环境水利学第5章-污染物在河流中的混合--8

1、第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,紊流扩散的理论常应用于非保守的污染物的排放，例如在排放的污水中有各种有机物质和重金属是非保守的，电站排放的冷却水中的热量也是非保守的，因为它们在河水中扩散时，由于化学和生物化学的反应以及物理作用等原因，使它们发生化学和物理的降解或增生。 如果河流很长和比较宽或横向混合系数比较小，则污染带的长度会很长，此时，有足够的时间使污染的物质发生显著的降解，因此不能忽略污染物质的非保守性。,考虑一种可降解的污染物质，它在静水中的衰减率为,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,式中：kd 为降解系数，量纲为T-1 ，其值视污染物质而异，由实验确定。,（5-6-1）,（5

2、-6-1）式表明污水浓度的衰减率与浓度本身的大小成正比，此即所谓一级动力学衰减（或称一阶降解）。 在自然水域的污染浓度预报中，常采用一阶降解。,可降解污染物质的污染带计算：对基本的污染带方程加以补正，亦即在基本方程中加上汇项（- kd c），得矩形河槽均匀流、非守恒物质、时间连续恒定源、无岸壁反射的水平二维污染带方程,（5-6-2）,一、解析解法 首先研究式（5-6-2）的解析解法，然后将它的解法推广到其他条件的污染带求解中去。 令A=My/V，B=kd/V，式（5-6-2）可写为,（5-6-3）,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,简捷的解法,式中：c1为无降解时污染带基本方程的解 可以证

3、明式有降解情况下的解为,使用反证法：将式（5-6-5）对x求偏导数，有,（5-6-4）,（5-6-5）,（5-6-6）,再将式（5-6-5）对y求两次偏导数，有,（5-6-7）,无降解情形,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,（5-6-8）,（5-6-9）,无降解情形,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,可以证明: 对在前几节中所介绍的污染带都是成立的，于是可以得到一阶降解污染带的各种解析解：,1、矩形河道均匀流的污染带 （1） 时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-2-2a) 和式（5-6-5），有解,（2）时间连续点源问题(受岸壁反射时) ，根据式(5-2-4b)和式(5-6

4、-5)，有解,（5-6-10）,（5-6-11）,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,(3) 时间连续线源问题，根据式(5-2-13b)和式(5-6-5)，有解,（5-6-12）,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,（1）时间连续点源问题(未受岸壁反射时)，根据式(5-4-1)和式(5-6-5)，有解,（2）时间连续点源问题，根据式(5-4-2)和式(5-6-5)，有解,（5-6-13）,（5-6-14）,2、不规则河道非均匀流横向扩散因素为常数的污染带,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,（3）时间连续线源问题，根据式(5-4-3)和式(5-6-5)，有解,（5-6-15）,第五节 河

5、流中非守恒物质污染带的计算,例：有一近似矩形均匀流的河段，河宽为150m，水深为3m，流量为212.5m3/s。有一污水扩散器长30m，自岸边开始横置于水平。污水流量为0.43m3/s，污水中含有大肠杆菌，浓度为 106 个/100 mL。在同岸下游 24.1 km 处有一游泳场，在对岸下游 16.1 km处有一自来水吸水点。大肠杆菌的自然衰减系数 kd = 10d-1，横向混合系数My =0.0398m2/s。问游泳场和吸水点处的大肠杆菌浓度各是多少？,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,图 污染源排放示意图,解：计算公式为：,因y01=0，公式简化为,其中,第五节 河流中非守恒物质污染带

6、的计算,令,则,根据上式计算游泳场和吸水点的大肠杆菌浓度，计算过程和结果见表。,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,表 污染带浓度计算,第五节 河流中非守恒物质污染带的计算,第六节 河道均匀流远区稳态浓度场的解析解,前面讨论的污染带都是稳态的，紧接在污染带下游就是远区，所以此时在远区的一维纵向分散浓度场必然是稳态的。为了能求得解析解，假设水流为均匀流，可以根据一维纵向分散方程进行求解，式中的Ca/t = 0 ，并应在式中右边加上汇项，即降解项（-kdCa）：,（5-8-1）,远区的长度是很长的，对非保守物质来说，有足够长的时间发生降解，在对远区进行分析计算时，一定要计及其降解作用。,因为在远

7、区的始断面上已达到均匀混合，因此有边界条件： 当x=0， Ca=Cm=QdCd /Q ，Qd 和Cd 分别为上游污染源的污水流量和浓度，Q为河流流量； 另一边界条件是当x，Ca=0 。 设式 解的形式为 Ca=Aexp(bx) （5-8-2） 式中A 和b 均为常数，将上式代入式（5-8-1），有 Kb2-Vb- kd = 0 由式解得,（5-8-3）,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,式中,（5-8-6）,其中,由式（5-8-3）的两个，根据式Ca=Aexp(x)得通解,（5-8-4）,（5-8-5）,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,利用上述边界条件:x=0,Ca=cm=Q

8、dCd/Q；x，Ca=0 可得A1=0 , A2=cm , 代入式（5-8-6）可解,（5-8-7c）,或以式（5-8-4）代入上式，得,如果再以式（5-8-5）中的K代入上式，得,（5-8-7a）,（5-8-7b）,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,在河流中一般有 a 1，即 a0，则有,式（5-7-7c）变为,上式不存在分散系数K，这表明在一维纵向分散的稳态浓度场的值主要取决于降解作用，分散作用可以不计。该结果也可以通过在式（5-8-1）中忽略分散项所求得的解正是式（5-8-8）而得到证实。,（5-8-8）,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,解：由式（5-2-9）计算带长系

9、数K，其中y01=0，y02=30m，则,例：有一河道均匀流, 河宽W=118m, 平均水深 =1.94m，断面平均流速V=0.65m/s。污水通过扩散器在河水中排放，扩散器长30m，一端靠左岸，横放在水中，污水流量Qd=0.43m3/s，污水浓度cd=450mg/L，横向混合系数My=0.32m2/s ，降解系数kd=0.6d-1 。问距扩散器多远才开始是远区？远区下游2km处的断面平均浓度 Ca是多少？（在初始段中暂不考虑降解）,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,由式（5-2-7）求带长,即离源点下游3324m开始进入远区。,远区起始断面的浓度为均匀混合的浓度，故有,由式（5-8-

10、8）得远区下游2km处的断面平均浓度,第六节 河道均匀流远区稳定浓度场的解析解,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,一、瞬时点源的远区动态情形 设污染源为瞬时点源，假设忽略了河流混合过程的第一、二阶段，直接进入远区的计算。本问题的控制方程是一维纵向分散方程，并在式中右边加上降解项，即,（5-9-1）,初始条件：Ca(x,0)=md (x) 边界条件：Ca(, t )= 0 。,利用类似于在本章第六节中的解法，得到本问题的解为：,（5-9-2）,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,二、时间连续恒定点源的远区动态情形 设污染源为恒定的时间连续源，假设忽略了河流混合过程的第一、二

11、阶段，直接进入远区的计算。 本问题的控制方程是： 初始条件： Ca(x,0)=0 边界条件：Ca(0, t )=c0(常数) ，Ca(, t )= 0 。 采用拉普拉斯变换法求解：将变换定义,用于式（5-9-1）有,根据拉普拉斯变换：df(t)/dtSF(s)-f(O+)，上式变为,（5-9-3）,上式为关于函数F的方程，通解为,（5-9-4）,以边界条件Ca( , t )=0，F= 0代入式上式，并注意到,有B(S)=0,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,（5-9-5）,又由Ca(0，t )=c0，根据拉普拉斯变换：e-atf(t)F(s+a) 有A(S)=c0/S 于是式（5-

12、9-4）变为,对上式进行逆变换，有,式中：,（5-9-6）,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,（5-9-7）,式中：a =4Kkd /V2 当t ，式（5-9-7）变为：,据拉普拉斯变换： , 经简化可得解,第七节 河道均匀流远区动态浓度场的某些解析解,与一维稳态解相同,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,对河道均匀流远区动态浓度场，当初始条件和边界条件较为复杂时就不存在解析解，此时要采用数值解法。对河道非均匀流远区动态浓度场，由于断面平均流速和过水断面等均是时间和位置的函数，也不存在解析解，必须采用数值解法。,在用数值解求解中较为常用的离散方法有：有限差分法(FDM)、有限

13、单元法(FEM)、有限体积法(FVM)、边界单元法(BEM)、特征法(MOC)和有限分析法(FAM)等。,差分法简介,所谓差分方法就是把偏微分方程中的微分用差分来代替，然后求得差分方程的解，并以此作为偏微分方程解的近似解。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,计算范围为x1（起始断面）至xm（河道末断面），时间t的计算范围为t0（初始时刻）至tT（终止时刻）。 在x轴上，将河长划分为(m1)段，通常为不等距划分，每段长为xi，称距离步长。 在t轴上，将区间(t0，tT)分成T段（通常是等距划分），每段长为t，称为时间步长。,差分网格示意图,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,在分段

14、点上分别作平行于x轴或t轴的直线，便可将求解区域xt分成许多个矩形网格。 网格上的交点称为节点（或网点），任一节点均可写出相应的坐标，如节点P的坐标为(xi,tn)，相应于P点上的浓度值可写为C(xi,tn), 也可简写为Cin，并称它们为节点函数。,差分网格示意图,差分网格划分后，便可在网格点上建立与偏微分方程相对应的差分方程，求解差分方程。 事先给定初始条件（即t=t0时，x轴上各点的函数值是已知的）与边界条件（即在x=x1和x=xm的竖线上，各时刻所对应的节点函数值是已知的）。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,然后据t0时刻的初始值与t1时刻的边界值，求算t1时

15、刻各内点（边界节点之外的节点称内节点，简称内点）的函数值，再据t1时刻各节点的函数值与时刻t2的边界值，求算t2时刻的内点函数值，直至tT时刻的内点函数值计算完毕后才终止。 用差分法求解偏微分方程，实际上是用解区域xt中的有限节点上的函数值，如Cin来近似表征解区域上的连续解c (x，t)。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分网格示意图,差分方法：以一阶偏微分 为例，如记t的增量为t，可以有三种差分形式来近似代替它：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,（1）向前差分，或顺差,（3）向后差分，或逆差,（2）中心差分,来说，它是一阶偏微分的偏微分，,对于二阶偏微分,自然可用一阶

16、差分的差分来近似它，一般采用下列形式：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,用差分代替偏微分，必然会带来一定的误差。因此，必须对误差大小进行估计。以二元函数c(x,t)为例，并假定它具有各阶导数，那么由泰勒公式有：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,于是有,（一阶逼近精度）,（一阶逼近精度）,（二阶逼近精度）,（二阶逼近精度）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,来代替 ，其截断误差均是与t2同阶的无穷小量（称这为二阶逼近精度）。,由此可见，所取的差分形式不同，用它们近似偏微分所引起的误差大小也不同。这个误差可用泰勒展开式中的无穷小项所表示，故称为截断误差。 由上面的推导可

17、知，用顺差或逆差来代替一阶偏微分时，截断误差在t0时是与t同阶的无穷小量（称之为具有一阶逼近精度），用中心差分来代替一阶偏微分及用,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,由于差分有三种形式，故同一个偏微分可以用不同的差分表示，因此一个偏微分方程也就可以用几种不同的差分方程所代替。为衡量差分方程的好坏，通常要对差分方程的相容性、收敛性与稳定性进行考察。 相容性是指当空间和时间步长趋于零时，截断误差也趋于零，差分方程的极限形式就是其所对应的偏微分方程。否则，就称差分方程不相容。相容性表示差分方程“收敛”于微分方程，是差分方程必需具备条件。 收敛性是指差分方程的解，当空间步长与时间步长趋于零时，

18、收敛于原偏微分方程的解。收敛性是数值计算追求的最终目标。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,差分解法是以逐步推进的方式进行的，它常常需要初始值作为主要定解条件。由于初始值是由观测或者推算出来的物理量，不可避免地会存在误差。 计算机在计算时，由于字长的限制，计算数据也会存在舍入误差。这些误差在差分计算的推进过程中，会逐步积累。如果误差积累能保持有界，就称差分方程的数值计算是稳定的。数值稳定性是差分格式的必备条件。 在不稳定的情况下，积累误差不仅会淹没真解，而且会导致计算失败（如溢出）。因此，不稳定的差分方程，即使有许多别的优点，也不能用。 差分方程的收敛性，在理论分析上较困难。在许多情况

19、下，差分的相容性再加上稳定性，就可以保证收敛性。由于在构造差分方程时，相容性显而易见，故稳定性问题，常常是差分格式选用过程中优先需要考虑的问题。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,显式差分法,在差分计算中，如果未知时层任一内点的函数值能直接由已知时层上节点函数值表示出来，且与未知时层上其它内点的函数值无关，则称这种差分为显式（或显格式）差分。 其特点是计算简单，但时间步长的选取要受到柯朗条件的限制。 用显式差分求解偏微分方程的形式很多，如Lax格式、菱形格式及交错格点法。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,Lax格式、菱形格式及交错格点法：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数

20、值解,隐式差分法,在差分计算中，如果未知时层任一内点的函数值计算与该时层上若干其它内点的函数值有关，则称这种差分方法为隐式差分法。 在该法中，未知时层内点函数值的求解，需要对方程组计算后方能得到。特点是时间步长可选取较大的值。 隐式差分法求解有好几种形式，常用Preissmann方法，亦称四点偏心格式。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,（5-10-1）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,为了书写简便，将浓度Ca在差分格式中写为 ， 它代表当时间t=jt (j=0，1，2) 在断面x=ix（i=0，1，2）的Ca 。,一、河道均匀流远区动态浓度场情形 控制方程为：,1、显式差分

21、 将式（5-10-1）写为如下差分式：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,（5-10-2a）,亦即,（5-10-2b）,则式（5-10-2b）写为,（5-10-2c）,令,根据已知的初始条件 和上游边界条件 ，并令 ，就可以用（5-10-2c）计算 (i=0，1，2，) ，从 又可算得 ，依此递推。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,纽曼（Neumann）条件,（5-10-4）,使用显式差分时, 必须保证计算的稳定性, 这时对t和x的选择，要满足下述两个稳定性条件：,为了满足上述条件, 有时要选择很小的t或要选过大的x, 以致不合符使用者的要求，这时就要改用稳式差分格式。,柯朗

22、（Courant）条件,（5-10-3）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,2、隐式差分,式（5-10-1）写为如下差分式（隐式差分迎风格式）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,图 隐式差分迎风格式,将上式改写为,（5-10-5b）,2、隐式差分,式中：,式（5-10-1）写为如下差分式（隐式差分迎风格式）,（5-10-5a）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,（2）当i = n时，用线性传递的边界作为下游边界条件：,（5-10-7）,以上式代入式,（5-10-6）,（5-10-8）,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,边界条件： （1）当i=1时，把上游边界条件

23、 代入式： 方程左边第一项成为常数，便得：,可得第n个方程为：,初始条件为：,在插入边界条件式(5-10-6)和式(5-10-8)之后, 式： 构成一个三对角矩阵形式的方程组：,（5-10-9）,当下游边界处的浓度和浓度梯度都很小时，可以采用： 作为下游边界条件。这时第n 个方程为：,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,式中： 。由已知初始 ( j=0 )条件 开始，用追赶法解式（5-10-10），求得 ，又从 可算得 ，依此递推。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,（5-10-10）,虽然隐式差分是无条件稳定的 , 但是对式(5-10-1)这类的方程来说, 它的隐式差分仍有一个问题，就是会额外产生一个扩散项，称为数值扩散。这个问题，在显式差分中也是同样存在的。产生数值扩散的原因是由于用差分代替微分时丢掉的截断误差所致。 研究证明：最好使 Dt 和Dx的选择满足VDt /Dx =1，才会消除数值扩散。 在VDt /Dx 1 时，如果K V(Dx-VDt)/2，数值扩散就不会有明显的影响。,第八节 河道恒定流远区动态浓度场的数值解,例：有一均匀流河段，长8km。已知断面平均流