第2章 平面任意力系的平衡及应用

1、第二章 平面任意力系的平衡及应用本章将介绍平面任意力系的平衡条件及平衡方程，并讨论平衡方程的各种形式及它们的应用，最后介绍考虑摩擦时物体的平衡问题。 第一节 平面任意力系的平衡 一、平面任意力系的平衡条件与平衡方程由第一章可知,平面任意力系简化的结果不外乎是合力、合力偶或平衡三种情况。如果力系平衡，则主矢与主矩必定为零。反之，如果，则力系一定处于不平衡的状态。于是可得到，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。即为 （2-1）建立直角坐标系，可将式（2-1）写成投影式 （2-2） 于是平面任意力系平衡充要条件可以这样具体表达：力系中所有力在两个任选的坐标轴上的

2、投影的代数和分别等于零，且各力对于作用面上任意一点之矩的代数和也等于零。平衡条件对于工程构件的设计计算具有重要意义。式(2-2)称为平面任意力系平衡方程的基本形式，它包含一个力矩方程，又称为一矩式。三个方程相互独立，可以求解三个未知量。应当指出，投影轴和矩心是可以任意选取的，在实际应用中，选取投影轴应尽可能使每一投影方程中只含一个未知数选取投影轴应尽可能使每一投影方程中只含一个未知量，而矩心则选在未知数最多的交点上而矩心则选在未知量最多的交点上。 二、平面任意力系平衡方程的其他形式 平面任意力系的平衡方程除了式（2-2）的一矩式形式外，还有另外两种形式，即二矩式和三矩式。1、二矩式。平衡方程由

3、一个投影方程和两个力矩方程组成。即 或 （2-3） 应用式（2-3）时应满足条件：矩心A、B的连线不与投影轴垂直。2、三矩式。平衡方程由三个力矩方程组成。即 （2-4） 应用式（2-4）时应满足条件：矩心A、B、C三点不共线。 式(2-3)和式(2-4)中，当满足各自的附加条件时，三个方程也是相互独立的，同样可以求解三个未知量。在某些情况下，应用二矩式或三矩式会比较方便。必须指出，对于单个刚体(或一个研究对象)的平衡问题，任何一种形式的平衡方程最多只有三个是独立的，只能求解三个未知量。如果列出了多于三个的平衡方程则其中必有不独立的方程，或称为无效方程。第二节 三种特殊平面力系的平衡对于平面任意

4、力系，有式（2-1）到（2-4）几种平衡方程的一般表达形式，但针对平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系三种特殊平面力系，有必要根据其平衡条件来讨论平衡方程的具体应用。一、平面汇交力系1、平面汇交力系平衡的解析法一个平面汇交力系，设定其力系汇交点为A点，则在式（2-2）中对于方程，O点的选取是任意的，如果就选在A点，可以判断该方程一定是一个无效方程，因为该力系对其汇交点而言转动效应恒为零。故平面汇交力系平衡的充要条件为：各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零。即 （2-5）上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。例2-1物体重，如图2-1a所示，用绳子挂在支架的

5、滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，转动绞车，物体便能提升。设滑轮的大小及摩擦均略去不计，杆AB、BC的自重也不计，A、B、C三处为铰接。当物体处于平衡时，试求杆AB、BC所受的力。图2-1解：(1) 杆AB、BC均为二力杆，假设它们对滑轮的约束力为拉力，如图2-1b所示，分别为和。(2) 选取滑轮B为研究对象画受力图。滑轮受到绳子两端的拉力，且。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可判定为汇交力系，设定x、y轴，如图2-1c所示。(3)列平衡方程求解。 由 ，有 负号表示与所设方向相反，即CB杆受压为压力。由 ，有 正号表示与所设方向相同，即AB杆受为拉力。2、平面汇交力系平衡的几何法针对平面

6、汇交力系的各个力矢量，式（2-5）的另一种表达形式为，则有平面汇交力系平衡的几何条件为：该力系的力多边形自行封闭。如图1-23所示的平面汇交力系中，四个力的合力为，如该力系还有一个力，大小与相同，方向相反，则该力系的力多边形封闭，起点与终点重合，为一平衡力系。例2-2 试用几何法求解例2-1中杆AB和CB所受的力。解：(1) 取B点为研究对象。(2) 先假定杆AB和CB所受力的方向，画出B点的受力图如图2-1c所示。（3） 如图2-1d所示，取一点a，预先设定比例尺，作力矢ab。接着作力矢bc。然后，过a点做直线平行于AB杆方向，过c点做直线平行于BC杆方向（因为和两力只知其方向，而不知其大小

7、），两直线交点为d。由题意可知abcda必为一封闭的力多边形。其中da，cd （4） 按比例尺量得，。其中的指向与原假设方向相同，为拉力。的指向与原假设方向相反，为压力。结合例题，可以归纳出应用平面汇交力系平衡的几何条件求解的步骤如下：1、根据题意，选取力系汇交点为研究对象。2、分析该点的受力，画出受力图，判明已知力和未知力。3、任取一点，应用平衡几何条件，按比例依次首尾相接画出全部已知力和未知力（如两力的大小未知，方向已知，则作两条方向线找出其交点；如一力的大小、方向均未知，则将该力放在最后,按力多边形的封闭原则进行求解）。4、在封闭力多边形中，找出未知力，判断其正确指向，按比例求出其大小。

8、二、平面力偶系的平衡由力偶的性质可知，力偶对刚体的作用效果只能是使刚体发生转动，而不能使刚体平移。故由多个力偶组成的平面力偶系作用在某刚体上并处于平衡时，也不会产生移动效应。在式（2-2）中，与两个方程恒等于零，是两无效方程。平面力偶系平衡的充要条件是：所有力偶矩的代数和等于零。即 (2-6)该平衡方程只能求解一个未知量。例2-3 如图2-2a所示一四杆机构，已知，作用于杆AB上的力偶矩，。试求维持机构平衡时作用于杆CD上的力偶矩应为多少？解：（1）杆BC两端是铰链连接，不计自重时应为二力杆。分别以杆AB、CD为研究对象，取分离体进行受力分析。对于杆AB而言，只作用了一个力偶，只能用另一力偶去

9、平衡。故A、B两点处的约束反力必形成一力偶，从而定出A点处受力的方向。杆CD同理分析。画出受力图如图2-2b、c所示。（2）由平衡条件列平衡方程：对杆AB ，有 对杆BC 有 对杆CD ，有 图2-2三、平面平行力系的平衡如图2-3所示的平面平行力系中，取x轴与各力垂直，y轴与力系中各力平行。则各力在x轴的投影均为零。图2-3若该平面平行力系为平衡力系，由式（2-2）可知，恒成立，为一无效方程，而独立的平衡方程只有两个，最多只能求解两个未知量。故平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力在与力平行的坐标轴上投影的代数和为零，各力对任意点的力矩代数和也为零。即 （2-7）此为平面平行力系的平衡方程

10、，其中y轴不与各力垂直。也可表示为二矩式 （2-8）其中A、B两点的连线不能与各力平行。 如图2-4所示AB杆上所受的外力也是平面平行力系的例子。在杆件AB上当分布力可以看做沿一轴线作用时，这种分布力称为沿轴线分布的线分布载荷。它以单位长度上力的大小作为载荷集度，以表示，单位是Nm或kNm。 线分布载荷分为均布载荷和非均布载荷，非均布载荷最常见的为线性分布载荷，或称三角形线分布载荷。本书中主要介绍有均布载荷作用的情况。 均布载荷的简化结果为一合力，常用表示，合力的大小等于均布载荷集度与其分布长度的乘积，即。合力的作用点在其分布长度的中点上，方向与方向一致。图2-4例2-4 如图0-1所示为一塔

11、式起重机。机架重，其重心距右轨B点距离为。起重机的最大起重量为，距右轨B点距离为。起重机的平衡配重为，其重心距左轨A点距离为，轨距。试求起重机在满载和空载时都不致翻倒的取值范围。解：(1)取起重机为研究对象，其受力为一平面平行力系(见图0-1)。(2)满载时，起重机欲保持平衡而不向右倾倒，必须满足平衡方程和限制条件，即 由 有 得 (3)空载时起重机欲保持平衡而不向左倾倒，则必须满足平衡方程和限制条件，即由 有 得 因此，欲使起重机安全工作而不致翻倒的平衡配重值应满足如下关系： 第三节 平面任意力系平衡方程的应用在讨论了平面任意力系平衡方程的基本形式及三种特殊平面任意力系的平衡方程后，结合具体

12、问题分单个物体(或单个研究对象)及物体系统两种情形说明平衡方程的应用。平衡方程描述了物体平衡时，各个受力之间应满足的关系。因此对于工程实际问题，可以应用平衡方程来求解工程结构和构件处于平衡时的未知力或解决如物体平衡位置等相关问题。平面任意力系平衡方程的解题步骤如下：1、确定研究对象画出受力图，在受力图上要确定未知力(约束反力)的数目、作用点位置及作用方向。注意选好投影轴，投影轴最好能通过一个或两个未知力。一般水平和铅垂方向的投影轴可以不画，倾斜方向的投影轴则必须画出。2、列平衡方程求解可按选好的投影轴列出投影方程，并按选好的矩心列出力矩方程求解。为避免解联立方程，尽量做到用一个方程解一个未知力

13、，除选好投影轴之外，还应注意尽量选择两个未知力的交点为矩心。3、对结果进行讨论 在计算结果中如果力出现负号，说明受力图中假设的力的指向与真实指向相反；如果无负号，说明与真实指向相同。例-5 如图2-5a所示为一悬臂粱梁，长为，作用均布载荷，在B端作用集中力和力偶。求粱梁固定端A处的约束反力。图2-5解： （1）取粱梁AB为研究对象， A端为固定端约束，有两约束反力、和一约束力偶，均布载荷简化为一合力作用在杆件的中点处。画受力图，如图2-5b所示。 （2）由平衡条件，列平衡方程 由 有 由 有 由 有 例2-6 简易起重机如图2-6a所示，横梁AB的A端为固定铰支，B端用拉杆与立柱相连。已知梁的

14、自重，载荷，梁长，。求当载荷离A端距离为时，拉杆BC的拉力和铰支座A的约束反力。 图2-6解：(1)取横梁AB为研究对象，并画其受力图如图2-6b所示，因BC杆为二力杆，拉力沿BC方向。(2)列平衡方程求解 由 有 由 有 由 有 本题中也可先用平衡方程求得，再用、求出和，结果都是一样的。第四节 物体系统的平衡工程中，任何一部机器或一个工程结构都是由若干零件或构件组成的物体系统。通常研究其平衡问题不仅要求出系统所受的未知力，而且还要求出物体间相互作用的内力。为此就要把某些物体从系统中分离出来单独研究。此外，对于物体系统的平衡问题，有时也要把物体分开来研究，才能求出所有未知外力。可见，求解物体系

15、统平衡问题是以求解单个物体的平衡问题为基础的。在求解物体系统平衡问题时，通常要判断问题能否用平衡方程完全解决，为此，首先简单介绍静定与静不定的概念。 一、静定与静不定的概念当系统平衡时，组成系统的每一个物体都处于平衡状态，而每个物体在力系作用下独立平衡方程的数目是确定的。对于物体系统，可列的独立平衡方程的数目就等于组成系统的每个物体可列独立平衡方程的总和。显然，独立方程的数目就代表了能求解的未知量的数目。于是定义，系统中未知量的数目与独立平衡方程的数目相等，所有的未知量可由平衡方程全部求出的问题，称为称为静定问题，相应的结构称为静定结构。系统中未知量的数目多于独立平衡方程的数目，未知量不能全由

16、平衡方程求出的问题，称为称为静不定问题，相应的结构称为静不定结构。图2-7图2-8如图2-7a、b、c所示为静定结构。图2-8a、b、c所示则为静不定结构。静不定结构往往是为了增加构件的刚度和坚固性，提高构件工作的可靠性，故在工程中广泛采用，求解静不定问题，需增加补充方程，这类计算将在后续章节中进行介绍。对于平面问题，若系统中有n个物体，每个物体均受平面任意力系作用，均可列3个独立平衡方程，则系统可列的独立平衡方程数目为3n个，能求解3n个未知量。如图2-9a所示的梁有固定端支座3个约束力，活动支座1个约束力，共计4个，但只能列出3个平衡方程，因此该梁是静不定粱梁。如图2-9b所示的梁由两构件

17、铰接组成，每部分有3个平衡方程，共有6个平衡方程。有固定端支座3个约束力，活动支座1个约束力和中间铰2个约束力，共计6个，因此该梁是静定粱梁。同理可判断图2-10a所示的结构为静定结构。图2-9二、平面物体系统的平衡在求解物体系统的平衡问题时，可以选取每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后联立方程求解。也可先取整个物体系统或部分物体的组合体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程因不包含研究对象内各物体间的相互作用力-内力，因而未知数较少。解出部分未知数后，再从系统中选取某些物体作为研究对象，列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。例2-7 如图2-10a所示为三铰拱桥简图。已知在其上作用均布

18、载荷，跨长为，跨高为。试分别求固定铰支座A、B和铰链C处的约束反力。图2-10解：（1）取整体为研究对象，画出受力图如图2-10b所示。列平衡方程求解 由 有 由 有 由 有 （2）取左半拱AC为研究对象，画出受力图如图2-10c所示。列平衡方程求解由 有 由 有 由 有 例2-8 如图2-11a所示为一静定组合梁，由杆AB和杆BC用中间铰B联接，A端为活动铰支座约束，C端为固定端约束。已知梁上作用均布载荷，力偶，求A、B、C三处的约束反力。图2-11解：（1）取杆AB为研究对象，可知AB杆受力为平行力系，画出受力图如图2-11b所示。列平衡方程求解 由 有 由 有 由 有 （2）取杆BC为研

19、究对象，画出受力图如图2-11c所示。列平衡方程求解由 有 由 有 由 有 负号表示C端约束力偶矩的实际转向与图示假定方向相反。例2-9 物体重，悬挂在支架上，如图2-12a所示。已知，。A、C、D和E均为光滑铰链，B处为活动铰支座。不计杆和滑轮自重，求支座A、B的约束力及BC杆的受力。图2-12解：(1) 确定解题思路：可先取整个支架系统为研究对象，求出支座A和B两处的3个约束力，然后取竖杆CE(带滑轮)或取横杆AB为研究对象，可求出BC杆的受力。(2) 取整个支架系统为研究对象，画受力图如图2-12a12b 所示，图中，并设滑轮半径为r，列平衡方程求解由 有 由 有 由 有 （3）取杆CE

20、和滑轮的构件组合体为研究对象，画出受力图如图2-12b12c 所示。列平衡方程求解由 有 负号表示CE杆上C点受力与图示假定方向相反，也即BC杆受的压力。这里取杆CE和滑轮的组合为研究对象而不是直接对CE杆进行分析，主要是为了避免在E处产生新的不需求的约束反力。 例2-10 如图2-13a所示平面结构，由AB、BC两均质杆在B处用销钉连接(光滑铰链)，A、C两处均为固定铰支座。在销钉B处悬挂一重物。已知重物重，均质杆AB重，BC重。试求销钉B对杆BC的约束反力。图2-13解：（1）由题意分析可知销钉B对BC杆的约束反力对结构整体而言是内力，因此必须将结构拆开以进行研究。 （2）以AB为研究对象

21、，作出受力图如图2-13b所示。列平衡方程由 有 以销钉B为研究对象，。作出受力图如图2-13c所示。列平衡方程由 有 以杆BC为研究对象，。作出受力图如图2-13d所示。列平衡方程由 有 本题也可以考虑用另一种方法求解： 以杆AB和销子B的组合体为研究对象，作出受力图如图2-13e所示。列平衡方程由 有 以杆BC为研究对象，。作出受力图如图2-13d所示。列平衡方程由 有 同样可以求得该解。本题介绍了结构中含有销钉并有集中力作用在销钉上时的求解方法。其中关键是要弄清各部分的受力关系。从以上各例可以看出，求解物体系平衡问题有以下几点需加以注意： 1选取研究对象由于刚体系统的结构和连接方式多种多

22、样，选取研究对象时很难有一成不变的方法，但大体上可遵循4项原则。 （1）如果未知数的求解与系统约束反力有关如果未知量的求解与系统约束反力有关，应先取整体为研究对象，求出能求的系统约束反力。 （2）如果取整体还不能求出要求的未知数如果取整体求解还不能求出要求的未知量，则着眼于待求量，选取与待求量有关、受力简单(最好有已知力作用)的一个刚体或几个刚体的组合体为研究对象，应尽量避开不必求出的未知力。 （3）选择的每个研究对象上未知数的数目最好不要超过此研究对象所能列出的独立平衡方程数目选择的每个研究对象上未知量的数目最好不要超过此研究对象所能列出的独立平衡方程数目，以避免两个研究对象的平衡方程联立求

23、解。 （4）对选取的研究对象进行受力分析，正确画出受力图。受力图上只画外力不画内力，不能漏画，也不能多画。当几个物体分拆后，要注意物体间作用力与反作用力的关系。2列平衡方程根据受力图上不同类型的力系及需求解的未知量的数目，灵活应用平衡方程的各种形式，建立相应的平衡方程，为解题简捷，尽可能使每个平衡方程只包含一个未知量，避免解联立方程。这就应适当选取坐标投影轴和矩心，即坐标轴的选取应尽可能与未知力垂直，矩心可取在两个未知力作用线的交点上。除了建立求解待求量所必需的平衡方程外，其余平衡方程则不必列出。3求解平衡方程若求得的力的方向为负值，则说明力的实际方向(或力偶的转向)与受力图中假设的方向(或转

24、向)相反。若将它代入另一方程求解其他未知量时，负号也应一并代入。 第五节 桁架的内力计算工程中由杆件通过焊接、铆接或螺栓连接而成的结构，称为桁架。房屋建筑、铁架桥梁、电视塔、输变电铁架等常采用桁架结构。各杆件都处于同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件彼此连接的地方称为节点。为了简化计算，在桁架结构中引入几条假设:即所有杆件只在端部连接；所有连接处均为光滑铰链；只在连接处加载；杆的重量忽略不计。这样的桁架，称为理想桁架，组成桁架的杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲。因此桁架中各杆均为二力杆，内力均沿杆件的轴线方向，如图2-14所示。图2-14本节只研究理想桁架中的平面静定桁架。桁架中杆件内力

25、的计算方法，一般有节点法和截面法两种。一、节点法因为桁架中各杆均为二力杆,故每一个节点都是受到一个平面汇交力系的作用。，为了求每一根杆件的内力，可以逐个取节点为研究对象，解出各杆的内力，这种方法称为节点法。由于平面汇交力系只有两个独立平衡方程，故求解时应从只有两个或一个未知力的节点开始。在解题中，各杆的内力均假先设为拉力，结果为正，即杆件受拉；结果为负，即杆件受压。例2-11 平面桁架如图2-15a所示，在节点D处受一集中载荷作用，试求桁架各杆件所受的内力。图2-15解：(1)以整个桁架系统为研究对象，求支座约束反力，画其受力图如图2-15a所示。列平衡方程 由 有 (2)取节点A为研究对象，

26、画受力图如图2-15b所示，列平衡方程由 有 （AC杆受压）由 有 (3)取节点C为研究对象，画受力图如图2-15b所示，列平衡方程 由 有 （BC杆受压）由 有 (4)取节点D为研究对象，画受力图如图2-15b所示，列平衡方程。 由 有 二、截面法如果只要求计算桁架内某几根杆件的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架切开成两部份，不能有任何一根杆件相连。考虑其中一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这种方法称为截面法。取为研究对象的部分杆件(分离体)所受的外力和内力通常为平面任意力系，有三个独立方程，可解三个未知力。因此，一次所截杆件一般不应超过三根。应用截面法也应注意要先对系统进行分析求

27、出其支座约束反力。例2-12 图2-16a所示一桥粱梁桁架中，已知、。求杆1、2、3的受力。图2-16解：(1)取整体为研究对象，先求支座A处的约束反力，画受力图如图2-16a所示，列平衡方程由 有 (2)用一截面假想地把桁架分为两部分，取左边部分为研究对象，画受力图如图2-16b，列平衡方程由 有 由 有 由 有 （1杆受压）第六节 考虑摩擦时的平衡问题摩擦是自然界里普遍存在的现象。在以前两各章中都假设物体之间的接触面是完全光滑的，不考虑摩擦力的作用，这仅仅是当摩擦力远小于其他载荷时，对所研究问题的一种简化。如物体间的接触面较光滑，或者有良好润滑时摩擦力很小，对所研究的问题影响较小时不起重要

28、作用，这样假设是合理的。但在很多情况下，摩擦对物体的平衡有重要影响，这时就必须考虑摩擦。例如，机床上的夹具依靠摩擦来锁紧工件，皮带传动、摩擦轮、摩擦制动器等，都是靠摩擦来工作的。本节就工程问题中常遇到的最基本的滑动摩擦相关概念及其在求解平衡问题中的应用作一简介。一、静滑动摩擦两个相互接触的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势，但保持相对静止时，彼此作用着阻碍相对滑动的阻力，这种力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。 在水平桌面上放一重量为的物块，然后用一根无重细绳跨过滑轮，绳的一端系在物块上，另一端悬挂着放置砝码的盘子，如图2-17所示。物块受到水平拉力的作用,拉力的大小等于砝码的重量，拉力使物块

29、有向右运动的趋势，但当拉力的数值小于某一特定值时，物块仍将保持相对静止。表明有阻力阻碍它向右滑动。力就是静滑动摩擦力，其方向与物体相对滑动趋势的方向相反。其大小可用平衡方程求出由 有 图2-17 可见，静摩擦力的大小随水平力的增大而增大。但是与一般约束反力不同的是，它并不随的增大而无限制地增大，当增加砝码使达到一定数值时，物块处于要滑动但尚未滑动的临界状态，这时只要再增大一点，物块即开始滑动，不再保持平衡。表明当物块处于平衡临界状态时，静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力，以表示。此后若拉力再继续增大，物块与支撑面间将产生相对滑动，静滑动摩擦力也就变成了动滑动摩擦力。这是静摩擦力与一般约束反力

30、不同的性质。 静滑动摩擦力的性质可概括如下： (1)当物体与约束面之间有正压力并具有相对滑动趋势时，沿接触面切线方向产生静滑动摩擦力。摩擦力的方向与物体滑动趋势相反。(2)静摩擦力的大小由平衡条件确定，其数值在零与最大值之间，即 （2-9）当物体处于静止到运动的临界状态时，摩擦力达到最大值。 大量的实验证明，最大静滑动摩擦力的大小与接触面之间的正压力成正比 （2-10）式中，是比例常数，称为静摩擦系数，是无量纲量。 式(2-10)揭示的规律称为静摩擦定律，又称库仑摩擦定律。静摩擦系数的大小要由实验测定，它与接触物体的材料、接触面粗糙程度、温度、湿度和润滑情况等因素有关，一般情况下与接触面积的大

31、小无关。静摩擦系数数值可在工程手册中查到，下面列出几种常用材料的摩擦系数。钢-钢 =0.10.2钢-铸铁 =0.20.3钢-铜 =0.10.5对于动滑动摩擦，同样可建立与静摩擦类似的定律，以公式表示为 式中，称为动摩擦系数。实验证明略小于，一般亦可在工程手册中查出。二、摩擦角的概念当物体受外力作用而产生相对滑动趋势时，如果将物体所受到的法向反力与静摩擦力合成为一个力，如图2-18a所示，则力称为全约束反力，简称为全反力。全反力代表了支承面对物体的全部约束反力。图2-18当静摩擦力达到最大，即时，与之间的夹角达到最大值，称为摩擦角，如图2-18b所示。它与静摩擦系数的关系是 （2-11）式（2-

32、11）表示摩擦角的正切等于静摩擦系数。故摩擦角也是反映物体间摩擦性质的物理量。如果主动力的合力（如图2-18a中与的合力）的作用线在摩擦角范围内，则不论的数值有多大，物体总处于平衡状态。这种现象在工程上称为“自锁”。如图2-19所示，当时，物体处于平衡状态，也就是自锁；当时，不论的数值有多小，都会打破平衡状态，开始运动。工程中可以利用这一原理设计一些机构和夹具，使其自动卡住。图2-19根据摩擦角的概念利用斜面可以用来测定摩擦系数。如图2-20所示物块放在一倾角可以改变的斜面上，当物块平衡时，全约束反力应铅垂向上与自重相平衡。此时与斜面法线之间的夹角等于斜面的倾角。如果逐渐增大角，直到物体处于将

33、动未动的临界状态，此时测出的角就是物块与斜面间的摩擦角。这样就可用式（2-11）计算出静摩擦系数。图2-20三、考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时平衡问题的求解与不考虑摩擦时平衡问题的求解并无原则上的差别，它们都需满足力系的平衡条件，只是在进行物体受力分析时，必须考虑摩擦力。根据静摩擦力的性质，摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，它的大小在零与最大值之间，是个未知量。要确定这些新增加的未知量，除列出平衡方程外，还需要列出补充方程，即。 工程实际中，所遇到的问题常有两种情况：一是物体处于平衡的临界状态，这时摩擦力等于最大值，即。二是物体处于平衡，由于摩擦力在的范围内，故而平衡也具有一定的范围。因此

34、将上述两种情况分析分别称为临界分析和平衡范围分析。有时为了方便，可先按平衡临界状态计算，求得结果后再进行分析讨论。求解考虑摩擦时的平衡问题，几何法或者是解析法都可以使用。当物体受力较多时，使用解析法较为方便，且能保证精度。例2-13 重的物块放在一倾角为的斜面上,并受一水平力的作用,如图2-21所示.设接触面的静摩擦系数。试求：（1）物块在斜面上是静止还是滑动？如是静止，摩擦力的大小、方向如何？（2）如需满足物块在斜面上静止，水平力的大小应为多少？图2-21解：分析这一类问题，可先假定物块静止，算出此情况下应具有的摩擦力的值，然后与可能产生的最大静摩擦力相比较，就可判断物块滑动与否。（1）取物

35、块为研究对象。画出如图2-21a所示受力图，此时的方向是假设的。建立坐标系，假定物块静止且处于平衡，根据平衡条件列出平衡方程 由 有 由 有 最大静摩擦力 由于，因此物块在斜面上处于静止状态。摩擦力的大小为，方向沿斜面向上（与假设方向相同）。（2）当物块处于即将向下滑动的临界状态时，受力图如图2-21b所示。 由 有 由 有 联立上三式求解得 也就是说水平力必须大于，才能阻止物块下滑。如的值过大，物块处于即将向上滑动的临界状态时，此时的受力方向如图2-21c所示。 由 有 由 有 联立上三式求解得 也就是说水平力必须小于，才能使物块保持静止。综上分析，可知力的值必须在以下范围内，才能使物块保持

36、静止。 此题也可以利用摩擦角的概念求解。当物块处于即将向下滑动的临界状态时，由、与全反力组成三力平衡，如图2-22所示。图2-22 同理当物块处于即将向上滑动的临界状态时，受力图如图2-23所示。图2-23得到 参照此方法读者可自行思考，当物块处于既没有向上也没有向下运动趋势的静止状态时，该状态的力三角形形状如何。可见用平衡方程求解或用摩擦角概念的几何法求解，其结果完全相同。 例2-14 梯子长，重，靠在光滑墙上并和水平地面成，如图2-24a所示。已知地面与梯子间的摩擦系数。问重的人能否爬到梯子顶端而不致使梯子滑倒?并求地面对梯子的摩擦力。假定梯子的重心在其中点C。图2-24解：由题分析可知人

37、在爬梯子时，因墙面为光滑，可以判定梯子运动趋势的方向。现假设人站在上端时仍能使梯子不致滑倒且处于平衡。取梯子AB为研究对象，受力如图2-24b所示。梯子受平面任意力系作用，只有三个未知力：约束反力、及摩擦力，故可由平衡条件列出平衡方程由 有 由 有 由 有 (该值也可不求)列出补充方程最大静摩擦力 （由于和大小和方向都不变，为一定值，故值不变。）由于人爬到梯子顶端时维系梯子平衡所需的摩擦力小于最大静摩擦力，表明人爬到梯子顶端仍能保持平衡而不滑动，此时由上述平衡方程求出的摩擦力的大小也就是梯子与地面间的摩擦力的大小。 如果求出的摩擦力大于最大静摩擦力，则上述解不能成立。因为人还未爬到顶端，摩擦力

38、就超过最大静摩擦力，梯子不能保持平衡而滑动。 小 结1、平面任意力系的平衡方程力系类型平面任意力系平面平行力系汇交力系力偶系平衡方程基本形式二力矩式三力矩式基本形式二力矩式限制条件X轴不与AB连线相垂直A、B、C三点不共线AB连线不与各平行力相平行可求未知数个数33322212、应用平面力系的平衡方程，可以求解单个物体和物体系统的平衡问题，求解时应先确定好解题方案，然后根据选定的顺序逐个选取研究对象，画出受力图，列平衡方程求解。注意选择好投影轴和矩心，力求做到一个方程只含一个未知量，尽量避免解联立方程。 3、静定与静不定的概念。在平衡问题中，若未知量的数目不超过所能建立的独立方程的数目，称为静

39、定问题；否则，就称为静不定问题。4、平面静定桁架的各杆均为二力杆，求解桁架问题可用节点法和截面法两种方法。5、摩擦力的方向与物体滑动趋势相反，大小由平衡条件确定，其数值在零与最大值之间，即 。当物体处于静止到运动的临界状态时，摩擦力达到最大值。摩擦角是反映物体间摩擦性质的物理量，。6、考虑摩擦的平衡问题求解时，应认识到摩擦力是一个范围值。掌握工程中所涉及到的临界分析和平衡范围分析的计算方法。思考题与习题2-1 试解释应用二矩式方程时,为什么要加上两矩心A、B连线不能与投影轴垂直？应用三矩式方程时为什么要加上三个矩心A、B、C不能在同一条直线上？2-2如图2-25所示，在自重不计的T形杆ABC上

40、：(1)能否在A、B或A、C或B、C两点上各施一力，使它处于平衡状态？(2)能否在A、B、C三点各施一力，使它处于平衡状态？图2-252-3试判断如图2-26所示的各结构是静定还是静不定结构？图2-26 2-4在如图2-27所示桁架结构中，不经计算，能否直接找出内力为零的杆件（零杆），并确定它们的数目。图2-272-5如图2-28所示两物块重为，与地面间的摩擦系数为。欲使物块向右滑动，哪种施力方法省力？若要最省力，角应为多大？图2-282-6如图2-29所示结构中，在构件BC上分别作用一力偶和一个外力，问当求铰链A、B、C三处的约束反力时，能否将力偶和外力分别移到构件AC上，为什么？图2-292-7如图2-30所示夹紧机构中，已知油缸直径，油压，试求在时所能产生的夹紧力值？图2-302-8如图2-31所示某夹具所用的一种增力机构，已知推力作用于A处，夹紧平衡时杆与水平线的夹角为。试求夹紧时力的大小和时的增力倍数为多大？图2-312-9如图2-32所示一电缆盘受重力，直径，要越过的