高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数3学案苏教版必修

1、第3课时指数函数的应用1体会指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型2能利用指数函数解决一些实际应用问题以及其他问题1指数函数的一般形式：yax(a0，且a1)2应用题的解题步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答【做一做1】由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经_年后降为2 400元解析：由2 400，得x15.答案：15【做一做2】某种细菌在培养的过程中，每20 min分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 h，这样的细菌由一个分裂为_个答案：512有关指数函数的实际应用问题，最典型的有哪些问题？剖析

2、：1增长率问题：(1)增长率100%；(2)平均增长率问题：如果原来产值的基数为N，平均增长率为p，则对应时间x的产值或产量yN(1p)x.2复利问题：(1)将前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期利息；(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则ya(1r)x.题型一 增长率问题【例1】某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种5年可成材的树木该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满问：哪一种方案可获得较大的成材木材？(参考数据：1.151.6

3、1)分析：根据两种不同的方案，分别列得算式，再作商比较解：设新树苗的木材量为Q，若连续生长10年，木材量为NQ(118%)5(110%)5.生长5年重栽新树苗，木材量为M2Q(118%)5，则1.MN，即生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量反思：本题是有关指数函数的实际应用题，通过作商比较大小是一种重要技巧题型二 指数型函数问题【例2】牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数，若牛奶放在0 的冰箱内，保鲜时间是192小时，而放在22 的厨房中则是42小时(1)写出保鲜时间y(小时)关于温度x()之间的函数关系式；(2)利用(1)中的结论，指出30 和16 时

4、的保鲜时间(精确到1小时)分析：所谓指数型函数，就是指形如ymaf(x)(a0，a1)的形式，本题由此利用待定系数法求之解：(1)根据条件设此函数为ykax，将(0,192)和(22,42)两点代入得解之，得从而y192.(2)当x30时，；当x16时，.所以当温度为30 时保鲜时间约为20小时，当温度为16 时，保鲜时间约为64小时反思：有关函数的应用题，可通过待定系数法求出模型函数的表达式，再用此解答实际问题题型三 含参指数函数的讨论【例3】已知函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上有最大值14，求实数a的值分析：函数ya2x2ax1可通过换元法化归为二次函数，利用二次函数知识求

5、解解：由ya2x2ax1，得y(ax)22ax1(ax1)22，令tax，则y(t1)22.当a1时，因为x1,1，所以t.因为函数y(t1)22的对称轴为t1，所以函数在上为增函数所以当ta时，函数y(t1)22有最大值，即(a1)2214，解得a3.当0a1时，因为x1,1，所以t.因为函数在上为增函数所以当t时，函数y(t1)22有最大值，即2214，解得a.综上可知，实数a的值为3或.反思：本题容易出现以下错误：(1)误认为函数ya2x2ax1在x1,1上就是单调增函数，据此得x1时函数有最大值14，列方程解出a.(2)令tax，x1,1，不论0a1还是a1，就认为t的取值范围是a1，

6、a，由此作为外层函数的定义域引出错误1由于技术的改进，某厂从2008年起，两年来产值平均每年比上一年提高12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计_年该厂年产值可比2008年翻一番答案：20142某商品零售价2009年比2008年上涨了25%，现要使2010年比2008年只上涨10%，则2010年应比2009年降价_%.答案：123某林区2008年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3?解：(1)y200(15%)x，其中xN*.(2)由题意，200(15%)x300，xN*，解得x9，xN*.