专题07 极坐标系与参数方程-2018年高考数学考前回归课本之典型考点练习指导 Word版含解析

1、专题七 极坐标系与参数方程【高考考点再现】极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目，主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中

2、的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从专题的典型考点进行分析。【典型考点分析】（一）两种“互化”及其应用【例题1】（2013年高考全国课标卷23） 已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .()把C1的参数方程化为极坐标方程；()求C1与C2交点的极坐标(0,02) ()的普通方程为. 由 解得或所以与交点的极坐标分别为，.【名师点评】

3、本题主要考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及利用“互化”解决有关曲线交点的问题.解题的关键在于两种“互化”相关公式的理解与熟练掌握.（二）利用参数方程解决问题【例题2】已知圆锥曲线和定点是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线的直角坐标方程；（）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值【解析】（）曲线可化为焦点为经过和的直线方程为即 【名师点评】本题主要考查参数方程与直角坐标方程互化及直线参数方程的几何意义，其第（）问解题的关键是构建用于解决问题的直线的参数方程，并利用参数的几何意义求解. 特别应注意由于的符号判断

4、错误引起的失分.【例题3】（2014年全国课标卷23） 已知曲线，直线（为参数）（）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任意一点作与夹角为30的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】（）曲线的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为：. （）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，则，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 【名师点评】本题解题的关键之一在于将的最值问题，转化为点P到直线的距离的最值问题，其二在于确定P点的坐标形式，通过椭圆的参数方程设点，进而利用三角函数有界性解决问题，解题过程轻松、快捷.（三）利用的几

5、何意义解决问题【例题4】(2016年高考全国卷22)在直角坐标系中，圆的方程为（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，求的斜率 （四）极坐标与参数方程的综合应用【例题5】（2018宁德市第一次质检卷22）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列（）求点的轨迹的直角坐标方程；（）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值【解析】（1）设，则由成等比数列，可得，即，又满足，即，故的直角坐标方程为 【典型考点过关练习】一、

6、解答题1在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；（2）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.【答案】（1）直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆；（2）或【解析】分析：（1）直接利用极坐标的公式把的极坐标化成直角坐标，并写出它的形状.（2）先把直线的参数方程代入的直角坐标方程，得到，再把韦达定理代入得到或.详解：（1）由得，所以.将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆. （2）将代入整理得.设对应的参数分别为，则是方程的两根，所以，因为，

7、所以，所以,所以，即，所以或. 点睛：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线的参数方程和参数t的几何意义，意在考查极坐标参数方程基础知识和计算能力,属于基础题.2选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）设分别交于点，求的面积.【答案】（1）,（2） （2）依题意，设点的坐标分别为，将代入，得将代入，得所以，依题意得，点到曲线的距离为所以. 点睛：该题属于选修内容，在解题的过程中，第一问比较常规，按照公式就能求得结果，第

8、二问在解题的过程中，用极坐标中的几何意义来求得三角形的底边长，是比较新颖 的，在求高的时候紧抓图形的特征，解法好.3在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线的交点为是曲线上的动点,求面积的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】分析：（1）消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）由（1）知，将直线的参数方程代入圆的普通方程，求得，求得，再求得圆心到直线的距离，即可求解三角形的面积.详解：(1)由消去得，所以直线的普通方

9、程为.由，得.将代入上式，得，即.所以曲线的直角坐标方程为. 点睛：本题考查了极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，其中化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.4已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）写出曲线和直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求.【答案】（1）；（2）【解析】

10、分析：(1)把曲线的参数方程化为普通方程，将代入上式得曲线的极坐标方程，同理易得直线的极坐标方程；（2）设两点对应的极径分别为，.详解：（1）依题意，曲线，即，将代入上式得，因为直线，直线，故直线的极坐标方程为.（2）设两点对应的极径分别为，在中，令得，令得，因为，所以.点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.5选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲

11、线的参数方程为为参数， ).以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线上一点的极坐标为，曲线的极坐标方程为.()求曲线的极坐标方程；()设点在上，点在上（异于极点），若四点依次在同一条直线上，且成等比数列,求 的极坐标方程.【答案】（1）.（2） 试题解析：()曲线的直角坐标方程为，化简得,又，所以代入点得，解得或（舍去）.所以曲线的极坐标方程为.() 由题意知,设直线的极坐标方程为，设点,则.联立得， ，所以.联立得， .因为成等比数列，所以，即.所以,解得.经检验满足四点依次在同一条直线上,所以的极坐标方程为.6在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极

12、轴，建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.【答案】（1）曲线的极坐标方程为;(2) .【解析】分析：（1）先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到的极坐标方程； (2)由(1)得, ，因为，则点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用.重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.7在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（ 为参数），为曲线上的动点，动点

13、满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）设， ，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将， 代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.详解：（1）设，

14、，由得.在上即（为参数），消去参数得.曲线是以为圆心，以为半径的圆. 法2：将， 代入并整理得： ，令得.当时， 取得最大值，依题意，.点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.8选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方

15、程；（2）求曲线与曲线交点的极坐标.【答案】（1）曲线的普通方程为（或）曲线的直角坐标方程为.（2）交点极坐标为.【解析】试题分析：（1）先求出t，再代入消元将曲线的参数方程化为普通方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线与曲线交点的直角坐标，再化为极坐标. （2）由得，（舍去），则交点的直角坐标为，极坐标为.9在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.【答案】(1)；(2). (2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：解之得：、，（法二）直线与曲线C1的交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：联立方程可得:、,所以边上的高为，10在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。（1）求的极坐标方程；（2）射线与圆的交点为与直线的交点为，求的范围。