数学复习全书提纲

1、第一篇 高等数学第一章 极限、连续与求极限的方法一、 极限的概念与性质（一） 极限的定义（二） 极限的基本性质与两个重要极限二、 极限存在性的判别（极限存在的两个准则）（一） 夹逼定理（二） 单调有界数列必收敛定理（三） 单侧极限与双侧极限的关系（四） 证明一元函数的极限不存在常用的两种方法三、 无穷小及其阶（一） 无穷小与无穷大的定义（二） 无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系（三） 无穷小阶的概念（四） 重要的等价无穷小（五） 等价无穷小的重要性质（六） 确定无穷小阶的方法四、 求极限的方法（一） 利用极限的四则运算与幂指数运算法则求极限（二） 利用函数的连续性求极限（三） 利用变量替换法与

2、两个重要极限求极限（四） 利用等价无穷小因子替换求极限（五） 利用洛必达法则求未定式的极限（六） 分别求左右极限求得函数极限（七） 利用函数极限求数列极限（八） 用夹逼法求极限1 简单的放大缩小手段2利用极限的不等式性质进行放大或缩小2 对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小（九） 递归数列极限的求法（十） 利用定积分求某些n项和式的极限（十一） 利用泰勒公式求未定式的极限（十二） 利用导数定义求极限五、 函数的连续性及其判断（一） 连续性的概念（二） 间断点的定义与分类（三） 判断函数的连续性与间断点的类型（四） 连续函数的性质常考题型与其解题方法与技巧题型一 求0/0 或者无穷大比无穷

3、大未定式的极限题型二 求0乘无穷大或无穷大乘无穷大的极限题型三 求指数型未定式的极限题型四 求含变限积分未定式的极限题型五 由极限值确定函数式中的参数题型六 利用适当放大缩小法求极限题型七 求n项和数列的极限题型八 求n项积数列的极限题型九 利用函数极限求数列极限题型十 无穷小的比较与无穷小阶的确定题型十一 讨论函数的连续性与间断点的类型题型十二 有关连续函数性质的命题第二章 一元函数的导数与微分的概念及其计算一、 一元函数的导数与微分（一） 导数的定义、几何意义与力学意义（二） 单侧可导与双侧可导的关系（三） 可微的定义、微分的几何意义及可微、可导与连续之间的关系（四） 函数在区间上的可导性

4、、导函数与高阶导数（五） 奇偶函数与周期函数的导数性质二、 按定义求导数及其适用的情形（一） 按照定义求导数（二） 按照定义求导数适用的情形（三） 利用导数定义求极限三、 基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则（一） 基本初等函数导数表与求导法则（二） 导数与微分的四则运算法则（三） 复合函数的微分法则（四） 初等函数求导法四、 复合函数求导法的应用由复合函数求导法则导出的微分法则（一） 幂指数函数的求导法（二） 反函数求导法（三） 由参数方程确定的函数的求导法（四） 变限积分的求导法（五） 隐函数微分法五、 分段函数求导法（一） 按照求导法则分别求函数在连接点处的左右导数（二

5、） 按照定义求连接点处的导数或左右导数（三） 连接点是连续点时，求导函数在连接点处的极限值六、 高阶导数及n阶导数的求法（一） 归纳法（二） 分解法1 有理函数与无理函数的分解2 三角函数的分解（三） 用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数七、 一元函数微分学的简单应用（一） 平面曲线的切线与法线1 用显示方程表示的平面曲线2 用参数方程表示的平面曲线3 用极坐标方程表示的平面曲线4 用隐式方程表示的平面曲线（二） 用导数描述某些物理量常考题型与其解题方法与技巧题型一 有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二 一元函数可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论题型三 求各类一元函数的导数或微分题型四 变限

6、积分的求导题型五 一元函数与求微分的综合题题型六 求一元函数的n阶导数题型七 一元分段函数的可导性与导函数连续性等命题的讨论题型八 一元函数导数概念的应用第三章 一元函数积分概念、计算及应用一、 一元函数积分的概念、性质与基本定理（一） 原函数与不定积分的概念与基本性质（二） 定积分的概念与基本性质（三） 基本定理（四） 奇偶函数与周期函数的积分性质（五） 利用定积分求某些n项和式数列的极限二、 积分法则（一） 分项积分法（二） 分段积分法（三） 换元积分法（四） 分部积分法三、 各类函数的积分法（一） 有理函数的积分（二） 简单无理函数的积分（三） 三角有理式的积分四、 反常积分（广义积分）

7、（一） 无穷限反常积分的概念（二） 无界函数反常积分的概念（三） 几个常见的反常积分（四） 反常积分的计算五、 积分学应用的基本方法微元分析法六、 一元函数积分学的几何应用（一） 平面图形的面积（二） 平面曲线的弧微分与弧长（三） 平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径（四） 空间图形的体积（五） 旋转面的面积七、 一元函数积分学的物理应用（一） 液体的静压力（二） 引力问题（三） 变力做功（四） 质心与形心问题（五） 函数在区间上的平均值常考题型与其解题方法与技巧题型一 有关原函数与定积分的概念题型二 积分值的比较或积分值符号的判断题型三 估计积分值题型四 有关原函数的存在性问题题型五 求分段积分

8、的原函数题型六 各类被积函数不定积分的计算题型七 各类被积函数定积分的计算题型八 利用若干积分技巧计算积分题型九 求形如 的积分题型十 由函数方程求积分题型十一 反常积分的技术题型十二 证明积分等式题型十三 证明积分不等式题型十四 关于变限积分的讨论题型十五 一元函数积分学的几何应用题型十六 一元函数积分学的物理应用题型十七 综合题第四章 微分中值定理及其应用一、 微分中值定理及其应用（一） 极值的定义（二） 微分中值定理及其几何意义二、 利用导数研究函数的变化（一） 函数为常数的条件与函数恒等式的证明（二） 函数单调性充要判别法（三） 极值点充分判别法1 极值第一充分判别定理及其几何意义2

9、极值第二充分判别定理及其几何意义（四） 凹凸性充要判别定理及其几何意义（五） 拐点判别法 1 拐点的定义2 拐点的必要条件3 拐点的充分判别定理（六） 利用导数做函数图形三、 一元函数的最大值与最小值问题常考题型与其解题方法与技巧题型一 证明函数恒等式题型二 利用导数讨论函数的变化1 证明函数的单调性与凹凸性2 讨论函数的极值3 求函数的单调性、凹凸性区间，极值点，拐点及渐近线题型三 求指数型未定式的极限1 函数型的最值问题2 应用型的最值问题题型四 与最值问题有关的综合题题型五 用微分学的方法证明不等式1 直接利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式2 利用函数的单调性证明不等式3 利用

10、函数的最大值或最小值证明不等式4 引进辅助函数把证明常值不等式转化为证明函数不等式5 利用函数的凹凸性证明不等式题型六 讨论函数的零点题型七 用微分中值定理证明函数或其导数存在某种特征点第五章 一元函数的泰勒公式及其应用一、 带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式二、 带皮亚诺余项的泰勒公式的求法（一） 泰勒公式的唯一性（二） 求泰勒公式的方法三、 一元函数泰勒公式的若干应用常考题型与其解题方法与技巧题型一 求泰勒公式题型二 用泰勒公式求极限确定无穷小的阶题型三 用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点题型四 有关泰勒公式的中值的性质第六章 微分方程一、 基本概念二、 一阶微分方程三、

11、可降阶的高阶方程四、 线性微分方程解的性质与结构五、 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程六、 二阶常系数非齐次线性方程七、 含变限积分的方程常考题型与其解题方法与技巧题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解题型二 通过简单代换化变量可分离的方程的求解题型三 一阶线性方程与可化为一阶线性方程的求解题型四 全微分方程的求解题型五 可降阶的高阶微分方程的求解题型六 二阶线性常系数方程的求解题型七 特殊的变系数二阶线性方程的求解题型八 含变限积分方程的求解题型九 由自变量增量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型十 综合题与证明题题型十一 有关微分方程应用题的求解第七章 向量代数和空间解析几何

12、一 空间直角坐标系二 向量的概念三 向量的运算（一） 定义与计算公式（二） 运算法则（三） 几何应用四 平面方程、直线方程五 平面、直线之间的相互关系与距离公式（一） 两个平面之间的关系（二） 两条直线间的关系（三） 直线与平面的关系（四） 平面束方程（五） 关于距离的计算公式六 旋转面与柱面方程，常用二次曲面的方程及其图形（一） 球面（二） 旋转曲面（三） 柱面（四） 二次曲面七 空间曲线在坐标平面上的投影常考题型与其解题方法与技巧题型一 向量的运算题型二 求平面方程题型三 求空间的直线方程题型四 求点、直线、平面间的关系题型五 求投影方程题型六 求曲面方程第八章 多元函数微分学一 多元函数

13、的概念、极限与连续性二 多元函数的偏导数与全微分（一） 偏导数概念（二） 可微性，全微分及其几何意义（三） 偏导数的连续性，函数的可微性，可偏导性与函数连续性之间的关系（四） 高阶偏导数，混合偏导数与求导次序无关问题三 多元函数的微分法则（一） 全微分四则运算法则（二） 多元复合函数的微分法则（三） 复合函数的二阶偏导数四 复合函数求导法的应用隐函数微分法五 复合函数求导法则的其他应用六 多元函数极值充分判别法（一） 多元函数极值及住店的定义（二） 多元函数去得极值的充分与必要条件七 多元函数的最大值与最小值（一） 极值问题的提法（二） 求二元函数或三元函数的简单极值问题（三） 求二元函数或三

14、元函数的条件极值问题八 方向导数与梯度九 多元函数微分学的集合应用（一） 空间曲面的切平面与法线（二） 空间曲面的切线与法平面1 参数方程表示的空间曲线2 作为两曲面交线的空间曲线常考题型与其解题方法与技巧题型一 有关多元函数偏导数与全微分概念的问题题型二 求二元、三元各类函数的偏导数与全微分题型三 变量替换下方程式的变形题型四 多元函数的最值问题题型五 求二元、三元函数的梯度与方向导数题型六 多元函数微分学的几何应用题型七 有关多元函数的综合题第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用一多元函数积分的概念与性质二 在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分三 重积分的变量替换四 如何应用多元函数积

15、分的计算公式及简化运算五 多元函数积分学的几何应用六 多元函数积分学的物理应用第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用一 多元函数积分学中的基本公式格林公式、高斯公式、斯托克斯公式二 向量场的通量与散度，环流量与旋度三 格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用简化多元函数的积分计算四 平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题第十一章 无穷级数一 常数项级数的概念与基本性质二 正项级数敛散性的判定三 交错级数的敛散性判别法四 绝对收敛与条件收敛五 函数项级数的收敛域与和函数六 幂级数的收敛域七 幂级数的运算与和函数的性质八 幂级数的求和与函数的幂级数展开九 傅里叶级数第二篇 线性代数

16、第一章 行列式一 行列式的概念、展开公式及其性质（一） 行列式的概念（二） 行列式按行（列）展开公式1 上下三角行列式2 副对角线3 拉普拉斯展开式（三） 行列式的性质1 经转置值不变2 公因数提出3 拆和4 对换某两行5 把某行的k倍加到另一行，值不变（四） 关于代数余子式的求和1 只改变 所在行或列中的值不影响其代数余子式2 一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零八 有关行列式的几个重要公式九 关于克莱姆法则常考题型与其解题方法与技巧题型一 有关行列式概念与性质的问题题型二 数字型行列式的计算1 三角化2 递推法3 公式法4 归纳法题型三 抽象行列式的计算题型四 含参数的行列式的计算

17、题型五 关于|A|=0的证明题型六 克莱姆法则二 矩阵及其运算一 矩阵的概念及几类特殊方阵（一） 矩阵的概念1 矩阵2 零矩阵3 同型矩阵4 矩阵相等5 方阵的行列式（二） 几类特殊方阵1 对称矩阵2 反对称矩阵3 对角矩阵4 逆矩阵5 正交矩阵6 伴随矩阵二 矩阵的运算（一） 矩阵的线性运算（二） 关于逆矩阵的运算规律（三） 关于矩阵转置的运算规律（四） 关于伴随矩阵的运算规律（五） 关于分块矩阵的运算规律三 矩阵可逆的充分必要条件四 矩阵的初等变换与初等矩阵（一） 矩阵的初等变换（二） 初等矩阵的概念（三） 初等矩阵的性质五 矩阵的等价（一） 矩阵等价的概念（二） 矩阵等价的充分必要条件常

18、考题型与其解题方法与技巧题型一 有关矩阵的概念及运算题型二 求方阵的幂题型三 求与已知矩阵可交换的矩阵题型四 有关初等矩阵变换的问题题型五 关于伴随矩阵的命题题型六 矩阵可逆的计算与证明题型七 求解矩阵方程三 n维向量与向量空间一 n维向量的概念与运算二 线性组合与线性表出1 线性组合2 线性表出3 向量组等价三 线性相关与线性无关（一） 线性相关与线性无关的概念（二） 线性相关与线性无关的充分必要条件四 线性相关性与线性表出的关系五 向量组的秩与矩阵的秩（一） 向量组的秩与矩阵的秩的概念1 极大线性无关组2 向量组的秩3 矩阵的秩（二） 向量组的秩与矩阵的秩的关系六 矩阵秩的重要公式七 向量

19、空间、子空间与基、维数、坐标（一） 向量空间与子空间（二） 基、维数、坐标八 基变换与坐标变换1 基变换公式及过渡过程2 坐标变换公式九 规范正交基与施密特正交化1 正交基及规范正交基2 Schmidt正交化常考题型与其解题方法与技巧题型一 线性组合线性相关的判别题型二 线性相关与线性无关的证明题型三 求秩与极大线性无关组题型四 有关秩的证明题型五 关于AB=0题型六 关于A=0的证明题型七 有关向量空间的判定题型八 向量坐标、过度矩阵及坐标变换题型九 规范正交基题型十 有关秩与直线平面的综合题四 线性方程组一 线性方程组的各种表达形式及相关概念二 基础解系的概念及其求法三 其次方程组有非零解

20、的判定四 非齐次方程组有解的判定五 非齐次线性方程组解的结构六 线性方程组解的性质常考题型与其解题方法与技巧题型一 线性方程组解的基本概念题型二 线性方程组的求解题型三 含有参数的方程组解的讨论题型四 关于线性方程组公共解、同解的问题题型五 有关基础解系的证明题型六 关于线性方程组的证明题五 矩阵的特征值与特征向量一 矩阵的特征值与特征向量的概念、性质及求法二 相似矩阵的概念与性质三 矩阵可相似对角化的充分必要条件及解题步骤常考题型与其解题方法与技巧题型一 求矩阵的特征值和特征向量题型二 n阶矩阵A能否对角化的判定题型三 求相似时的可逆矩阵题型四 求矩阵A中的参数题型五 用特征值和特征向量反求

21、矩阵A题型六 相似对角化的应用An题型七 有关实对称矩阵的问题题型八有关特征值与特征向量的证明六 二次型一 二次型的概念及其标准型（一） 二次型及其矩阵表示（二） 二次型的标准型（三） 惯性定理二 正定二次型与正定矩阵1 正定二次型与正定矩阵的概念2 二次型正定的充分必要条件三 合同矩阵1 合同矩阵的概念2 两矩阵的充分必要条件3 两矩阵合同的充分条件常考题型与其解题方法与技巧题型一 有关二次型基本概念的问题题型二 化二次型为标准型题型三 判别或证明二次型的正定性题型四 有关正定矩阵的综合题题型五 合同矩阵第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率一 随机事件的关系与运算（一） 样本空间与

22、随机事件的概念（二） 事件间的关系与运算有表（三） 文氏图（四） 事件运算法则与常用结论二 随机事件的概率（一） 古典定义1. 不重复排列公式2. 可重复排列公式3. 组合公式4. 组合性质5. 加法原理6. 乘法原理（二） 几何定义（三） 统计定义（四） 公理化定义（五） 概率论公理的重要结论（六） 条件概率（七） 乘法公式（八） 随机事件的概率的计算方法1 直接计算2 频率估计概率3 概率的推算4 利用概率分布三 全概率公式与贝叶斯公式（一） 全概率攻势（二） 贝叶斯公式四 事件的独立性与伯努利公式（一） 事件的独立性（二） 伯努利公式（三） 常用结论常考题型与其解题方法与技巧题型一 随机

23、事件间的关系与运算题型二 利用古典概型、几何概型计算概率题型三 利用概率性质、条件概率计算概率题型四 利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率题型五 事件独立性讨论与独立性重复试验的概念及其计算有关事件的概率第二章 随机变量及其分布一 随机变量与分布函数（一） 随机变量（二） 随机变量的分布函数1 分布函数的概念2 分布函数的性质二 离散型随机变量与连续型随机变量（一） 离散型随机变量及其概率分布1 离散型随机变量的概念2 离散型随机变量的概率函数性质（二） 连续型随机变量及其概率密度1连续型随机变量的概念2连续型随机变量的密度函数性质三 几个常见分布（一）0-1分布（二）二项分布（三）几何分布首次

24、成功（四）超几何分布（五）泊松分布（六）均匀分布（七）指数分布（八）正态分布四 随机变量函数的分布的求法（一） 离散型函数的分布的求法（二） 连续型函数的分布的求法1 分布函数法2 公式法常考题型及其解题方法与技巧题型一 确定随机变量概率分布中的未知参数题型二 随机变量的概率分布题型三 求随机变量函数的分布题型四 综合应用题第三章 多维随机变量及其分布一 多维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数（一） 多晚随机变量及其分布的概念（二） 二维随机变量的联合分布函数的概念及其性质（三） 二维随机变量的边缘分布函数的概念二 二维离散型随机变量（一） 二维离散型随机变量的联合概率分布的概念及其性质（二

25、） 二维离散型随机变量的边缘分布（三） 二维离散型随机变量的条件分布（四） 离散型随机变量的条件分布函数三 二维连续型随机变量（一） 二维连续型随机变量联合概率密度的概念及其性质（二） 二维连续型随机变量的边缘密度（三） 连续型随机变量的条件概率密度（条件密度函数）密度乘法公式（四） 连续型随机变量的条件分布函数四 两个常见的二维连续型随机变量的分布（一） 均匀分布的概念及性质（二） 二维正态分布的概念及性质五 二维随机变量的独立性（一） 独立性的概念（二） 相互独立的充分必要条件1 离散型随机变量2 连续型随机变量六 二维随机变量函数的分布的求法1 离散型随机变量列举法2 连续型随机变量先求出分布海曙，再求出概率密度3 两个相互独立的随机变量之和卷积公式（积分区间注意）常考题型及其解题方法与技巧题型一 有关概率分布的计算题型二 有关分布函数及其密度函数的命题题型三 求两个随机变量函数的分布第四章 随机变量的数字特征一 一维随机变量的数字特征（一） 数学期望1 离散型2 连续型3 随机变量函数的数学期望4 常用结论（二） 方差1 方差及标准差的概念2 关于随机变量方差的常用结论（三） 随机变量