大学基础物理学答案(习岗)第4章

1、第四章 静电场本章提要1. 库仑定律两个静止的点电荷之间的作用力满足库仑定律，库仑定律的数学表达式为其中 2. 电场强度 电场强度表示单位正电荷在静电场中所受的电场力。其定义式为 其中，为静止电荷。 在点电荷q的电场中，电场强度为 3. 电场强度的计算 点电荷系的电场 电荷连续分布的带电体系的电场其中的积分遍及q电荷分布的空间。4. 高斯定理 电通量电场强度通量简称电通量。在电场强度为E的某点附近取一个面元，规定，为与之间的夹角，通过的电通量定义为通过电场中某闭合曲面S的电通量为 高斯定理在真空中，通过电场中任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以。即 使用高斯定理可以方

2、便地计算具有对称性的电场分布。5. 电势 电势能电荷q0在电场中某点a所具有的电势能等于将q0从该点移到无穷远处时电场力所作的功。即 电势电势是描述电场能的属性的物理量。电场中某点a的电势定义为 电势的计算（1） 已知电场强度的分布，可通过电势的定义做场强的积分来计算电势。（2）若不知道电场强度的分布，可通过下述的求和或积分来计算电势： 点电荷系产生的电场中的电势为 电荷连续分布的带电体系电场中的电势为6. 静电场的环路定理静电场的电场强度沿任意闭合路径的线积分为零，即 7. 静电场对导体的作用 导体的静电平衡导体中不发生任何电荷定向运动的状态称静电平衡状态。 导体表面的电场导体表面附近的电场

3、强度与该表面处的电荷面密度成正比，即8. 静电场对电介质的作用 电介质的极化在外电场作用下电介质表面出现束缚电荷的现象称电介质的极化。电介质的极化有位移极化和取向极化两类。电介质的极化程度用电极化强度来描述。对于各向同性的电介质，其中每一点的电极化强度P与该点的电场强度E的关系为P =E 其中，称电极化率。 介质中的高斯定理穿过电场中任意封闭曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，即其中，电位移通量。 电容器 电容器的电容定义为 真空中的电容与介质中的电容C的关系为9. 静电场的能量其中，we称为电场的能量密度，积分区域遍及整个电场空间。思考题4-1 两式有什么区别与联系。 答：

4、前者是关于电场强度的定义式，适合求任何情况下的电场。后者是由库仑定律代入定义式推导而来，它表示点电荷的电场强度。4-2 一个均匀带电球形橡皮气球，在其被吹大的过程中，下列各场点的场强将如何变化？(1)气球内部；(2)气球外部；(3)气球表面。答：(1) 因为电荷分布在球面上，球内部无电荷，在球内取半径为r( rR )的球形高斯面，由高斯定理易知球外空间的场强E外=。由此可知，球外空间的场强与气球吹大过程无关。(3)因为球表面的场强E表=，在球吹大的过程中，R变大，所以，球表面的场强随气球的吹大而变小。4-3 下列几种说法是否正确，为什么？（1） 高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必定没有电荷

5、。（2） 高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。（3） 穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的电场强度必为零。（4） 高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面的电通量一定为零。答：（1）错，因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷数（所有电荷的代数和）为零。（2）错。高斯面内净电荷数为零，只说明整个高斯面的的累积为零。并不一定电场强度处处为零。（3）错。穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的的累积为零。并不一定电场强度处处为零。（4）对。E = 0，则整个高斯面的的累积为零。所以电通量为零。4-4 试利用电场强度与电势的关系式分析下列问题：（1） 在电势不变的空

6、间内，电场强度是否为零？（2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？（3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？答：（1）是。当电势处处相等时，电势沿任何方向的空间变化率为零，由可知，场强为零。实际例子：静电平衡的导体内。（2）否。因为电势为零处，电势梯度不一定为零，所以El也不一定为零。实际例子：电偶极子连线中点处。（3）否。因为如果El等于零，则电势梯度为零，但电势不一定为零。实际例子：两个相同电荷连线中点处。4-5 如图4-1所示，将两个完全相同的电容器串联起来，在与电源保持连接时，将一个电介质板无摩擦地插入电容器C2的两板之间，试定性地描述C1、C2上的电量、电容、电压及电场强度的变化

7、。C1C2图4-1答：插入电介质板后，C2增大。C2增大致使整个电路的电容增大。由于电路中的总电压U没有变化，所以每个电容器所储存的电量q1 = q2增加，增加的电量全部由电源提供。由于不变，当电容器C1储存的电量增加时，其两端的电压U1= q1/C1增大。又由于电路中的总电压不变，故电容器C2两端的电压U2减小。再根据U = Ed可知，U2减小，则E2减小；U1增大，则E1增大。4-6 将一个空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌煤油时，电容器一直与电源相连，能量又如何变化？答：电容器灌入煤油后，电容量增大。但由于切断了电源，电容器极板上的电量没有改变。由可

8、知电容器的能量We会减少。减少的那部分能量转化成煤油分子因极化而增加的内能。如果灌煤油时，电容器一直与电源相连，由能量公式可知，C增大而U不变时，电容器的能量We增大。这时电源向电容器充电，将电源的化学能转化为电容器的内能。练习题llll+ q+ qP- q- qOx图 4-24-1 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图4-2所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的和均为已知，对图4-2中的点(平行于正方形的一边)，证明当时 其中，p=ql 称电偶极矩。解：电四极子可

9、看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题4-1可知其中，p=ql。点处的合场强为由于上式可简化为 xPdx/dxdEdE合dE/0la图 4-3证毕。4-2 一个均匀带电细棒长为，带电总量为。证明，在棒的垂直平分线上离棒为处的电场强度为证明：由题设条件可知，细棒的电荷线密度为。在图4-3中，对称的取距离中点O为x处的电荷元dq ，。两个电荷元在P点产生的电场强度和的水平分量相互抵消，在P点产生的合场强为和沿竖直向上的分量之和。即于是，整个细棒在P点处的场强为积分该式，整理后可得 4-3 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线

10、上距盘心为x处的任一点的电场强度；（2）当R时，P点的电场强度为多少?（3）当时，P点的电场强度又为多少?drrRxPdEdE/dE 图4-4解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图4-4所示。利用教材中例题4-2的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为（2） 当时，。此时，上式可化为即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。（3）当时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为4-4 大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在图4-5中，设半径为和的球壳上分别带有电荷和，求：R1R2Q1Q

11、2IIIIII图4-5（1）I、II 、III三个区域中的场强；（2）若 =，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即 关系曲线)。从这个结果，你可以对细胞膜的电场强度分布有个概略的了解。解：（1）在区域I，做半径为rR1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理可得区域I中的电场强度为E1= 0在区域II，以为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，高斯定理可写为由此可解得区域II的电场强度为在区域III，做半径rR2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可解得该区域的电场强度为0 rR2R1E图4-6 E r关系曲线 E3 =（2）当 =时，

12、根据以上结果易知区域I的场强为 E1= 0 区域II的场强为 区域III的场强为E3= 0根据上述结果可画出如图4-6所示关系曲线。4-5 实验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，电场强度方向垂直地面向下，大小约为；在离地面1.5 km高的地方，电场强度方向也是垂直地面向下的，大小约为。（1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；（2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球表面的电荷面密度；（3）已知地球的半径为，地球表面的总电量为多少?H = 1.5kmE2图4-7解：（1）由题中条件，在距离地面高度为1.5km处的大气电场，地面附近的大气电场为。从1.5高处至地面做圆柱形高斯面，

13、如图4-7所示。由于圆柱形高斯面的上底面和下底面相等，设为S，则穿过此高斯面的电通量为由高斯定理得即其中，为高斯面内的所有电荷的代数和。于是，高斯面内的平均电荷体密度为 E1图4-8S（2） 在地球表面附近做如图4-8所示的圆柱形高斯面，高斯面的上底面S1在地球表面附近，下底面S2在地球内部。上地面处的场强为E1，并且S1=S2S。由于地球（导体）内部场强为零，设地球表面的电荷面密度为。通过该高斯面的电通量为 由高斯定理可得由此解出（3） 地球表面的总电量为负号表示地面带负电。4-6 随着温度的升高，一般物质依次表现为固态、液态和气态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈碰撞而离解为电

14、子和正离子，这种主要由带电离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。如果气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系rL图4-9其中，为电荷体密度，为圆柱轴线上的值，a为常量，求电场强度分布。解：在等离子体中取如图4-9所示的圆柱形闭合高斯面，高斯面的半径为r，高为L。由于高斯面内的电荷分布是不均匀的，为了求出高斯面内的总电荷，在其中取一个半径为，厚为，长为L的带电薄层，如图4-9中阴影部分所示。该带电薄层上所带的电量即为于是，高斯面内所包围的总电量为由于穿过高斯面的电通量为 由高斯定理可写出 将前述的q带入，化简后可得vE+Q-Q4-7 测定土壤颗粒所带电量的方法之一是

15、沉降法。在该法中，使土壤颗粒在已知黏滞系数h 的液体中沉降，测出其收尾速度(即最后的稳定速度) 。然后，再通过极间电压施加一个如图4-10所示的静电场(假定土壤颗粒带正电荷)。调节电场强度使颗粒达到新的收尾速度，这时有下列关系成立：其中，r为土粒的半径，q为土粒所带电量。请证明这个关系。解：当未施加电场时带电土壤颗粒 图4-10在重力作用下沉降，根据斯托克斯公式可得施加电场后，土壤颗粒的受力为 将以上两式联立求解，可得证毕。4-8 为了将混合在一起的带负电荷的石英颗粒和带正电荷的磷酸盐颗粒分开，可以使之沿重力方向垂直通过一个电场区域来达到。如果电场强度，颗粒带电率为，并假设颗粒进入电场区域的初

16、速度为零。欲将石英颗粒和磷酸盐颗粒分离100 mm以上，问颗粒通过电场区域的距离至少应为多少?该题说明了在农业上很有实用价值的静电分选技术的原理。解：正、负带电颗粒在运动过程中受水平方向的电场力和竖直方向的重力作用，其运动轨迹如图4-11所示。对带正电荷的颗粒，满足mgqEqEmg-+lh图4-11对带负电荷的颗粒，满足设颗粒带电率，质量为的颗粒带电为，由此可算出同理可算出于是，颗粒的水平位移为 竖直位移为 联立上两式消去时间t可得带电颗粒通过电场距离为4-9 水分子的电偶极矩为，如果这个电偶极矩是由一对点电荷e引起的(e为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为的电场方

17、向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义得（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则4-10 一个细胞的膜电势差为50mV，膜厚度为。若假定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大?当一个钾离子()通过该膜时需作多少功?解：依题意得 若令一个钾离子()通过该膜时需做功A，则4-11 动物的一些神经纤维可视为半径、长0.1的圆柱体，其内部的电势要比周围流体的电势低0.09V，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的泵(一种运输的特种蛋白)可以将输送出纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出的，问 (1) 每小时有多少库仑的电荷被送出纤

18、维? (2) 每小时必须反抗电场力作多少功?解：（1）已知圆柱体半径，圆柱体长度，阿伏伽德罗常数，每个电荷的电量。因此，每小时被送出神经纤维的电荷量为（2）每小时反抗电场力做功AA = qU = 6.5410-30.09 = 5.8910-4( J )4-12 计算练习4-4中、区域中的电势。解：（1）根据题4-4所得、区域中的电场分布，可得区域I的电势为由此解得区域的电势分布为区域的电势分布为（2）若，则区域的电势为区域的电势为区域的电势为4-13 一个半径为的均匀带电细圆环，所带总电量为，求圆环轴线上距圆心为处的电势。解：环上线电荷密度为，在环上取电荷元，如图4-12所示。该电荷元在P点产

19、生的电势为图4-12dqPxRr于是，整个带电圆环在P点产生的总点势即为导线（）金属圆筒（）玻璃图4-134-14 核技术应用中常用的盖革米勒(G-M)计数管，其外形结构如图4-13所示，它实质上是一个用玻璃圆筒密封的共轴圆柱形电容器。设导线(正极)的半径为，金属圆筒(负极)的半径为，正、负极之间为真空。当两极加上电压时，求导线附近的电场强度和金属圆筒内表面附近的电场强度。解：设正极的线电荷密度为，作半径为长度为的圆柱高斯面，据高斯定理得距轴心为处的场强为：两极间的电压为 联立式得令r = a得正极附近的场强为令r = R得圆筒表面附近的场强为 R1R2图4-144-15 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图4-14所示。设内圆柱体的电势为，半径为；外圆柱体的电势为，外圆柱体的内半径为，两圆柱体之间为空气。求两个圆柱体的空隙中离轴为处()的电势。解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为。在内外圆柱体之间做半径()，长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高