高二数学组合一 人教版

1、江苏省苏州中学、常州中学精品备课高二数学组合一【教学内容】第十章 排列 组合 和概率 10.1 组合要求：1、学习掌握组合、组合数概念和组合数的两个性质。熟练运用这些基本概念和性质解题； 2、掌握解排列组合题的思想方法，适当地分类，分步，构造恰当的解法解决问题； 3、灵活运用有关概念；开拓解题思路，力争做到一题多解。【学习指导】1、掌握组合的概念：定义：从n个不同元素中，取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 排列与组合的共同点，就是要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同的是，对于所取出的m个元素，前者要“按照一定的顺序排成一列”，而后者却是“不管怎样

2、的顺序并成一组”，即排列是有序的，而组合是无序的。2、掌握组合数公式： 另一个公式此公式的作用：当对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。3、组合数性质1： 组合数性质2： 通过本节的学习，要理解组合的意义，弄清排列与组合的联系与区别，掌握组合数的计算公式，并能解决相关的数学问题。 组合的应用题是本节教材的难点，它可分为无限制条件的组合、有限制条件的组合以及组合与排列的综合应用题三大类。 对于无限制条件的组合应用题，可应用组合数公式来计算；对于有限制条件的组合应用题及排列与组合的综合应用题，一般有正向思考与逆向思考两种思路，正向思考时常采用分步及乘法原理的方法或分类及加

3、法原理的方法，逆向思考时常采用求补集的方法解决。【典型例题分析】例1、某班有45名同学，在毕业典礼会上，每两人握一次手，总共能握多少次手？解：因为每两人握一次手是无序的，所以总共能握：=990（次）例2、从5名男生4名女生中选出4人去参加数学竞赛。（1）如果4人中男生与女生各选2人有多少种不同的选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙都必须在内，有多少种不同的选法？（3）如果男生中的甲与女生中的乙都不在内，有多少种不同的选法？（4）如果男生中的甲与女生中的乙有且只有1人在内有多少种不同的选法？（5）如果男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内有多少种不同的选法？解：（1）分两步完成，第一步先从5名男

4、生中任选2名有种不同的选法；第二步从4名女生中任选2名有种不同的选法，由乘法原理：（种）。4人中男生与女生各选2人有60种不同的选法。（2）由于男甲与女乙都必须在内，则从剩余的7名同学中任选2人即可完成这件事，则有男甲与女乙都必须在内的选法有21种。（3）由于男甲与女乙都不在内，则从剩余的7名同学选出4人，其选法种数有男甲与女乙都不在内的选法有35种。（4）分两步完成，第一步从男甲与女乙中任选1人有种不同的选法，第二步再从剩余的7名同学中任选3人有种不同的选法，由乘法原理：（5）解法一：分两类，第一类男甲与女乙只有1人在内的选法有种，第二类男甲与女乙都在内的选法有种，由加法原理得：男甲与女乙至

5、少有1人在内的选法有91种。解法二：先求出男甲与女乙都不在内的选法有种，再从5名男生4名女生中选出4人的不同选法中减去，有例3、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投入方法的总数有多少种？解：因为恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的两个球有种不同的投入方法，还剩3个球与3个盒子，而这三个球的编号与盒子的编号不同，则第一个球投放入与它编号不同的盒子有2种不同的投放方法，最后两个球只有一种投放方法，则有乘法原理得总的投放方法有：这样的投入方法总数有

6、20种。例4、方程的解为（） A、1B、3C、1或3D、1或5分析：这个方程的特点是：两个组合的下标相同，上标含有未知数，由组合数性质：求之，因此求解时要讨论上标的两种可能情况。解：当当因为当x=5，x=-7时，组合均无意义，故舍去。所以原方程的解为x=1或x=3，选C。例5、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（） A、1260种B、2021种C、2520种D、5040种分析：从10人中任派4人去承担任务，并未限定哪个人承担哪一项不同的任务，所以为无限制的组合问题。解法一：分三步完成，先由10人中任选派2人承担甲项任务有种不

7、同的选法；再从剩余的8人中任选1人承担乙项任务有种不同的选法；最后从剩余的7人中任选1人承担丙项任务有种不同的选法，由乘法原理，共有种不同的选法，故选C。解法二：先10中任选4人承担任务有种不同的选法，选出的4人，从中任选2人承担甲项任务有种不同的选法；再由剩余的2人中任选1人承担乙项任务，最后1人自然承担丙项任务，因此有种不同的选法，由乘法原理得：（种）例6、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种。分析：因为三点确定一个平面，取4个不共面的点，相当于从这10个点中取4个点，组成多少个四面体的问题，本题宜采用逆向思考方法。解：不考虑顺序，从10个点中任取4个

8、点，总数为，其中四点共面的有三类：四个点在同一侧面的有4=60种；在6个中点中，四点共面的情况有3种；而每个棱中点与它所对棱的棱上的三个点也共面，共有6种。所以，不同的取法有210-（60+6+3）=141（种）注：本题涉及选取方法中有重复计算的问题，一般选择减的方法，去掉不合理的情况，但要做到不重复，不遗漏，需要认真思考体会。例7、有编号为1，2，3，9，10的十只灯，为了节约用电，可以将其中三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的二只或三只，也不能关掉两端的灯，则满足条件的关灯方法有多少种？分析：由于这10只灯是无区别的10只灯，在满足题设的条件下，关掉的三只灯也是无序的，因此这是一个有限制条件的

9、组合问题，一般常用插位法。解：从10只灯中关掉3只还余7只，把这7只灯排成一列，由于无序所以只有一种排法。又因为关掉的三只灯不能相邻且不 能在两端，所以只能在7个灯之间的6个方位任选三个如图： 1 2 3 4 5 6 7 满足条件的关灯方式有=20（种）注：此题首先要弄清是排列问题还是组合问题，另外此题涉及到不相邻的问题，一般采用插位法。例8、从1，3，5，7，9中取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数。分析：此题是一个组合与排列的综合应用题。可分三步完成：第一步从1，3，5，7，9中取3个数字以及第二步从2，4，6，8中任取2个数字为组合问题，而第

10、三步由前两步取出的5个数字组成五重复的五位数是排列问题，可采用分步方法及乘法原理来解决。解：分三步完成：第一步从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个有种不同的取法；第二步从2，4，6，8这四个数字中任取2个有种不同的取法；第三步由前两步取出的5个数全排列有种不同的排法。由乘法原理共有：=7200（个）一共可以组成没有重复数字的五位数有7200个。注：这是一个排列与组合的综合应用题，解题应分清哪一步是排列，哪一步是组合，一般采用分步方法、乘法原理解决。例9、6本不同的书分成三堆：（1）若平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法？（2）若平均分成三堆，有多少种不同的分法？（3）若有一堆一本，一

11、堆二本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）若有一堆4本，另两堆各1本的不同分法有多少种？分析：6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人是有顺序的，而平均分成三堆是无顺序的，所以此题的第（2）问在一般分法种重复次，第（4）问在一般分法中重复次。解：（1）6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人可分三步完成：第一步从6本不同的书中任取2本给甲有种不同的分法。第二从剩余的4本不同的书中任取2本给乙有种不同的分法，最后把剩余的2本不同的书给丙有种不同 的分法，根据乘法原理总共有：（种）6本不同的书，平均分给甲、乙、丙三人总共有90种不同的分法。（2）假设将6本不同的书分成三堆有x种方法。在每一种分法中，再把这三

12、堆分别分给甲、乙、丙三人有种分法，根据乘法原理将6本不同的书平均分给3个人的不同分法有，从而：（种）（3）从6本不同的书中任取1本放一堆，有种取法；再从剩下的5本书中任取2本放成一堆，有种不同的取法；最后余下的3本书放成一堆，有种不同的取法，因为各堆书的数目互不相同，所以这种分堆方法与6本不同的书分给甲一本，乙二本，丙三本完全相同，所以这样的分堆方法总数为：=60（种）一堆1本，一堆2本，一堆3本，有60种不同的分法。（4）如果将6本不同的书分给甲4本，乙1本，丙1本，共有种不同的分法。这里给乙第一本，丙第二本与给乙第二本，丙第一本是不同的分法。但作为分堆第一本书一堆、第二书一堆与第二本书一堆

13、、第一本书一堆是相同的分法，所以分堆方法是：（种）或（种）一堆4本，另两堆各1本的不同分法有15种。注：这是一个偶数个元素平均分成几组，且各组之间是无序的组合问题，一般重复次，解题时应审清题意，弄清平均分组组数n，谨防重复而使解题出错。【同步练习】1、在所有的三位数中，如果它的百位数字比十位数字大，十位数字比个位数字大，这样的三位数共有（） A、240个B、210个C、120个D、108个2、2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士的不同分配方法共有（） A、6种B、12种C、18种D、24种3、有15个队参加篮球赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，然后由各组前2

14、名共6个队进行单循环决赛，且规定同组的两个队不再赛第二场，则所进行的比赛共有（ ） A、42场B、45场C、22场D、25场4、圆周上有八个等分圆周点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（） A、16B、24C、32D、485、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在内的12条直线中，异面直线共有（） A、12对B、24对C、36对D、48对6、某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，不同的任课方法的种数为（） A、B、C、D、7、假设在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件是次品的抽法有（） A、B、 C、D、8、从某班学

15、生中，选出四个组长的不同选法有x种，选出正副班长各一名的不同选法有y种，若x:y=13:2，则该班学生人数是（） A、22B、20C、15D、109、四不同的小球全部随意放入三个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法为（ ） A、B、C、D、10、5项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包一项，则不同的承包方案有（） A、420种B、240种C、150种D、90种11、整数360的正约数（包括1和360）共有个。12、以正方体的顶点为棱锥的顶点，可作个棱锥。13、要从8名男医生和7名女医生中选出5人组成一个医疗小组，如果医疗小组中要求至少有2名男医生和至少有2名女医生，则有种不同的选法。

16、14、圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多只能有个。15、某电子器件的电路中有6个焊接点，只要有一个焊接点脱落，整个电路就不通，今发现电路不通，求焊接点脱落的可能性有多少？16、晚会由3个歌曲，2个舞蹈和4个曲艺节目组成，要求第一个节目为歌曲，结尾是曲艺，且每两个曲艺节目不相邻，问能安排多少种不同的节目顺序表？17、9名同学分成三组：每组3人，有多少种不同的分组方法？每组3人，且这三组同学分别参加文艺、体育和科技活动小组，有多少种不同的分组方法？若第一组5人，其余两组各2人有多少种不同的分组方法？18、求证： 参考答案1、C2、B3、A4、C5、B6、B7、B8、C9

17、、A10、C提示：1、有“0”的三位数： 无“0”的三位数： 故共有（个）错误解法： 主要对有“0”无“0”的情况不同没有深刻理解。2、3、首轮比赛场，第二轮比赛场，故共有42场比赛。4、（采用“逆向思维法”，若两等分点连线是）直径，则所对圆周角是直角不符。5、每一条侧棱与底面4条边组成“4对”，共六条侧棱，故共有：6、7、有两种情况：3件正品，2件次品；2件正品，3件次品。注意分类的不重不漏。8、设共有学生n人。9、注意三个盒子内的球数只有分别有2，1，1个这一种情况故共有（种）不同放法。错误解法：，见例9第（4）问已有详细分析解答。10、工程队承包项目分别为2，2，1项和3，1，1项两种情况。故共有方案：（种）11、故约数中对2，3，5的取法个数分别讨论如下：对2可取0，1，2，3个4种情况；对3可取0，1，2个3种情况；对5可取0，1个2种情况；由乘法原理，故有正约数（包括1和360）共有：（个）12、可构成三棱锥或四棱锥。从正方体的顶点中任取4个有种，其中表面和对角面上4点共面，不构成三棱锥，这样的4点组共12组，故可构成个三棱锥。先定底面，再定顶