2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点30 选修部分（坐标系与参数方程、不等式选讲）理

1、考点30 选修部分（坐标系与参数方程、不等式选讲）【考点剖析】一.最新考试说明：（一）坐标系与参数方程 1.坐标系 （1）理解坐标系的作用. （2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. （3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中 表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直 角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. （5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较,了解它们的区别. 2.

2、参数方程 （1）了解参数方程,了解参数的意义. （2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. （3）了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. （4）了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨 道中的作用. （二）不等式选讲 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. 4.会用向量递归方法讨论排序不等式.5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题.6.会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当 n 为大于 1 的实

3、数时伯努利不等式也成立.7.会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定 函数的极值.8.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法二命题方向预测：1.要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主；紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.往往涉及直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系.2.考查含绝对值不等式的解法，考查有关不等式的证明，利用不等式的性质求最值有时

4、与分段函数、基本不等式相结合.三.名师二级结论：根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l|t1t2|；(2)定点M0是弦M1M2的中点t1t20；(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值 (由此可求|M2M|及中点坐标)【考点分类】热点一 坐标系与参数方程1. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求【答案】（1），；（2）或【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标

5、方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数当时，的最大值为由题设得，所以；当时，的最大值为由题设得，所以综上，或2.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】（I）圆,（II）1【解析】（均为参数）,为以为圆心,为半径的圆方程为,即为的极坐标方程,两边同乘得,即：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所

6、在直线即为得：,即为,3.【2016高考新课标2文数】在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率【答案】（）；（）.【解析】（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.【方法总结】1极坐标与直角坐标互化(1)前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正向重合；取相同的单位长度(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角.2求曲线的极坐标方程的步骤：建

7、立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程3参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)，二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视4.参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围热点二 不等式选讲1.【2016高考新课标2文数】已知函数，为不等式的解集（）求；（）证明：当时，【答案

8、】（）；（）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时， ；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，从而，因此2.【2017课标1，理23】已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（2）当时，所以的解集包含，等价于当时又在的最小值必为与之一，所以且，得所以的取值范围为3.【2017课标II，理23】已知。证明：（1）；（2）.【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】(2)因为所以，因此.【方法总结】1.绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号2.绝对值的性质使绝对值不等式很难直接求解，我们应把它转化为

9、易于求解的不等式或不等式组来解，它体现了化归思想的具体运用3.绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时也有独特的作用，需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件4.绝对值式子的零点相当重要，以绝对值的零点为界点进行分段，这样在某一个区间段内绝对值式子可变为不等式或不等式组然后将求得的结果与前面分段的区间求交集，最后再对几个不同分段的区间求并集，则得该绝对值不等式的解集(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值5.图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁

10、直观，是一种较好的方法【热点预测】1.若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）A.5或8 B.或5 C.或 D.或8【答案】D【解析】由题意，当时，即，则当时，解得或（舍）；当时，即，则当时，解得（舍）或；当时，即，此时，不满足题意，所以或，故选D.2.在极坐标系中，点到直线的距离为【答案】13.若函数的最小值为5，则实数a=_.【答案】或【解析】由绝对值的性质知在或时可能取得最小值，若，或，经检验均不合；若，则，或，经检验合题意，因此或.4.【2017届江西省新余市第一中学高三上调研一】以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数

11、方程为,圆的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.【答案】（1）直线的普通方程为：，C的直角坐标方程为；（2）【解析】(1)直线的普通方程为：，（1分），所以所以曲线C的直角坐标方程为（或写成）.(5分)(2)点P(2，1)在直线上，且在圆C内，把代入,得,设两个实根为,则，即异号.所以.(10分)5. 【2017届江西省新余市第一中学高三上调研一】已知函数,记的最小值为.（1）解不等式；（2）是否存在正数,同时满足：？并说明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】(1)不等式化为设函数,则，令，解得原不等式的解集是

12、（5分）（2），当且仅当即 时取等号，故.（7分）假设存在符合条件的正数,则当且仅当,即时取等号，的最小值为8，即,不存在正数a,b,使同时成立.(10分)6.已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点的直角坐标为，直线与曲线C 的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等价于，将，代入，记得曲线C的直角坐标方程为；（2）将代入，得，设这个方程的两个实数根分别为，则由参数的几何意义即知，.7.若，且.（）求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（）；（）不存在8.已

13、知，函数的最小值为4()求的值；()求的最小值【答案】() ；()【解析】()因为，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为,所以()由(1)知，由柯西不等式得,即.当且仅当,即时，等号成立所以的最小值为.9.【2016高考新课标1卷】已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集【答案】（I）见解析（II）【解析】如图所示：,当,解得或,当,解得或或当,解得或,或综上,或或,解集为10.在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. 【答案】（）

14、,（）11.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin)=0，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用加减消元法将直线，的参数方程化为普通方程，再消去得C的普通方程，注意去杂，（2）先根据 将化为直角坐标方程，与联立方程组解得，再根据得M的极径.联立 得 ，与C的交点的极径为. 12.【2017课标3，理23】已知函数=x+1x2.（1）求不等式1的解集；（2）若不等式x2x +m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）（2）原式等价于存在，使，成立，即 ，设，由（1）知 ，当时，其开口向下，对称轴，当时 ，其开口向下，对称轴为，13.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为