高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质互动课堂学案 新人教A版必修

1、1.3 函数的基本性质互动课堂疏导引导1.3.1单调性与最大（小）值1.函数的单调性单调性和单调区间的定义如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.疑难疏引(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某一个区间而言的，有的函数在整个定义

2、域里是增函数（减函数），也有的函数在定义域的某个区间上是增函数，而在另外区间上又是减函数，也存在一些函数，根本就没有单调区间.如函数：f(x)=5x,(x1,2,3）再者，因为一个固定点的函数值不会发生变化，所以函数的单调性不在某一个点去讨论，即使在定义域内，也不可以随便把单调区间写成闭区间（比如一些函数的区间端点正好是不连续的点）.(2)函数的单调性与单调区间的关系函数的单调性是对区间而言的，它是“局部”性质，对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c

3、，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）（c，d）上一定是单调增（减）函数.即函数的单调性是针对定义域内的某个区间而言的，而有些函数在整个定义域内具有单调性.而有些函数在定义域内某个区间上是增函数，在另一些区间上是减函数.（3）函数的单调性所刻画的是当自变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，函数图象能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图象是沿x轴正方向逐渐下降的.案例1如何证明函数y=x+在（1，）上为增函数?【探究】 证明函数的增减性，先在定义域上取x1x2，然后作差f（x1

4、）f（x2），判断这个差的符号即可.设x1、x2是（1，）上的任意两个实数，且x1x2，则f（x1）f（x2）=x1+（x2+）=x1x2+（）=x1x2=（x1x2）（）.x1x20，x1x210，x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.函数y=x在（1，）上为增函数.【溯源】 证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：（1）取值：设x1、x2为该区间内任意的两个值，且x1x2；（2）作差变形：作差f（x1）f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；（4）判断：根据定义

5、作出结论.疑难疏引讨论函数yf(x)的单调性时要注意两点：(1)若u(x)，yf（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则yf(x)为增函数；(2)若u(x)，yf(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则yf(x)为减函数.若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相同的单调性；C0时，函数f(x)与Cf(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)0，则函数f(x)与具有相反的单调性.(4)若函数f(x)、g(x)都是增(

6、减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5)若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；若f(x)0，g(x)0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)是减(增)函数.案例2求下列函数的单调增区间：（1）y=x22|x|3;（2）y=x-;（3）已知函数f(x)在其定义域-4,4上是增函数，求f(x2-2x)的增区间.【探究】 （1）可画图判断，（2）和（3）都不能画图，（2）可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-相加得到，（3）是复合函数fu(x)的形式，其中u(x)=x2-2x.（1）如图.可判断函数

7、的单调增区间是（，1）,（0，1）.（2）g(x)=x在R上是增函数，t(x)=-在区间（-,0），（0，+）上是增函数，所以y=x-的增区间是（-,0）和（0，+）.（3）由函数定义域知-4x2-2x4，所以1-x1+，二次函数y=x2-2x的单调增区间为（1，+），所以原函数的增区间为（1，1+）.【溯源】 判断复合函数单调性的步骤：(1)分解函数成简单函数的形式；(2)求出函数的定义域;(3)利用同增异减判断.(4)找出区间和定义域取交集.2.函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)=M.那么我们称M

8、是函数y=f(x)的最大值.案例3已知函数f（x）=，x1，+）.（1）当a=时，求函数的最小值；（2）若对任意x1，+），f（x）0恒成立，试求实数a的取值范围.【探究】 先来解决第（1）问，当a的值给定时，函数变为f（x）=x2，它类似于函数f（x）=x，所以可以利用函数的单调性来判断最值.（1）当a=时，f（x）=x2.f（x）在1，+）上为增函数，所以f（x）在1，+）上的最小值为f（1）=.（2）f（x）=x2，x1，+）.当a0时，函数f（x）的值恒为正.当a0时，函数f（x）在1，）上为增函数，故当x=1时，f（x）有最小值3a，于是当3a0时，函数f（x）0恒成立，故0a3.综

9、上，可知当a3时，f（x）0恒成立.【溯源】 如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.案例4二次函数yx22ax3，x1，2，试求函数的最小值.【探究】 首先观察到函数图象过（0，3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.yx22ax3（xa）2a23，当a（2，），即a1时，函数的最小值为f（1）2a2；当a1，2，即2a1时，函数的最小值为f（a）a23.【溯源】 二次函数带参

10、求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解.案例5设函数f（x）在定义域R上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，求：f（1）及f（）.【探究】 这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求f（1）的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=，y=1，得f（1）=0.f（）=1，f（）=2.【溯源】 函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给

11、出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等.1.3.2奇偶性1.定义一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点

12、不对称，那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.2.奇偶性函数的几个性质(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)可逆性：f(-x)=f(x)f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数；(4)等价性：f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0；(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.疑难疏引（1）判断函数的奇

13、偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)f(x)0或1(f(x)0)来代替.（2）存在既奇且偶函数，例如f(x).当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.3奇函数和偶函数的判断(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调

14、性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x)+.(5)若f(x)是(-a,a)(a0)上的奇函数，则f(0)0.(6）记忆口诀：增函数，减函数，函数作差要记住；正号增，负号减，增减函数很简单.往上增，往下减，增减趋势正相反；奇函数，偶函数，函数奇偶看f.同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇.对折偶，旋转奇，图象重合在一起.疑难疏引判断奇偶函数的常见方法：(1)定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x1，1)，既非奇函数又非偶函数.(2)特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f(1)=f(1)f(

15、1)=f(1)，则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面，若f(1)f(1)f(1)f(1)，则f(x)一定不是偶(奇)函数.(3)和、差法，若f(x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)=0，则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.(4)比值法，若f(x)f(x)=1(或1)，则f(x)为偶(或奇)函数.(5)图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.案例1已知函数f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）x32x21，求f（x）在R上的表达式.【探究】 题目已经给出x0时的解析式，只要求出x0和x0时的解析式就可以了.f（x）x32x21.f（x）为奇函数，

16、f（0）0.设x0，则x0，f（x）（x）32（x）21x32x21.又根据f（x）为奇函数，有f（x）f（x）.f（x）x32x21.f（x）x32x21.因此，【溯源】 把最后结果写成f（x）x32x21和f（x）x32x21就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x0也是常见错误.案例2已知f（x）是奇函数，在（1，1）上是减函数，且满足f（1a）f（1a2）0，求实数a的范围.【探究】 要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.由f（1a）f（1a2）0，得f（1a）f（1a2）

17、.f（x）是奇函数，f（1a2）=f（a21）.于是f（1a）f（a21）.又由于f（x）在（1，1）上是减函数，因此解之，得0a1.【溯源】 利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.1. 证明函数f（x）=x在0，+）上是增函数.【思路解析】 判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手.【答案】 证明：设x10，x20，且x1x2，则f（x1）f（x2）=x1x2=.0x1x2，x1x20.f（x1）f（x2）0，即f（x1）0，f（x1）f（x2）0，

18、即f（x1）f（x2）.故f（x）=x31在（，0）上是减函数.同理，可证当x（0，）时，函数f（x）仍然是减函数.3. 函数f(x)=-x2+2x+8，则下列说法正确的是 ()A. f(x)是增函数B. f(x)在(-,1)上是增函数C. f(x)是减函数D. f(x)在(-,1)上是减函数【思路解析】 本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x2+2x+8是二次函数，在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.所以解答此题的关键是确定对称轴.根据二次函数对称轴的公式x=-可求.解法一：（综合法）依题意得，函数f(x)=-x2+2x+8的对称轴方程为x=

19、-=1.又二次项系数为-10，开口方向向下.f(x)在(-,1)上是增函数，在(1,+)上是减函数.因此，选B.解法二：（数形结合法，图象法）如图所示，便知f(x)在(-,1)上是增函数.因此，选B.【答案】 B4. 设f（x）、g（x）都是单调函数，下列四个命题中正确的是()若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递增;若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递增;若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）g（x）单调递减;若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）g（x）单调递减.A.B.C.D.【答案】 C5. 讨论函数f(x)=(a)

20、在(-2,+)上的单调性.【思路解析】 只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.【答案】 设-2x1x2，则x=x1-x20.f(x)=a+.y=f(x2)-f(x1)=(a+)-(a+)=(1-2a)(-)=(1-2a).又-2x1x2，0，即a时，y0,即f(x2)f(x1).当1-2a时，y0,即f(x2)f(x1).当a时，f(x)=在(-2,+)上为增函数.6. 已知函数f(x)=2x2-5x-3，求函数y=f(x)的单调区间.【思路解析】 可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成

21、的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集【答案】 当x3,+)时，函数f(x)=为增函数；当x(-,-时，函数f(x)= 为减函数.7. 求函数y=x-x-1的值域.【答案】 原函数定义域为x|x1.因为y=在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是(0,1.8. 利用单调性求函数y=x的值域.【思路解析】 本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.【答案】 定义域为x|x，y=x以及y=1-2x均在（，）上递增，y=x1-2x在（，）上递增，f（x）f（）=.y=x1-2x的值域为（，.9. 已

22、知二次函数yx22ax(a2)在x1，2上有最大值4，求实数a的值.【思路解析】 该二次函数的图象开口向下，因而若xR，则y(xa)2a2a2,即当xa时，y maxa2a2,目前规定x1,2,解题时应分a1,2以及a1,a2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.【答案】 yx22ax(a2)（xa）2a2a2,若a1,2,则当xa时，y maxa2a2,由题意知a2a2=4,而a2a60,a=-3或a2,a1,2,a2符合条件.若a1，二次函数yf(x)在a,)上单调递减，即在1，2上单调递减，当x1时，y max1,2aa2a3,由a34，得a7(1),a7符合条件.若a2,则二次

23、函数yf(x)在1,2上单调递增，当x2时，y max44aa25a6.由5a64得a2(2),此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或7.10. 已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10，求f(2)的值.【思路解析】 观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数，所以x+ax3+bx也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.【答案】 构造函数g(x)=f(x)+8，则g(x)=x5+ax3+bx一定是奇函数.又f(-2)=10，g(-2)=18.11. 若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m，值域为-,-4，则m的取值范围是()A. (0, 4B.

24、 , 4C. , 3D. , +)【思路解析】 首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况. y=x2-3x-4=(x-)2-.对称轴为x=,m,3.【答案】 C12. 若函数f(x)在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f(x)在区间（a，c）上()A. 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D. 无法确定增减性【思路解析】 考查单调性定义，即x=b时可能无定义.【答案】 D13. 下列四个函数中是奇函数的是()A. f(x)= B. f(x)=x3+xC. f(x)=x -2+x -1D. f(x)=2x+1【思路解析】 判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.A选项的定义域是（-，0）（0，+）关于原点对