第一章 空间几何体

1、人教A版数学2简介人民教育出版社中学数学室 张劲松人教A版数学2是根据标准“必修课程”中的数学2编写的，包括立体几何初步、平面解析几何初步两部分，分为四章：第一章空间几何体8课时第二章点、直线、平面之间的位置关系10课时第三章直线与方程9课时第四章圆与方程9课时下面分三部分简要介绍一下。一、内容与要求数学是研究空间形式和数量关系的科学。本模块的内容主要属于“空间形式”范畴，是几何学的研究对象。（一）内容第一章和第二章属于立体几何初步的内容，包括空间几何体的结构，空间几何体的三视图和直观图，空间几何体的表面积和体积；空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定和性质，直线、平面垂直的判

2、定及其性质。第三章和第四章属于解析几何初步的内容，包括直线的倾斜角与斜率，直线的方程，直线的交点坐标与距离公式；圆的方程，直线、圆的位置关系，空间直角坐标系。（二）要求“第一章空间几何体”要求：1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3.通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.完

3、成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。“第二章点、直线、平面之间的位置关系” 要求：1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（4）公理4：平行于同一条直线的

4、两条直线平行。（5）定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。（1）平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（2）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（3）一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。（4） 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。（1）一条直线与一个平面平行，

5、则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。（2）两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。（3）垂直于同一个平面的两条直线平行。（4）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。3.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。“第三章直线与方程”要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直；4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会

6、斜截式与一次函数的关系；5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。“第四章圆与方程”要求：1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；2.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；4.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想；5.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；6.通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两

7、点间的距离公式。二、主要特点（一）突出“从整体到局部”安排立体几何初步的内容与传统立体几何的结构体系相比，本模块立体几何的体系结构有重大改革。传统立体几何内容，常从研究构成空间几何体的基本要素点、直线和平面开始，讲述平面及其基本性质，点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、台、球的结构特征以及它们的体积、表面积等等。基本上按照从局部到整体的原则。现在，本模块以直观感知、操作确认为认识手段，先研究柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，根据这些特征绘制它们的三视图、直观图，并解决上述空间几何体的体积和表面积。在充分感知的基础上，再对几何体的

8、“细部特征”，即构成几何体的几何元素点、线、面等的关系进行研究，即先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。这种安排遵循人类认识世界的过程，也符合学生的认知特点。它有助于发展学生的空间观念，培养学生的空间想象能力、几何直观能力，适当减轻几何论证的难度，降低立体几何学习入门的门槛，提高学生学习立体几何的兴趣。整体和局部是一个有机的整体。没有对整体的把握，也无从认识局部；同样，如果没有对局部更细致的认识，我们也无法更好地把握整体。因此，在学习完“点、直线、平面之间的位置关系”后，要引导学生从点、直线、平面的角度重新认识空间几何体，从本质上把握空间几何体的结构特征，对空间

9、几何体的结构特征有更全面的认识。（二）明确认识和探索几何图形及其性质的主要方法：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算标准明确提出，认识和探索几何图形及其性质的主要方法有：直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算，这是非常经典的概括。实际上，这四种方法是一个有机的整体，循序渐进，对不同的知识内容，要求的方式和方法不尽相同。本模块中“空间几何体”主要是通过直观感知、操作确认的方式让学生认识人类生存的现实空间，通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力。在“点、直线、平面之间的位置关系”中，借助长方体模型，通过直观感知、操作确认先认识它们之间的位置关系，归纳关于平面、平行的一些公理以及直线与平面平行

10、、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，进而对直线与平面平行、平面与平面平行以及直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理进行思辨论证，并且运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，培养学生的推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。解析几何初步的内容中，主要是培养学生用代数方法处理几何问题的思想，使用度量计算的方法。对这部分的教学，可通过直角坐标系这个桥梁，首先将几何问题，比如点、直线、圆以及直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，直线与直线的交点坐标、直线与圆的坐标等代数化，用代数语言描述上述几何要素及其关系，把直线与直线、直线与圆的位置关系转化为数

11、量之间的关系，处理数量关系，分析数量关系的几何含义，最终确定直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。观察和推理是学习数学的两种手段。由观察（实践）归纳出一些事实（如公理），在此基础上，从这些事实出发，运用逻辑推理的方法，推导、证明一些新的事实。在立体几何初步的内容中，我们采用了观察和推理两种方式。通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和把握点、直线、平面之间的位置关系。而当把直线和圆放到直角坐标系中后，它们可以用方程表示，通过代数运算，由运算结果判断直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系。（三）强调几何直观，注重合情推理，适当渗透公理化思想立体几何学习的知

12、识内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型可以描述现实世界中的许多物体。它们直观、具体，对培养学生的几何直观能力有很大的帮助。空间几何体，特别是长方体，其中的棱与棱、棱与面、面与面之间的位置关系，是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的直观载体。学习时，一方面要引导学生从生活实际出发，把学习的知识与周围的实物联系起来，另一方面，要引导学生经历从现实的生活抽象空间图形的过程，注重探索空间图形的位置关系，归纳、概括它们的判定定理和性质定理。比如，在有关直线与平面、平面与平面平行与垂直判定定理的教学中，要注重引导学生通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与

13、平面平行与垂直的判定定理；在直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质定理的教学中，同样不能忽视学生从实际问题出发，进行探究的过程。要引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等合情推理以及演绎推理，探索直线与平面、平面与平面平行与垂直等性质定理及其证明。在此基础上，进一步运用已经能够获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。这样做既可以为学生铺设合适的学习台阶，降低难度，又可以使立体几何的学习过程完整化，为学生理解抽象的直线、平面位置关系的判定定理和性质定理提供有力的支撑，有助于培养学生的数学思维能力。立体几何在构建直观、形象的数学模型方面有其独特作用。图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了

14、有力的支撑，而且有助于培养学生合情推理和演绎推理的能力。几何的现实性与论理性是几何的两个方面。欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来，几何就与演绎推理结下了不解之缘，很久以来几何学就成为训练逻辑推理的素材，用主观的东西去理解客观世界，把握客观世界，以期对客观世界有更理性的认识。从几何推理的角度来看，既有合情推理，又有演绎推理，而且从数学发展的过程来看，即使演绎推理也并非几何所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。近几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生了一些变化：适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行以类比、归纳为特征的合情推理；从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何

15、的教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程性”方面的教育价值。本模块立体几何初步特别注意使学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，逐步认识直线与平面、平面与平面的位置关系，在推理过程中渗透公理化思想，养成言必有据的理性思维精神。（四）加强知识的联系性，通过“三步曲”明确解析几何的基本思想方法解析几何的基本思想方法是坐标法。当我们用方程表示直线和圆，运用方程研究直线与直线、圆与圆的位置关系，研究两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离等问题时，都需要把几何问题代数化，先用方程表示直线和圆，然后再通过代数运算解决有关问题。我们在教科书编写

16、时，结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何的联系，体现了数形结合的重要数学思想。对于几何中的直线，我们既从一次函数的角度研究它，又从方程的角度研究它。这样一来，函数与方程对直线进行了定量化描述，使对直线的研究由定性进入到定量。平面直角坐标系成为沟通平面几何、函数、解析几何的纽带，对同一个问题可以从不同的角度去认识。在此需要特别说明的是函

17、数与曲线以及曲线与方程的关系。对一个圆，它是曲线，我们既可以从函数（分段函数）的角度研究它，也可以从方程的角度研究它。但是两者之间是有区别的。从函数的角度看，函数体现更多的是一种数量关系，曲线只不过是它的一个直观支持；从方程的角度看，它是从曲线的几何特征出发，确定它的代数关系（即方程），用方程研究曲线，即解析几何的思想方法。它们虽然都体现了数形结合，但体现的是数形结合的不同侧面。三、教学中几个值得关注的问题（一）关于数学2的教学要求与传统的立体几何教学要求相比，本模块在几何推理证明方面的教学要求大大降低了，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少了定理的数量，删去了大量的几何证明题，淡化了几

18、何证明的技巧。对于直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理只要求通过直观感知、操作确认的方式归纳得出，不进行推理证明。在削弱证明的同时，加强了空间观念的培养。重视对空间图形的整体认识和把握，从看实物到想图形、再从三视图想象空间图形，然后从空间图形的整体，到直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，强调发展学生的空间想象能力，以及联系实际运用几何知识，观察和解决现实世界中有关图形的问题。在解析几何初步的内容中，注意结合具体的图形：直线和圆，引导学生探索在平面上确定这些图形的几何要素，推导出它们的代数方程，进而运用方程研究它们在平面上的位置以及相互关系，体会用代数方法解决几何问题的思想。教

19、学中要注意控制难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求现已有所改变。因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，要适可而止。（二）关于“三垂线定理及其逆定理”很多教师都说，整个高中立体几何就是“三垂线定理”。虽然说得过分些，但从另一个角度说明了“三垂线定理”在整个高中“立体几何”中的地位和作用。确实，“三垂线定理”是整个立体几何内容的一个典型代表，处在整个立体几何知识的枢纽位置，综合了很多知识内容：线线、线面、面面的垂直和平行。虽然在“点、线、面之间的位置关系”中没

20、有明确提到“三垂线定理”，但在“空间向量与立体几何”中提到“能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）”。按照这种提法，教材中必须明确提出“三垂线定理”，学生应该知道这个定理。至于放在数学2中，还是放在选修21中，则是另外一个问题。有了“三垂线定理”，“三垂线定理的逆定理”也就顺理成章了，无非是斜线与斜线的射影位置互换了一下。在教材实验过程中，教师非常关注“三垂线定理及其逆定理”的教学。一方面，它在整个高中“立体几何”中有太高的地位和作用，另一方面，它是高考的核心内容。目前的高考试卷中，如果是用综合法处理的“立体几何”方面的大题，大都是关于“三垂线定理及其逆定理”的。但是，

21、随着空间向量及其运算引入“立体几何”内容中，用空间向量及其运算的向量方法（或坐标方法）处理有关垂直和平行问题成为一种普适的方法，用“三垂线定理及其逆定理”的综合方法退居其次。基于这种情况，我们认为，把“三垂线定理及其逆定理”放在选修课程系列2中的选修21的“空间向量与立体几何”中比较合适，学生只需了解这个定理即可。（三）关于知识内容的衔接由于2006年使用高中课标教材的很多学生在义务教育阶段没有使用义务教育课程标准实验教科书，造成部分知识内容不衔接。在数学2中，比较突出的是视图和投影的内容。在教学中应充分考虑到这种实际情况，在投影和视图方面，应该适当补充标准“空间与图形”中的视图与投影内容，它

22、包括：1.会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型；2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；3.了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）；4.通过实例了解中心投影和平行投影。立体几何初步的内容与选修2-1中“空间向量与立体几何”内容要衔接，在立体几何初步中不要求证明的三个判定定理在“空间向量与立体几何” 中可用向量方法进行严格证明。解析几何初步的内容也能自然延伸到选修1-1和选修2-1的“圆锥曲线与方程”

23、中。（四）关于运用现代信息技术在数学2中，现代信息技术的作用主要体现在以下几个方面：1.通过现代信息技术，如计算机、网络等展示丰富的图片，让学生感受大量的实物，抽象出空间几何体及其结构特征。2.运用现代信息技术和有关软件，制作一些课件，如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系，空间中的平行与垂直关系，等等。3.平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科。信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线。在动态演示中，观察曲线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过方程研究曲线与曲线的关系时，运用现代信息

24、技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持。例如，在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状。（五）关于数学2在必修课程中的顺序按照传统的安排，立体几何初步和解析几何初步内容通常安排在三角函数和平面向量的后面，把平面向量和三角函数作为工具研究解析几何。具体到必修课程的顺序安排，就是先学数学4再学数学2。孰前孰后？孰优孰劣？应该说，两种方式各有自己的特点。数学2在前，解析几何初步中在引进斜率的概念时，就需要采取新的方式。虽然无法建立直线的倾斜角与斜率之间的数量关系，但是整个解析几何初步的学习内容变得平易、浅显。数学4在前，可用平面向量和三角函数作为工具，研究直线的倾斜角与

25、斜率之间的关系，同时丰富直线和圆的内容。第一章 空间几何体一、教材内容及其特点柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，复杂的几何体大都由这些简单的几何体组合而成，因此，有关柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的几何体的基础。这一章主要研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图、表面积和体积。主要运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间图形及其性质。二、教学目标（一）利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。（二）能画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简单空间图形的三视图，能识别上述三视图所表

26、示的立体模型，会使用材料制作简单模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。（三）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。（四）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。三、教学重点、难点教学重点：是认识空间几何体的结构特征，画出空间几何体的三视图、直观图，培养空间想象能力、几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力。教学难点：认识空间几何体的结构特征。四、教学建议（一）本章教学大约7课时，具体分配如下：1.1空间几何体的结构2课时； 1.2空间几何体的三视图和直观图2课时；1.3间几何体的表面积与体积2课时；第一章复习1课时。（二

27、）本章学习是在义务教育阶段直观认识正方体、长方体的基础上，通过观察实物模型，或利用计算机演示方式，具体分析实例，概括出其共同结构特征，进而通过画出三视图、直观图。同时要注意培养学生的空间想象能力、几何直观能力和运用图形语言交流的能力。在学习时让学生动手操作（包括制作模型和画出图形），引导学生直观感知，然后再抽象出本质属性而形成概念。1.1 空间几何体的结构第1课时 柱体、锥体结构特征一、教材内容及其特点本节学习柱体、锥体的结构特征。学生通过观察大量实物图片，根据空间几何体与平面图形的联系，思考空间几何体的特点，然后加以分类，最后概括出柱体、锥体的结构特。二、教学目标利用实物模型、计算机软件观察

28、大量空间图形，认识柱体、锥体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。三、教学重点、难点重点：柱体、锥体的结构特征。难点：概括柱体、锥体结构特征。四、教学过程（一）多面体与旋转体首先展示实物图片，或利用计算机演示实物图形，然后引导学生注意观察围成几何体的面、面与面的组合方式。按照是否平面或曲面分成多面体、旋转体两类。（二）柱体、锥体根据观察结果，分别给出棱柱与棱锥、圆柱与圆锥的定义，教师适时加以点拨，突出重点。（三）思考与练习1教材P71、2、3题。2利用计算机动态演示几何体，从不同角度截图，再次让学生正确地识别。3已知圆锥轴截面等腰三角形的腰长为5cm,，面积为12cm，求圆

29、锥底面半径。4已知圆柱的底面半径为3cm，轴截面面积为24cm，求圆柱的母线长。（四）小结与作业1多面体与旋转体。2柱体（棱柱、圆柱）锥体（棱锥、圆锥）。作业：制作一个小用具（例如笔筒）：选择漂亮一点的硬纸，利用学过的有关知识，自己设计尺寸和外观，下次上课前展示成果。五、教学建议观察大量、有代表性的图形，在几何学习中是不可缺少的感性认识阶段。为了给学生留下深刻的印象，又便于发现几何体的特征，最好利用计算机进行动态演示。第2课时 台体、球体的几何特征一、教材内容及其特点本节学习台体、球体与简单组合体的几何特征，并对空间几何体结构特征进行梳理总结。二、教学目标利用实物模型、计算机软件演示观察，认识

30、台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。三、教学重点、难点重点：台体、球体的结构特征。难点：台体、球体的几何特征。四、教学过程（一）棱台与圆台计算机演示：用与底面平行的平面截棱锥和圆锥，分别得到棱台与圆台，观察截取的过程，抽象出台体概念，并注意观察柱体、锥体、台体的内在练习。（二）球计算机演示：半圆旋转形成球，观形成过程，给出球的定义。（三）简单组合体观察实物：日光灯管、水瓶，给出定义。（四）思考与练习1P8 A组 14题。2圆锥底面半径为cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.3已知长方体的长、宽、高之比为4312，对角线长为26

31、cm, 则长、宽、高分别为多少？（五）小结与作业1柱体、锥体、台体、球体的区别：围成几何体的面有平面，有曲面，面与面有不同的的连接方式。2柱体、锥体、台体、球体的联系：将台体的两个底面大小适当变化，可以分别得到柱体和锥体，这说明可以将柱体与锥体看作是台体的极限情况。作业：棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高。五、教学建议旋转体的形成过程是从平面图形开始的，可以将圆柱、圆锥和球进行比较，抓住规律，了解曲面的形成与平面的关系。六、单元检测题1.选择题：（1）直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成（ ） A平面 B曲面 C直线 D锥面 （2）一个多边形

32、沿不平行于图形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）A棱锥 B棱柱 C平面 D长方体（3）有关平面的说法错误的是（ ）A平面一般用希腊字母、来命名，如平面B平面是处处平直的面C平面是有边界的面D平面是无限延展的（4）下面的图形可以构成正方体的是（ ）AB CD （5）圆锥侧面展开图是直径为a的半圆面，那么过此圆锥旋转轴的截面是（ ）A等边三角形 B等腰直角三角形C顶角为30的等腰三角形 D其他等腰三角形（6）A、B为球面上相异两点，则通过A、B两点可作球的大圆有 （ ）A一个 B无穷多个 C0个 D一个或无穷多个（7）四棱锥的四个侧面中，直角三角最多可能有（ ）A1 B2 C3 D4（8）下

33、列命题中正确的是（ ）A由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B棱锥的高线可能在几何体之外C仅有一组对面平行的六面体是棱台D有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥（9）长方体三条棱长分别是AA=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C的最短矩离是（ ）A5 B7 C D（10）已知集合A=正方体，B=长方体，C=正四棱柱，D=直四棱柱，E=棱柱，F=直平行六面体，则（ ）A BC D它们之间不都存在包含关系2.填空题：（11）线段AB长为5cm，在水平面上向右平移4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为CD,再将CD沿水平方向向左移4cm记为AB，依次连结

34、构成长方体ABCDABCD.该长方体的高为 ；平面ABCD与面CD DC间的距离为 ；A到面BC CB的距离为 .（12）已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD且ABCD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由 、 、 的几何体构成的组合体.（13）下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：如果A在多面体底面，那么哪一面会在上面 ；如果面F在前面，从左边看是面B，那么哪一个面会在上面 ；如果从左面看是面C，面D在后面，那么哪一个面会在上面 .（14）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=3， AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短

35、距离是 3.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)（15）（12分）根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起（16）（12分）若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由（17）（12分）正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高（18）（12分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长10cm.求：圆锥的母长（19）（14分）已知正三棱锥S-ABC的高SO=h,斜高SM=n,求经过SO的中点且平行于底面的截面A1B1C1的面积（20）（14分）有在正方形ABCD中，E、F分别为AB、B

36、C的中点，现在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：依据题意制作这个几何体；这个几何体有几个面构成，每个面的三角形为什么三角形；若正方形边长为a，则每个面的三角形面积为多少参考答案1.DBCCA DDBAB2.（11）3CM4CM5CM；（12）圆锥、圆台、圆锥； （13）FCA； （14）53.（15）解：J与N，A、M与D，H与E，G与F，B与C.（16）解：未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台，所以看一个几何体是否棱台，不仅要

37、看是否有两个面平行，其余各面是否梯形，还要看其侧棱延长后是否交于一点.小结：棱台的定义，除了用它作判定之外，至少还有三项用途：为保证侧棱延长后交于一点，可以先画棱锥再画棱台；如果解棱台问题遇到困难，可以将它还原为棱锥去看，因为它是由棱锥截来的；可以利用两底是相似多边形进行有关推算.（17）分析：棱台的有关计算都包含在三个直角梯形及两个直角三角形OBE和中，而直角梯形常需割成一个矩形和一个直角三角形对其进行求解，所以要熟悉两底面的外接圆半径（）内切圆半径（）的差，特别是正三、正四、正六棱台.（18）圆锥的母线长为cm.（19）解：设底面正三角形的边长为a，在RTSOM中SO=h，SM=n，所以O

38、M=，又MO=a，即a=，截面面积为（20）解：略这个几何体由四个面构成，即面DEF、面DFP、面DEP、面EFP.由平几知识可知DE=DF，DPE=EPF=DPF=90，所以DEF为等腰三角形，DFP、EFP、DEP为直角三角形.由可知，DE=DF=a,EF=a,所以，SDEF=a2。DP=2a，EP=FP=a，所以SDPE= SDPF= a2，SEPF= a21.2 空间几何体的三视图和直观图第1课时 空间几何体的三视图一、教材内容及其特点本节在中心投影和平行投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图，要引导学生画出简单空间几何体的三视图，并能由三视图想象立体模型，从而丰富学生的空间想象力。

39、二、教学目标能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，了解空间图形的不同表示形式。三、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图。难点：识别三视图所表示的空间几何体。四、教学过程（一）中心投影与平行投影在平面上表现空间图形有两种办法，一种是中心投影，可以举出一些例子，比如绘画。另一种是平行投影，比如三角板在日光灯下的投影可以近似看作平行投影，在工程等方面实际应用时常常用到三视图。（二）柱、锥、台、球体的三视图1计算机演示：柱、锥、台、球、简单组合体及其三视图。2以长方体为例，学习三视图的画法和要求。（三）思考与练习教材P15 1、2、3、4题。（四）小结与作业1三视图属于

40、平行投影；2三视图是由正视图（主视图）、俯视图、侧视图（左视图）等三个部分组成的，相互之间的尺寸联系密切；（五）作业教材P212，利用硬纸制作模型。五、教学建议可以利用计算机进行动态演示（例如几何图霸，要求学生认真观察，充分想象。第2课时 空间几何体的直观图一、教材内容及其特点在立体几何中通常利用平行投影的方法把直观图展现出来。首先学习水平放置的平面图形的斜二测画法，归纳步骤，然后再画长方体的直观图，最后将三视图与直观图联系考虑。二、教学目标会用斜二侧法画出简单空间几何体的直观图。通过观察三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式，培养空间想象能力。三、教学重难点重点：用斜二测画法画空间几何体

41、的直观图。难点：斜二测画法。四、教学过程（一）利用斜二测画法画水平放置正六边形。师生共同完成画图过程：建系取点连线（注意变与不变），最后总结画图步骤。（二）利用斜二测画法画长方体的直观图。师生共同完成画图过程：建系取点连线（注意变与不变），最后总结画图步骤。（三）简单组合体直观图的画法P19 探究奖杯的三视图到直观图（四）思考与练习P1915题（五）小结与作业斜二测画法的步骤。作业：P215五、教学建议可以利用几何画板中几何工具，演示直观图的效果。画图过程中要求学生使用铅笔和三角板（或直尺），不得敷衍。六、单元检测题1一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A2

42、三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从、观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形3圆台的正视图、侧视图都是，俯视图是4给出下列命题：如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台其中正确命题的个数是（）5利用斜二测画法得到：三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形以上结论，正确的是（）6若一个几何体正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何

43、体可能是（）圆柱三棱柱圆锥球体7下列说法中正确的是（）互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线梯形的直观图可能是平行四边形矩形的直观图可能是梯形正方形的直观图可能是平行四边形8如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）9下面的说法正确吗？水平放置的正方形的直观图可能是梯形；两条相交直线的直观图可能平行；互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直10斜二测画法画出的直观图如右图所示，它的原图是（）直角梯形等腰梯形不可能是梯形平行四边形11下图中直观图所表示的平面图形是（）正三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形12如图，设正三棱锥的侧棱长为，分别是，上的点，求周长的最小值13如图是一个多面体的

44、展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（） 这个几何体是什么体？（） 如果面在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？（） 如果面在前面，从左面看是面，那么哪一面会在上面？（） 从右边看是面，面在后面，那么哪一面会在上面？14三视图均相同的几何体有（）球正方体正四面体以上都对15已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（）16如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图参考答案第1题答案：第2题答案：正前方，正上方，正左方第3题答案：全等的等腰梯形，两个同心圆第4题答案：第5题答案：第6题答案：第7题答案：第8题答案：第9题答案：解：（）错（）错（）错第10题答案：第11题答案：第12

45、题答案：解：如右上图，为正三棱锥的侧面展开图，则为所求周长的最小值，在中，第13题答案：（）长方体（）（）（）提示：用一个长方体的橡皮或铅笔盒做试验第14题答案：第15题答案：第16题三棱柱横放，直观图如图1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时 柱、锥、台的表面积与体积一、教材内容及其特点本节任务是从度量的角度认识空间几何体。先将长方体展开计算平面图形的面积，然后求出几何体的表面积。类比这种方法就能推导出柱体、锥体、台体的表面积。最后给出柱体、锥体、台体的体积公式。二、教学目标了解柱体、锥体、台体表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。三、教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积

46、的计算公式。难点：台体的表面积与体积公式。四、教学过程（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积仿照长方体面积的求法，将多面体各面展开求和即可。（二）圆柱、圆锥、圆台的表面积将圆柱侧面展开即可求出总面积。类比圆柱可得到圆锥和圆台的表面积。（三）例题与练习教材P25例2花盆涂漆问题；教材P271，2题。（四）柱体、锥体、台体的体积公式直接给出公式，不必推导。（五）例题与练习教材P26例3；教材P28A组3，4题。（六）小结与作业柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，三者之间存在内在联系，它们可以相互转化，如下图：作业：教材P29A组5题五、教学建议在学习中要注意类比方法的使用，思考柱、锥、台体的内在联系，

47、将表面积公式或体积公式统一为一个有机整体。第2课时 球的表面积与体积一、教材内容及其特点本节学习球及与球有关的简单组合体的表面积、体积计算公式。二、教学目标了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。三、教学重点、难点重点：球的表面积、体积公式。难点：与球有关的简单组合体的计算。四、教学过程（一）球的体积和表面积直接给出公式。（二）练习教材P28练习1，3。（三）与球有关的简单几何体的计算将球的半径（或直径）与柱体、锥体联系在一起整体考虑。教材P27例4圆柱与球的组合体计算。（四）练习1教材P28练习2。2一个正方体的内切球的体积为V，求正方体的棱长。3球的一个截面的面积为9，且此截面到

48、球心的距离为4，计算球的表面积和体积。（五）小结与作业球的体积和表面积计算公式。五、教学建议在球的表面积和体积公式推导过程中包含着许多重要的数学思想，如等积变形、极限思想，可以让学生适当领会，但不需要做严格论证。六、单元检测题（一）选择题：1过正三棱柱底面一边的截面是（ ）A三角形 B三角形或梯形C不是梯形的四边形D梯形2若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A三棱锥 B四棱锥C五棱锥D六棱锥 3球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）A B1 C2 D34将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（ ）A B12a2C18a2D24a25直三棱

49、柱各侧棱和底面边长均为a，点D是CC上任意一点，连结AB，BD，AD，AD，则三棱锥AABD的体积（ ）ABCD6两个球体积之和为12，且这两个球大圆周长之和为6，那么这两球半径之差是（ ）A B1 C2 D37一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）A2：3：5 B2：3：4 C3：5：8D4：6：98直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的削球，如果不计损耗，可 铸成这样的小球的个数为（ ）A5 B15 C25D1259与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A B C D10中心角为135的扇形，其面积为B，其

50、围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ）A11：8 B3：8 C8：3 D13：8（二）填空题：11直平行六面体底面是菱形，两个对角面面积分别为，直平行六面体侧面积 _12正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为cm，则它的侧面积为_13球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的_倍14已知正三棱锥的侧面积为18 cm,高为3cm. 求它的体积 （三）解答题：15轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱已知：等边圆柱的底面半径为r，求：全面积；轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥.已知：等边圆锥底面半径为r，求：全面积16题17题16四边形，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积18题17如图，圆锥形封闭容

51、器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为18如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件19（14分）已知：一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱 （1）求圆柱的侧面积； （2）x为何值时，圆柱的侧面积最大参考答案（一）BDDBC BDDBA（二）11； 12 cm； 138； 14cm3.（三）15解：解：16解：17分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比.解： 小结：此题若用 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用导出来，我们用 的体积之间有比例关系，可以直接求出.18分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂，要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的知识去解.解：如图，过高的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，设，所以式两边平方，把代入得：显然，由于，所以此题当且仅当时才有解.小结：在棱台的问题中，如果与棱台的