高中数学 第四章 二倍角的正弦 余弦 正切（3）教案

1、二倍角的正弦、余弦、正切（3）教学目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点：二倍角公式的应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：二倍角公式: ； ； ； 二、讲解新课： 1积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb cosasinb =sin

2、(a + b) - sin(a - b)cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb sinasinb = -cos(a + b) - cos(a - b)2和差化积公式的推导若令a + b = q，a - b = ，则， 代入得： 3半角公式 证：1在 中，以a代2a，代a 即得： 2在 中，以a代2a，代a 即得： 3以上结果相除得：4 4万能公式证：1 2 3三、讲解范例：例1已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的

3、值 解： cos q 0 (否则 2 = - 5 ) 解之得：tan q = 2 原式例2已知，tana =，tanb =，求2a + b 解： 又tan2a 0，tanb 0 ， 2a + b = 例3已知sina - cosa = ，求和tana的值 解：sina - cosa = 化简得： 即 例4已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值解：cosa - cos b = ， sina - sin b =， 例5求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a 证：左边 = (sin3asina)sin2a + (c

4、os3acosa)cos2a = -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右边原式得证四、课堂练习：1已知、为锐角，且3sin22sin21，3sin22sin20求证：2证法1：由已知得3sin2cos2 3sin22sin2 得tan、为锐角0，02，20，22，2证法2：由已知可得：3sin2cos23sin2

5、2sin2cos（2）coscos2sinsin2cos3sin2sinsin23sin2cossin3sincos0又由2（0，）2证法3：由已知可得 sin（2）sincos2cossin2sin3sin2cossin23sin（sin2cos2）3sin又由，得3sincossin2 22，得9sin49sin2cos21sin，即sin（2）1又022评述：一般地，若所求角在（0，）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切2在ABC中，sinA是cos（BC）与cos（BC）的等差中项，

6、试求(1)tanBtanC的值(2)证明tanB（1tanC）cot（45C）(1)解：ABC中，sinAsin（BC）2sin（BC）cos（BC）cos（BC）2sinBcosC2cosBsinC2cosBcosCcosBcosC0 tanBtanC1（2）证明：又由上：tan1tanC（1tanC）（1tanC）tan（45C）（1tanC）cot（45C）3求值： 解：原式 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用 六、课后作业：1如果cos，3,则sin的值等于( )2设56且cosa,则sin等于( )3已知tan764，则tan7的值约为( )4tancot的值等于 5已知sinAcosA1，0，则tan 6已知tan、tan是方程72810的两