定积分的应用

1、第十章 定积分的应用1 平面图形的面积1. 求由抛物线所围图形的面积. 解 两曲线的交点是,所以所围的平面图形的面积为.2. 求由曲线所围图形的面积.解 = =.3. 抛物线把圆分成两部分,求这两部分面积之比. 解 抛物线与圆的交点如图10-1所示, 抛物线分成两部分,记它们的面积分别为，则 = =,所以 . 4. 求内摆线所围图形的面积(如图10-2).解 所围图形的面积 .5. 求心形线所围图形的面积.解 所围图形的面积为 .6. 求三叶形曲线所围图形的面积.解 如图10-3所示，所求的面积为=. 7. 求由曲线与坐标轴所围图形的面积.解 曲线与轴交点,与y轴交点为所以,所求面积为 =.8

2、. 求由曲线所围图形的面积. 解 当时,.故当由变到1时,曲线从原点出发到原点,构成了一个封闭曲线围成的平面图形,故 .9. 求二曲线与所围公共部分的面积. 解 如图10-4所示,解方程组 得所围公共部分的面积.10. 求两椭圆所围公共部分的面积.解 如图10-5所示.图形关于两坐标轴对称,故只须求第一象限的图形面积.在第一象限内,解得交点为又根据对称性,所求面积,其中 所以, 2 由平行截面面积求体积1. 如图10-6所示,直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截,试求截得楔形体的体积.解 如图10-6所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为，.斜面的方程为.用平面截这个立体,得一长方形,其边长是

3、,所以从而 ,.2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:(1) (2) (3) (4) 解 (1) . (2) . (3) 是心脏线,而 是心脏线极轴之上部分的参数方程,故 =. (4) 原方程可写成,所以.2. 已知球半径为r,验证高为h的球缺体积 证 球缺体积可看作是曲线轴旋转而得到的,所以体积为 .4. 求曲线所围平面图形(图10-7)绕轴旋转所得立体的体积.解 =. 5. 导出曲边梯形绕轴旋转所得立体的体积公式为 . 证明 用元素法和柱壳法证明本题.所谓柱壳法,就是把旋转体看成是以轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的(图10-8),以此柱壳的体积作为体积元素.当很小时,此小柱壳的高

4、可看作不变,即为圆柱薄壳. 在区间上的柱壳体积,即体积元素 ,于是旋转体体积.6. 求所示平面图形绕轴旋转所得立体的体积.解 曲线可分成两部分 用截这个立体,其截面面积为 .即面积函数为,故3 平面曲线的弧长与曲率1. 求下列曲线的弧长：(1) (2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) .解 (1) 由于,故.(2) 由得,从而, ,所以, .(3) 由于,所以 .(4) 因为,所以.(5) 因为，所以 .(6) 因为，所以 .*2. 求下列各曲线在指定点处的曲率:(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解 (1) 从而 ,所以, 曲线在点(2,2)处的曲率为 .(2) 由于,所以

5、.(3) 由于,所以 .(4) , ,所以, ,故 .3. 求的值,使椭圆的周长等于正弦曲线在上一段的长.解 设椭圆的周长为,正弦曲线的周长为则 ,由于 .故.*4. 设曲线由极坐标方程给出,且二阶可导,证明它在点处的曲率为 .证 当方程由极坐标系转换成直角坐标系时,曲线以为参数的方程为 ,从而 , =. , ,故 所以. *5. 用上题公式,求心形线在处的曲率、曲率半径和曲率圆.解 从上题得知,对于心形线,由于 .故它在处的曲率为曲率半径为,曲率圆的圆心在轴上,半径为,方程为.*6. 证明抛物线在顶点处的曲率为最大. 证 在点处抛物线的曲率半径为令 则 故当,这时取得最小值,所以也最小,而点

6、正是抛物线的顶点,故在此点抛物线的曲率为最大. *7. 求曲线上曲率最大的点.解 由于,故曲率所以,是稳定点,且当时,;当时, ,故在取得极大值,从而曲线在点处曲率最大.4 旋转曲面的面积1. 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) ; (2) (3) ; (4) .解 (1) 根据旋转体侧面积公式, 得旋转曲面的面积为.(2) 旋转曲面的面积为. (3) 因为所以旋转曲面的面积为当时，当时， ，当时，.(4) 此旋转体的表面可看作是由两个半圆:, , 绕轴旋转所得旋转曲面的面积 += .2. 设平面光滑曲线由极坐标方程 给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 解

7、因为 所以 . 3. 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积.(1) 心形线;(2) 双纽线.解 (1) 把所给曲线化成以为参量的参量方程, .据对称性和参量方程曲线旋转体表面积公式, .(2) 曲线的参数方程为: 由曲线的对称性 .5 定积分在物理中的某些应用1. 有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米.计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解 建立如图10-9所示坐标系,过,两点直线方程是,即 .在微小区间上的压力元素 .所以=1466.7(吨)=1466.79.8=14374(. 2. 边长为的矩形薄板,与液面成角斜沉于液体中,设,长边平行于液

8、面,上沿位于深处,液体的比重为.试求薄板每侧所受的静压力. 解 建立如图10-10所示坐标系,设为液平面,矩形薄板与液面成角,短边所在直线与液面的交点为坐标原点.方向为轴正向.由题设知:在液体深处与液面平行所以,即，而.由于薄板沉于液体中,故它每面所受的压力大小相等,方向相反,现观察薄板上的小薄片所受压力的压力元素.在上任一坐标为的点处与液面的距离为.则,压力元素为=.所以.3. 直径为6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米处,求球面上所受的静压力.解 取轴和轴如图10-11所示,当很小时,球面从的一层上各点的压强等于水的比重1(吨/)乘以深度,而上各点压强.的面积所以在上所受的压力从而

9、,于是 .即球面上所受的压力为(吨)=1108.35().4. 设在坐标轴的原点有一质量为的质点,在区间上有一质量为的均匀细杆.试求质点与细杆之间的万有引力.解 建立如图10-12所示坐标系,取为积分变量，则.在上取区间.则这一小段的细杆看作一质点，其质量为.从而 .所以 =.5. 设有两条各长为的均匀细杆在同一直线上,中间离开距离,每根细杆的质量为.试求它们之间的万有引力.(提示:在第4题的基础上再作一次积分.)解 建立如图10-13所示坐标系,在两个均匀细杆上分别取和两小段,设其质量都集中在点和上. 则 所以第二个细杆对的引力.则第二个细杆对第一细杆引力 ln.6. 设有半径为的半圆形导线

10、,均匀带电,电荷密度为,在圆心处有一单位正电荷.试求它们之间作用力的大小.解 建立如图10-14所示坐标系,相应于小区间上的微弧长,把它看作一个质点,它对圆心处的单位正电荷的作用力微元.其中为常数.由密度均匀和对称性知:所求作用力分力,下求由于 所以 . 即引力的大小为.7. 一个半球形(直径为20米)的容器内盛满了水.试问把水抽尽需作多少功? 解 建立如图10-15所示坐标系,以球心为坐标原点,垂直向下为轴的正方向,水平向右为轴的正方向,把容器中的深度为的一层水量抽出容器所作功为.则 的体积水的比重.而 的体积.水的比重为1000(公斤/),所以 , .8. 长10米的铁索下垂于矿井中,已知

11、铁索每米的质量为8千克,问将此铁索提出地面需作多少功?解 取轴正向为铁索的下垂方向,当很小时,把一段铁索提出地面所作的功为(公斤米),即(公斤米)于是 (公斤米)=3920(千焦).9. 一物体在某介质中按作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比.计算物体由移至时克服介质阻力所作的功.解 建立如图10-16所示坐标系,由题设条件知物体所受阻力,则在小区间上物体克服阻力所作的功:.因为,.所以,.于是 .当时,;当时,.所以 .10. 半径为的球体沉入水中,其比重与水相同.试问将球体从中捞出需作多少功?解 建立如图10-17所示坐标系,将球从水中取出需作的功,相应于将上许多薄片都上提的高度时需作

12、功之和.在处厚度为的一小薄片,它由提升到时,在水中行程为,在水上行程为.由题得知,球的比重与水的比重相同,因此薄片所受浮力与重力合为零.因此,此薄片在水中由上升到水面时,提升力为0,不作功,由水面再上升到时,克服重力作功从而 . *6 定积分的近似计算1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算(将积分区间十等分). 解 (1) 梯形法(2) 抛物线法 .2. 用抛物线法近似计算(分别将积分区间二等分、四等分、六等分).解 时, . 时, 时, .3. 图10-18所示为河道某一截面图,试由测得数据用抛物线法求截面面积.解 由公式:得截面面积为: =8.64.4. 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的

13、气温:02468101214161820222425.82324.125.627.330.233.43533.831.128.22725 图10-19(1) 按积分平均求这一天的平均气温,其中定积分值由三种近似法分别计算;(2) 若按算术平均或求得平均气温,那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系?简述理由.解 (1) 用矩形法.由公式=(23.0+24.1+25.6+27.3+30.2+33.4+35.0+33.8+31.1+28.2+27.0+25.0) =687.4所以积分平均 .由公式=(25.8+23.0+24.1+25.6+27.3+30.2+33.4+35.0+33.8+31.1+28.2+27.0) =689所以积分平均 .用梯形法.由公式 =+23.0+24.1+25.6+27.3+30.2+33.4+35.0+33.8+31.1+28.2+27.0+ =688.2所以积分平均 .用抛物线法.由公式25.8+25.0+4(23.0+25.6+30.2+35.0+31.1+27.0)+2(24.1+27.3+33.4+33.8+28.2) 950