圆心角和圆周角的关系

1、重点难点易错点讲解圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一。认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点。圆周角有两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可。这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点。圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线。这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握。其证明思路是：（1）将已知图形中各种可能位置进行分类

2、（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；（4）归纳总结出一般性结论。这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中。本节常见的错误有：（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况。【例1】已知O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数。错解：如图3-3-4，AB=OA，OAB为等边三角形。AOB=60C=30。AB所对的圆心角为60，圆周角为30。正

3、确解法：如图3-3-5，AB=OA=OB，AOB为等边三角形。AOB=60。C=30；D=150。弦AB所对的圆心角为60，所对的圆周角为30或150。错解分析：错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个。应加强位置意识的培养，克服思维定势。【例2】已知AB为O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求CAD的度数。错解：如图3-3-6，连接BC、BD。AB为直径，C=D=90。在RtABC中，AB=2，AC=，cosCAB=。CAB=45。在RtADB中，AD=1，AB=2，cosDAB=。DAB=60。CAD=DABCAB=105。

4、 正确解法：如图3-3-6和3-3-7，由题解中得DAB=60，CAB=45，图3-3-7中有DAC=DABCAB=15。DAC的度数为15或105。解错分析：错解中只考虑到弦AC和AD在直径AB同侧的情况，而忽略了AD和AC在AB两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性。经典例题精讲（一）教材变型题【例1】如图3-3-8，已知O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长。思维入门指导：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题。解：AB是直径，ACB=ADB=9

5、0。在RtACB中，BC=8。CD平分ACB，=AD=BD。在RtADB中，AD=BD=AB=5（cm）。点拨：这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题（二）中考题【例2】（2002，眉山，10分）已知等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2，点C是上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交O2于D，连接AC、AD求证：（1）操作测量：图3-3-9（a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图3-3-9（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分），并证明你的

6、猜想；（在补充完整的图3-3-9（a）中进行证明）（3）如图3-3-9（b），若C点是的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C求证：CE2=O1O2EO2。思维入门指导：（1）AC=CD=AD；（2）由AO1O2为等边三角形，求出D和ACD都为60即可；（3）由O1O2CCO2E可得O2C2=O1O2EO2，再证明O2C=CE。解：（1）补充完整图形，三条线段AC、CD、AD相等。（2）结论：ACD是等边三角形。证明：连接AO2、BO2、AO1、O1O2。O1，O2是等圆，且O1经过点O2，AO2=O1O2=AO1AO2O1=60。AO2B=120D=AO2B=120=60。ACB

7、=AO2B=120，ACD=60ACD是等边三角形。（3）C是的中点，CO1O2=30。ACO2=30，CO1O2=ACO2。O1O2C=CO2E，O1O2CCO2E。O2C2=O1O2O2EO1O2=O1C，O1O2C=O1CO2=CEO2。CO2=CECE2=O1O2EO2。点拨：为了研究两圆相交时图形所蕴含着的规律性关系，以更好地考查动手操作图形的能力，这种以留空回填的命题思路，展示了一道融操作、测量、猜想，证明于一体的探究题解答时，应按题的要求顺向逐层思考【例3】（2003，贵阳，12分）如图3-3-10所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm。（1）求证

8、：ACOD；（2）求OD的长；（3）若2sinA1=0，求O的直径。思维入门指导：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算。解：（1）AB是O的直径，C=90。ODBC，ADO=C=90ACOD（2）ODBC，又O是AB的中点，OD是ABC的中位线。OD=BC=4=2（cm）。（3）2sinA1=0，sinA=A=30在RtABC中，A=30，BC=ABAB=2BC=8（cm）即O的直径是8cm。点拨：关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，一切就迎刃而解。【例4】（2003，陕西，3分）如图3-3-11所示，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则12=。思维入门指导：1所对的

9、弧是，2所对的弧是，而=是半圆，因此连接AD，ADB的度数是90，所以ADB=12。解：12=90。点拨：本题可以连接EO，得到圆心角EOA和EOB而EOAEOB=180，所以12=90，这是圆周角定理的直接应用。 【例5】（2003，台湾，3分）如图3-3-12所示，AB为O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列斜述何者正确（ ）AAPB为锐角 BAQB为直角 CARB为钝角 DASBARB思维入门指导：AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以APB，AQB，ARB，ASB都是直角答案：B 点拨：由于四个角都是直角，所以ASB=ARB=90学科内综合题【例6】如图3-3-13，已知A

10、BC是等边三角形，以BC为直径的O交AB、AC于D、E。（1）求证：DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若A=60，ABAC，则中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？思维入门指导：ABC是等边三角形，所以B、C均为60，利用60的圆周角定理，可知DOB、EOC均为等边三角形第二种情形类似解：（1）ABC为等边三角形，B=C=60OB=OC=OE=OD，OBD和OEC都为等边三角形BOD=EOC=60DOE=60DOE为等边三角形（2）当A=60，ABAC时，（1）中的结论仍然成立证明：连接CDBC为O的直径，BDC=90ADC=90A=60，ACD=30DOE=

11、2ACD=60OD=OE，ODE为等边三角形点拨：本题的（2）较难，属于探索题，应掌握好书写格式，本题充分利用了BC为直径及圆周角定理，将圆心角与圆周角联系起来创新题【例7】四边形ABCD中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长。思维入门指导：由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论。解：AB=AC=AD=a，点B、C、D到A点距离相等故以A为圆心，以a为半径作A，并延长BA交A于E，连接DE。ABCD，=BC=DE=b。BE为A直径，EDB=90。在R

12、tEDB中，BD=，BD的长为。点拨：本题根据圆的定义作出A是关键，作出A才能充分利用已知，否则很难解出BD作辅助圆是本题的创新之处，平时解题应注意这种特殊方法。【例8】如图3-3-16，AB是半O的直径，过A、B两点作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上C点时，则有ACACBCBC=AB2。（1）如图3-3-17，若两弦交于点P在半O内，则APACBPBD=AB2是否成立？请说明理由。（2）如图3-3-18，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=。参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性。思维入门指导：由特征结论为等积式和的形式，不属于常规结论，但又没法化简该结论，显然需要用等积

13、式相加得到。本题考查相似三角形和圆周角定理的推论等。解：AB是半O直径，C=90AC2BC2=AB2。（1）当两弦的交点P在半圆内时，APACBPBD=AB2成立。连接AD、BC，过P点作PEAB于E，则PEA=90。PEA=C，EAP=CAB，APEABCAPAC=ABAE。同理可证BPBD=BEAB。由，得APACBPBD=AB（AEBE）=AB2。（2）AB2=ACAPBDBP，过P点作PEAB于E，连接BC、ADAB为直径，ACB=90。ACB=AEP，CAB=EAP，ACBAEP。AEAB=ACAP同理，BDABEP。BEAB=BPBD。AEABBEAB=ACAPBPBD，AB（AE

14、BE）=ACAPBPBD。AB2=ACAPBPBD。点拨：第（1）小题以待证结论考虑，可构造三角形相似连接AD、BC，虽然PADPBC，但不能得出APAC和BPBD，同时也与AB无联系，所以可构造与ABD相似的三角形，故过点P作PEAB于E，可得BEPBDA，APEABC。应用题【例9】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？思维入门指导：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用，认真观察图形，可得只有B符号定理的推论。解：A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因

15、而不能判断是否为半圆形。选B。点拨：实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型。当堂练习1如图3-3-20，A、B、C、D、E是O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是2在O中，弦AB的长恰好等于半径，求劣弧所对的圆周角的大小课后巩固练习（130分 120分钟）一、基础题（1015题每题5分，其余每题3分，共57分）1在O中，同弦所对的圆周角（ ）A相等 B互补 C相等或互补 D都不对2如图3-3-21，在O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A5对 B6对 C7对 D8对3下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角

16、的2倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4下列说法错误的是（ ）A等弧所对圆周角相等B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D同圆中，等弦所对的圆周角相等5如图3-3-22，AB是O的直径，AOD是圆心角，BCD是圆周角若BCD=25，则AOD=。6如图3-3-23，O直径MNAB于P，BMN=30，则AON=7如图3-3-24，AB是O的直径，=，A=25，则BOD= 。8如图3-3-25，A、B、C是O上三点，BAC的平分线AM交BC于点D，交O于点M若BAC=60，ABC=50，则CBM= ，AMB= 。9O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 。

17、10如图3-3-26，O中，两条弦ABBC，AB=6，BC=8，求O的半径。11如图3-3-27，AB是O的直径，FB交O于点G，FDAB，垂足为D，FD交AG于E。求证：EFDE=AEEG。12如图3-3-28，AB是半圆的直径，AC为弦，ODAB，交AC于点D，垂足为O，O的半径为4，OD=3，求CD的长。13如图3-3-29，AB是O的直径，AB=AC，D、E在O上。求证：BD=DE。14如图3-3-30，ABC内接于O，E为的中点。求证：ABBE=AEBD。15已知ABC内接于O，ODBC，垂足为D，若BC=2，OD=1，求BAC的度数。二、学科内综合题（每题8分，共24分）16根据图

18、3-3-31中所给的条件，求AOB的面积及圆的面积。17如图3-3-32，O的弦ADBC，垂足为E，BAD=，CAD=，且sin=，cos=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长。18如图3-3-33，在圆内接ABC中，AB=AC，D是BC边上一点。（1）求证：AB2=ADAE；（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。三、学科间综合题（10分）19在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图3-3-34。此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？四、应用题（1

19、0分）20如图3-3-35所示，在小岛周围的内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且APB=，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？五、创新题（10分）21如图3-3-36所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使BAP=CAQ时，ABC是什么三角形？试证明你的结论。六、中考题（19分）22（2002，桂林，12分）如图3-3-37，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E。（1）求证：ABEDBC；（2）已知BC=，CD=，求sinAEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长。23（2002，河南

20、，5分）如图3-3-38，以ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EFBC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长。24（2003，辽宁，2分）在半径为1的O中，弦AB、AC分别是和，则BAC的度数是 。加试题：竞赛趣味题（每题10分，共20分）1已知：如图3-3-39，设P为O的劣弧上任一点，ABC为等边三角形，AP交BC于D。求证：PB和PC是方程x2PAxPAPD=0的两个根。2已知：如图3-3-40，六边形ABCDEF各顶点都在O上，且AB=BC=CD=1，DE=EF=FA=1，求六边形ABCDEF的面积。参考答案一、（一）1圆上；两边都和圆

21、相交2（1）顶点在圆上；（2）两边都和圆相交（二）1一半（或） 2（2）直角；直径一、16；ACB、BCE、CED、BDE、ACE、CBD 点拨：根据圆周角定义判断230 点拨：ABO是等边三角形，根据圆周角定理得知所对的圆周角等于AOB的一半一、1C 点拨：同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补因此同弦所对的圆周角相等或互补2D 解：先找同弧所对的圆周角：所对的1=3；所对的2=4；所对的5=6；所对的7=8找等弧所对的圆周角，因为=，所以1=4，1=2，4=3，2=3由上可知，相等的圆周角有8对点拨：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否

22、相等，因等角对等弧，等弧对等角3D 点拨：本题考查圆周角的定义4D 点拨：等弦所对的圆周角相等或互补5130 解：BOD=2BCD=225=50，AOD=180BOD=18050=130660 解：ONAB，=M=30，的度数为60AON=60750 解：连COA=25，COB=2A=50=，BOD=COB=50点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半830；70 点拨：利用ABC内角和定理求得C=70，最后根据同弧所对的圆周角相等得AMB=ACB=70，CBM=CAM=30945或135 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）10解：连接ACABBC，

23、ABC=90AC为O直径在RtABC中，AB2BC2=AC2，AC=10，故O半径是5点拨：根据90的圆周角所对的弦是直径11证明：AB是直径，AGB=90AEDFEG，即EFDE=AEEG点拨：利用直径所对的圆周角是直角得到两三角形相似12解：CD=14 点拨：连接BC，证AODACB得CD=1413证明：连接ADAB=AC，ABC为等腰三角形又AB是O的直径，ADB=90AD是BAC的平分线BAD=CADBD=DE14点拨：通过证明BAEDBE可得1560或120 点拨：本题目没有给出图形，因此有两种情形：圆心O在三角形内或圆心O在三角形外，由两种不同情形可算出两种不同结果二、16解：P=

24、30，OBA=P=30B点坐标为（0，2），OB=2在RtBOA中，AO=BO，tan30=，AB=，SABO=OAOB=2=，S圆=AB2=3=点拨：这是一道代数和几何的综合题，要注意BOA=90这一隐含条件17解：（1）在RtAEC中，cos=，AC=2，AE=ACcos=2=，EC=或EC=ACsin=（2）在RtABE中，AE=，sin=sin=，可设BE=3k，则AB=5k25k29k2=（）2k=（取正值）BE=3k=连接BD，则D=C，DBE=，BDEACEAEED=EBECED=ED=AD=AEED=18（1）证明：连接BEABDAEB=AB2=ADAE（2）解：结论成立如答图

25、3-3-1，连接BEABEADB=AB2=ADAE三、19解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交O于C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN，因此在B点射门为好点拨：在真正的足球比赛中情况比较复杂这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截四、20解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于，即可安全绕过暗礁区（1）在外任取一点C，连接CA、CB，设CA交于F，连接FBAFB=，AFBC，C（2）在的

26、弓形内任取一点D，连接AD并延长交于E，连接DB、EBE=，ABDE，ADB由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧外任一点对A、B的视角都小于，在圆弧上任一点对A、B的视角都等于，在圆弧内上任一点对A、B的视角都大于，为此只有当对两灯塔的视角小于的点才是安全点五、21解：当BAP=CAQ时，ABC是等腰三角形证明：如答图3-3-2，作出ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连接DB、CE，由BAP=CAQ，得从而，所以BD=CE，CBD=BCE又BP=CQ，则BPDCQE，这时D=E，由此，故AB=AC即ABC是等腰三角形六、22解：（1），ABD=DBCBC为O的直径，

27、BAC=BDC=90ABEDBC（2）ABEDBC，AEB=DCB在RtBDC中，BC=，CD=，BD=sinAEB=sinDCB=（3）ABD=DBC=CAD，ADE=BDA，AEDBADAD2=DEDBCD=AD=，CD2=DEDB=（BDBE）DB即（）2=（BE）解得BE=在RtABE中，AB=BEsinAEB=点拨：圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理在本题中起重要作用23解：连接BE，则BEAC，BE2=AB2AE2=8222=60设FC=x，则BF=5x，BC=6xEFBC，EBF=CBE，BEFBCEBE2=BFBC即60=5x6xFC0，x=BC=6x=6EC2=BC2BE

28、2=7260=12，EC=2点拨：作出直径上的圆周角是最常见的辅助线之一24BAC=15或75 点拨：如答图3-3-3和3-3-4，分两种情况，作直径AD，连接BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15或75加试题：1证明：如答图3-3-5，延长BP到F，使PF=PC，连接PC、CF3=BAC=60，PCF为正三角形APCBFCPA=FB=BPPF=BPPC 在ABP和CDP中，PCD=PAB，DPC=BPA=60，CDPABP即PBPC=PAPD 由和两式可知，PB和PC是方程x2PAxPAPD=0的两根点拨：首先根据方程根的关系分析出所证明的间接结论：（1）PBPC=PA，（2）P

29、BPC=PAPD，然后逐个证出，从而得到求证结论2解：如答图3-3-6，若连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则有SAOB= SBOC= SCOD， SDOE= SEOF= SFOA由于六边形ABCDEF的面积等于以上六个三角形面积之和，又因为有三个三角形面积相等的两组三角形，若把两组三角形重新组合，构成面积相等的六边形ABCDEF，其中O和O等圆如答图3-3-7，AB=CD=EF=1，AF=BC=DE=1再把AB，CD，EF分别向两边延长相交于M、N、P，易知BOF=FOD=DOB=120从而得BAF=FED=DCB=120同样AFE=EDC=CBA=120PAFNDEMBC，并且为正三

30、角形则六边形ABCDEF的面积S=SMNP3SPAF又SMNP =（3）2，3SPAF=312，故六边形ABCDEF的面积=六边形ABCDEF的面积=。判断题：注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯。1、下列命题正确的有（ ）个圆是轴对称图形，对称轴有无数条，均为直径；长度相等的两条弧叫等弧；平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的弧。A、0 B、2 C、3 D、4解：、圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线，故命题错误；、能重合的弧是等弧，而长度相等的弧不一定能够重合，故命题错误；、平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故命题错误；、垂直于弦的直径平分这条弦，故命题错误。故正确的有0个。2、下列说法正确的是（ ）平分弧的直径垂直平分弧