0)f(0)f(0)0，f(0)1.(2)令x0，则f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，f(y)f(y)函数yf(x)是偶函数(3)以x，分别代换x，y，则f(xc)f(x)2f(x)f()f()0，f(xc)f(x)由知，f(x)f(xc)f(xc)cf(x2c)yf(x)是以2c为周期的周期函数.变式迁移5已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求f(0)的值；(2)证明：函数f(x)是周期函数；(3)若f(x)x(0x1)，求x1,3时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个

17、周期的图象解析(1)函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)，令x0，则f(0)f(0)，即2f(0)0，f(0)0.(2)证明：函数f(x)是奇函数，f(x)f(x)又f(x)关于直线x1对称，f(x)f(2x)由，得f(x)f(2x)，换x为x，则f(2x)f(x)，f(4x)f2(2x)f(2x)f(x)f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数(3)f(x)x,0x1，当1x0时，0x1，f(x)x.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，f(x)x.又f(0)0，当1x1时，f(x)x，当1x3时，f(x)x2，f(x)图象如图所示【教师备课资源】题型六 函数性质的综合问题例

18、6解答下述问题：(1)设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(，0)上单调递增，且满足f(a22a5)f(2a2a1)，求实数a的取值范围(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，求证：f(x)为奇函数且在定义域内单调递减解析(1)f(x)为R上的偶函数，f(a22a5)f(a22a5)f(a22a5)不等式等价于f(a22a5)f(2a2a1)，a22a5(a1)240，而2a2a12(a)20.f(x)在区间(，0)上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称f(x)在区间(0，)上单调递减，由f(a22a5)f(2a2a1)，得a22a52a2a1a

19、23a404a1，实数a的取值范围是(4,1)(2)令xy0得f(0)f(0)f(0)f(0)0，令yx，得f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数；任取实数x1、x2，设x1x2，x2x10，由条件知f(x2x1)0，而f(x)f(x)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x)在定义域R上为减函数.变式迁移6已知偶函数yf(x)在区间1,0上单调递增，且满足f(1x)f(1x)0，给出下列判断：f(5)0；f(x)在1,2上是减函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在x0处取得最大值；f(x)没有最小值其中正确的判断序号是_解析由f(1x)

20、f(1x)0可得f(1x)f(1x)，即得f(x2)f(x)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，从而得函数f(x)是周期为4的函数令x0，可由f(1x)f(1x)0得f(1)0，f(5)f(1)0.又由f(1x)f(1x)可知函数f(1x)为奇函数，点(1,0)为函数f(x)的对称中心，即得f(x)在1,2上与其在0,1上有相同的单调性，而已知偶函数yf(x)在区间1,0上单调递增，可得函数f(x)在1,2上是减函数由上面的分析可得函数f(x)在x0处取得最大值，在x2处取得最小值答案方 法 路 路 通1记住奇偶函数的如下五个性质，有利于解题(1)两个奇函数的和、差是奇函数，积、商

21、是偶函数；(2)两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；(3)一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；(4)奇函数图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性；(5)偶函数图象关于y轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反2函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域“函数的定义域关于原点对称”是它具有奇偶性的必要不充分条件3要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问题4解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则 f(0)0.5与周期性有关的结论(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的周期T|ab|.(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的周期T2|ab|.6对于多项式函数f(x)a0a1xa2x2anxn来说，若函数f(x)为偶函数，则其奇次项系数都为0，即a1a3a50.若函数f(x)为奇函数，则其偶次项系数都为0，即a0a2a40.正 误 题 题 辨例判断函数f(x)的奇偶性错解f(x)tanf(x)tan()tanf(x)f(x)为奇函数点击虽然有f(x)f(x)，但f(x)的定义域实际上不关于原点对称，所