北京市民大附中2016届高三数学一模试卷(文科)含解析

1、2016年北京市民大附中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1若全集为实数R，集合A=x|2x1|3，B=x|y=，则（RA）B=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2D2“lnx1”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3方程（k6）x2+ky2=k（k6）表示双曲线，且离心率为，则实数k的值为（）A4B6或2C6D24下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3

2、，p45下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）Ay=By=Cy=ex+exDy=x|x|6已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A4B3C4D37若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）8在棱长为1的正方形ABCDA1B1C1D1中，点F是棱CC1的中点，P是正方体表面上的一点，若D1PAF，则线段D1P长度的取值范围是（）A（0，）B（0，C（0，D（0，二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分

3、）9已知向量=（6，2），向量=（y，3），且，则y等于_10若某程序框图如图所示，则输出的S的值是_11一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为_个12已知等差数列an中，a3+a7=16，S10=85，则等差数列an公差为_13设O为坐标原点，给定一个点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示线段AB的长，则OAB中两边长的比值的最大值为_14设集合A=，函数f（x）=，若f（x0）A，则x0的取值范围是_；若x0A，且fA，则x0的取值范围是_三、解答题（共6小题）15已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（xR）（

4、1）若，求f（x）的最大值；（2）在ABC中，若AB，f（A）=f（B）=，求的值16调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人）100173y男生（人）x177z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（）求x的值；（）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（）已知y193，z193，肥胖学生中男生不少于女生的概率17如图，菱形ABCD的边长为6，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（）求证：OM平面ABD；（）求证：平面ABC平面MDO；（）求三棱锥

5、MABD的体积18已知函数f（x）=（1）求f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上的截距和取值范围19已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，长轴长为2，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B（1）求椭圆的方程；（2）若以AB为直径的圆恰过坐标原点O，证明：原点O到直线l的距离为定值20已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn（nN*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）设，求数列Tn的最大项的值与最小项的值2016年北京市民大附中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8

6、小题，每小题5分，满分40分）1若全集为实数R，集合A=x|2x1|3，B=x|y=，则（RA）B=（）Ax|1x2Bx|1x2Cx|1x2D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：2x13或2x13，解得：x2或x1，即A=x|x1或x2，RA=x|1x2，由B中y=，得到x10，即x1，B=x|x1，则（RA）B=x|1x2，故选：B2“lnx1”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；必要条件、充分条件与充

7、要条件的判断【分析】由于对数的真数要大于0，得xe，从而可判断由谁推出谁的问题【解答】解：lnx1xe，所以“lnx1”是“x1”的充分不必要条件，选择A3方程（k6）x2+ky2=k（k6）表示双曲线，且离心率为，则实数k的值为（）A4B6或2C6D2【考点】双曲线的简单性质【分析】将方程转化成+=1，根据双曲线的性质，根据焦点在x轴和y轴，由e=，代入即可求得k的值【解答】解：将方程转化成： +=1，若焦点在x轴上，即0k6，a=，c=，由e=，解得：k=2，若焦点在y轴上，即，无解，综上可知：k=2，故选：D4下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2

8、=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4【考点】复数的基本概念；命题的真假判断与应用【分析】由z=1i，知，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，由此能求出结果【解答】解：z=1i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，故选C5下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）Ay=By=Cy=ex+exDy=x|x|【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】对4个选项，分析其奇偶性、单调性，即可得出结论【解答】解：对于A，函数在（，0）、（0，+）上单调递增；对于B，函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于C，

9、函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于D，y=x|x|=在其定义域内为奇函数且为单调增函数故选：D6已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A4B3C4D3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+y，即y=x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值【解答】解：如图所示：z=x+y，即y=x+z首先做出直线l0：y=x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大因为B（，2），故z的

10、最大值为4故选：C7若双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆（x2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A（2，+）B（1，2）C（1，）D（，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求【解答】解：双曲线渐近线为bxay=0，与圆（x2）2+y2=2相交圆心到渐近线的距离小于半径，即b2a2，c2=a2+b22a2，e=e11e故选C8在棱长为1的正方形ABCDA1B1C1D1中，点F是棱CC1的中点，P是正方体表面上的一点，若D1PAF

11、，则线段D1P长度的取值范围是（）A（0，）B（0，C（0，D（0，【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由P是正方体表面上的一点，且D1PAF，可得点P在对角线BD及其B1D1上，利用正方体的性质即可得出【解答】解：由P是正方体表面上的一点，且D1PAF，可得点P在对角线BD及其B1D1上，当点P取点B时，线段D1P长度取得最大值D1B=，线段D1P长度的取值范围是故选：D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知向量=（6，2），向量=（y，3），且，则y等于9【考点】平面向量的坐标运算【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出y的值【解答】解：向量=（6，2），向量=（y

12、，3），且，2y63=0，解得y=9故答案为：910若某程序框图如图所示，则输出的S的值是24【考点】循环结构【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是原来的s乘以k得到的，故由此运算规律进行计算，经过4次运算后输出的结果即可【解答】解：由图知s的运算规则是：sks，故第一次进入循环体后s=1，k=2，第二次进入循环体后s=2，k=3，第三次进入循环体后s=6，k=4，第四次进入循环体后s=24，k=5，由于k=54，退出循环故该程序运行后输出的结果是：24故答案为：2411一个几何体的三视图为如图所示的三个直角三角形，则该几何体表面的直角三角形的个数为4个【考点】由三视图求面积、体积【分析

13、】由三视图可得：原几何体为三棱锥PABC：PA平面ABC，BC平面PAC即可得出答案【解答】解：由三视图可得：原几何体为三棱锥PABC：PA平面ABC，BC平面PAC因此表面4个三角形都为直角三角形故答案为：412已知等差数列an中，a3+a7=16，S10=85，则等差数列an公差为1【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a3+a7=16，S10=85，2a1+8d=16，10a1+d=85，解得：d=1则等差数列an公差为1故答案为：113设O为坐标原点，给定一个点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动

14、，l（x）表示线段AB的长，则OAB中两边长的比值的最大值为【考点】正弦定理【分析】在三角形AOB中，利用正弦定理即可表示出两条边的比值，然后根据三角函数的定义求出sinAOB的值，两边的比值最大即sinA等于1，利用sinA等于1和求出的sinAOB的值即可得到比值的最大值【解答】解：在AOB中，由正弦定理得： =即=，且sinAOB=，因为A为定点，得到AOB不变，所以当sinA=1时，OAB中两边长的比值取最大，最大值为=故答案为：14设集合A=，函数f（x）=，若f（x0）A，则x0的取值范围是（2，1；若x0A，且fA，则x0的取值范围是（，）【考点】分段函数的应用【分析】结合已知中

15、集合A=，函数f（x）=，分类讨论，分别求出满足f（x0）A和fA的x0的范围，可得答案【解答】解：当x0A=，时，f（x0），由f（x0）A=，综上可得：x0的取值范围是（2，1，由fA=，又由x0A=，（，）三、解答题（共6小题）15已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx（xR）（1）若，求f（x）的最大值；（2）在ABC中，若AB，f（A）=f（B）=，求的值【考点】三角函数的最值；正弦定理【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，根据x的范围，确定，然后求出函数的最大值（2）利用AB，f（A）=f（B）=，求出A，B的大小，然后求出C的

16、值，利用正弦定理求出的值【解答】解：（1）f（x）=+=sin（2x）当时，即x=时，f（x）的最大值为1（2）由f（x）=sin（2x），若x是三角形的内角，则0x，令f（x）=，得sin（2x）=，2x=或2x=，解得x=或x=由已知，A，B是ABC的内角，AB且f（A）=f（B）=，A=，B=，C=AB=又由正弦定理，得16调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人）100173y男生（人）x177z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15（）求x的值；（）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（）已知y19

17、3，z193，肥胖学生中男生不少于女生的概率【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率【分析】（I）根据从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15，列出关于x的式子，解方程即可（II）做出肥胖学生的人数，设出在肥胖学生中抽取的人数，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，列出等式，解出所设的未知数（III）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y193，z193，列举出所有事件数，再同理做出满足条件的事件数，得到结果【解答】解：（）由题意可知，x=150（人）；（）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）设应在肥胖学生中抽取m人，则，m=20（人

18、）即应在肥胖学生中抽20名（）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y193，z193，满足条件的（y，z）有，共有15组设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即yz，满足条件的（y，z）有，共有8组，即肥胖学生中女生少于男生的概率为17如图，菱形ABCD的边长为6，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，（）求证：OM平面ABD；（）求证：平面ABC平面MDO；（）求三棱锥MABD的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）根据点O是菱形ABCD的

19、对角线的交点，则O是AC的中点又点M是棱BC的中点，根据中位线定理可知OMAB，而OM平面ABD，AB平面ABD，满足线面平行的判定定理；（）根据OM=OD=3，而，则ODOM，根据菱形ABCD的性质可知ODAC，而OMAC=O，根据线面垂直的判定定理可得OD平面ABC，OD平面MDO，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论；（）根据三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积，由（）知，OD平面ABC，则OD=3为三棱锥DABM的高，最后根据三棱锥的体积公式解之即可【解答】（）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，OMAB

20、因为OM平面ABD，AB平面ABD，所以OM平面ABD（）证明：由题意，OM=OD=3，因为，所以DOM=90，ODOM又因为菱形ABCD，所以ODAC因为OMAC=O，所以OD平面ABC，因为OD平面MDO，所以平面ABC平面MDO（）解：三棱锥MABD的体积等于三棱锥DABM的体积由（）知，OD平面ABC，所以OD=3为三棱锥DABM的高ABM的面积为BABMsin120=63=，所求体积等于18已知函数f（x）=（1）求f（x）的极小值和极大值；（2）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数时，求l在x轴上的截距和取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析

21、】（1）利用导数的运算法则即可得出f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（2）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可【解答】解：（1）f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=ex（2xx2），令f（x）=0，解得x=0或x=2，令f（x）0，可解得0x2；令f（x）0，可解得x0或x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=故f（x）的极小值和极大值分别为0，；（2）

22、设切点为（x0，），则切线方程为y=（2x0x02）（xx0），令y=0，解得x=（x02）+3，曲线y=f（x）的切线l的斜率为正数，（2x0x02）0，0x02，令g（x0）=（x02）+3，则g（x0）=当0x02时，令g（x0）=0，解得x0=2当0x02时，g（x0）0，函数g（x0）单调递减；当2x02时，g（x0）0，函数g（x0）单调递增故当x0=2时，函数g（x0）取得极大值，也即最大值，且g（2）=32综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（，3219已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，长轴长为2，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B（1）求椭圆的方程；（2）若以AB为直径的圆恰过坐标原点O，证明：原点O到直线l的距离为定值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，由以AB为直径的圆经过坐标原点O，可得=0，即为x1x2+y1y2=0，化简整理，再由点到直线的距离公式，即可得到结论【解答】解：（1）由椭圆+=1（ab0