高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修

1、4.1.1导数与函数的单调性学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正1，)上单调递增正正R上单调递增负负(0，)上单调递减负负(0，)上单调递减负负(，0)上单调递减梳理一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上(1)如果f(x)0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f(x)00锐角上升单调递增00(f(x)0，解f(x)0，得x.由x0，解f(x)0，得0x0，函数在定义域内的解

2、集上为增函数.(4)解不等式f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，得x3.又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2，3).命题角度2证明函数的单调性例3证明函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数.证明由题意，得f(x).0x2，ln xln 20，f(x)0.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)f(x)g(x).(2)求导：F(x)f(x)g(x).(3)判断函数的单调性.

3、(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)g(x).跟踪训练3证明：函数f(x)在区间上是减少的.证明f(x)，又x，则cos x0，所以xcos xsin x0，所以f(x)0，所以f(x)在上是减少的.类型三含参数函数的单调性例4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是_.答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立.由于k，而00时，函数的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，).反思与感悟(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常

4、归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意；先令f(x)0(或f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)递减递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，).(2)由g(x)x22aln x

5、，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1，2上的单调减函数，则g(x)0在1，2上恒成立，即2x0在1，2上恒成立，即ax2在1，2上恒成立.令h(x)x2，则h(x)2x(2x)0，解得x2.f(x)的单调递增区间是(2，).2.函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是()A.，12，3)B.1，C.(，)1，2D.(，1)，3答案A解析求f(x)0的解集，即求函数f(x)在(，3)上的单调减区间.由题干图像可知yf(x)的单调减区间为，1，2，3).3.若函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，则m的取值范围

6、是()A.m B.mC.m D.m答案A解析函数f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，f(x)3x24xm0在R上恒成立，则判别式1612m0，即m.4.若函数yf(x)a(x3x)的单调减区间为，则a的取值范围是_.答案(0，)解析f(x)a(3x21)3a(x)(x)，令f(x)0，由已知得x0.5.已知a0且a1，证明：函数yaxxln a在(，0)上是减少的.证明yaxln aln aln a(ax1)，当a1时，因为ln a0，ax1，所以y0，即y在(，0)上是减少的；当0a1时，因为ln a1，所以y0和f(x)0恒成立即可，只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立.

7、2.下列函数中，在(0，)上是增函数的是()A.ysin x B.yxexC.yx3x D.yln xx答案B解析显然ysin x在(0，)上既有增又有减，故排除A；对于函数yxex，因为ex恒大于零，易知yxex在(0，)内为增函数；对于C，y3x213(x)(x)，故函数在(，)，(，)上为增函数，在(，)上为减函数；对于D，y1 (x0).故函数在(1，)上为减函数，在(0，1)上为增函数.故选B.3.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数f(x)的图像可能是()答案C解析原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x0；当x0时，f(x

8、)的符号变化依次为，.故选C.4.函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()A.a0 B.a1C.a0时，显然不合题意，当a0时，成立.故a0.5.函数f(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能是()A.yx22x B.yx3x2C.yx22x D.yx3x2答案B解析由题图知f(x)0时，x12，x20，由此可知B正确.6.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)0，则g(x)x2f(x)在(，0)内的单调情况一定是()A.单调递减 B.单调递增C.先增后减 D.先减后增答案B解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f(x)0.又因为g(x)

9、2xf(x)x2f(x)，所以当x(，0)时，g(x)0恒成立，所以g(x)x2f(x)在(，0)内单调递增.7.函数f(x)sin x2xf()，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()A.f(a)f(b) B.f(a)f(b)C.f(a)f(b) D.f(|a|)f(b)答案A解析f(x)cos x2f()，f()cos2f()，解得f()，f(x)sin xx，由f(x)cos x10知函数f(x)为减函数，而f(log32)，即f(a)f(b).二、填空题8.已知函数f(x)kex1xx2(k为常数)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为_.答案(，0)解析f(x)kex11x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上是增加的，m2.10.函数f(x)的图像如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_.答案(3，1)(0，1)解析由题图知，当x(，3)(1，1)时，f(x)0，故不等式0，得x，f(x)的增区间是(，)，由f(x)0，得0x，f(x)